（試卷總分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 若，，則一定有
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
3. 已知命題，，則的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知線性回歸方程相應(yīng)于點的殘差為，則的值為（ ）
A. B. 3C. D. 2.9
5. 中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能（六藝）：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“射”與“數(shù)”之間間隔一藝不同排課方法總數(shù)有（ ）
A. 432種B. 240種C. 192種D. 96種
6. 袋中有6個球，其中紅黃藍紫白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（ ）
A. B. C. D.
7. 已知上的可導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）

A. B.
C. D.
8. 中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A 2021B. 2022C. 2023D. 2024
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分.
9. 下列函數(shù)中最小值為4是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知隨機變是服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即，若，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. 在上增函數(shù)D.
11. 若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（ ）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，________研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.
13. 已知函數(shù)，則的定義域是________；單調(diào)增區(qū)間為________.
14. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，則在點處的切線一般式方程為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的展開式中共有10項.
（1）求展開式中各項系數(shù)之和；
（2）求展開式中的常數(shù)項，并確定有理項有多少項.
16. 2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日（FitnessDay）是適應(yīng)人民群眾體育的需求，促進全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活動，活動分為長跑、短跑兩類項目，該班級所有同學(xué)均參加活動，且男女同學(xué)人數(shù)比為，每位同學(xué)選擇一項活動參加.統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
（1）求的值并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別相關(guān)；
（2）賽后校記者團對參加長跑比賽的同學(xué)按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取8名同學(xué)，再從這8名同學(xué)中抽取2名同學(xué)接受采訪，記隨機變量X表示抽到的2人中女生的人數(shù)，求X的布列與數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
17. 已知函數(shù)
（1）求，，的值;
（2），求a的值；
（3）請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域（無需寫出理由）.
18. 甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.
（1）若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進行了Y局比賽，求隨機變量Y的分布列，并指出進行幾局比賽的可能性最大；
（2）如果你是甲隊領(lǐng)隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？
19. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖象在處的切線斜率相同.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）設(shè)為正實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).長跑
短跑
男同學(xué)
a
10
女同學(xué)
10
10
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
2024年春季期高二期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)
（試卷總分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程求出集合，再求.
【詳解】依題意，，
而，所以.
故選：C.
2. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 若，，則一定有
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】若，，，，可判斷A；由已知可得，判斷B；作差法比較大小判斷C；由不等式性可得，判斷D.
【詳解】對于A，若，，，，則，故A錯誤.
對于B，若，則，故B錯誤.
對于C，，
若，，則，即，所以C錯誤.
對于D，由，可知，即，所以，故D正確.
故選：D.
3. 已知命題，，則一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得在上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值可得，結(jié)合充分、必要條件的定義和選項即可求解.
【詳解】因為，，所以在上恒成立，
只需在上的最大值小于，
因為在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為1，
所以.
A：既不是充分條件，也不是必要條件，故A錯誤；
B：因為所以是的一個必要不充分條件，故B正確；
C：是的充要條件，故C錯誤；
D：因為，所以是充分不必要條件，故D錯誤.
故選：B.
4. 已知線性回歸方程相應(yīng)于點的殘差為，則的值為（ ）
A. B. 3C. D. 2.9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)線性回歸方程估計，再根據(jù)殘差定義列方程可得答案.
【詳解】由線性回歸方程，取，得，
又相應(yīng)于點的殘差為，，
解得.
故選：B.
5. 中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能（六藝）：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“射”與“數(shù)”之間間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有（ ）
A. 432種B. 240種C. 192種D. 96種
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列組合知識進行求解即可
【詳解】根據(jù)題意，在“射”與“數(shù)”之間間隔一藝，先將“射”與“數(shù)”進行全排列，
從剩余的4藝中選擇1個放在“射”與“數(shù)”中間，再將這三藝看做一個整體和剩余的3個元素進行全排列，這樣的排課方法數(shù)為：
有種排課方法.
故選：C.
6. 袋中有6個球，其中紅黃藍紫白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】由題意可知，事件：甲、乙只有一人摸到紅球，
則，，
因此，.
故選：A.
7. 已知上的可導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性，得到導(dǎo)函數(shù)的正負，再解不等式即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，時，，
當(dāng)時，.
由①或②
解①得，，解②得，，
綜上，不等式的解集為，
故選：A.
8. 中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式的特征可得，即可求解除以8所得的余數(shù)為7，即可求解.
【詳解】已知
則
，即除以8所得的余數(shù)為7，
顯然2023除以8所得的余數(shù)為7，即b的值可以是2023.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分.
9. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗證可得選項.
【詳解】對于A：當(dāng)時，，故A錯誤；
對于B：令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；
對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
對于D：由題意得，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.
故選：CD.
10. 已知隨機變是服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即，若，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. 在上是增函數(shù)D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正態(tài)分布可求得，判斷A；當(dāng)時，，，判斷B；易得在上是增函數(shù)，可判斷C；計算可得，可判斷D.
【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，，
當(dāng)時，，則，
又，所以不成立，故B錯誤；
對于C：，當(dāng)增大時，也增大，所以在上是增函數(shù)，故C正確；
對于D：，故D正確.
故選：ACD.
11. 若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，在上有兩個不同的實數(shù)根，進而可以求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，
既有極小值又有極大值，
在上有兩個不同的實數(shù)根，
，，
，，，顯然不一定成立.
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，________研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.
【答案】甲
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為，所以這四人中，甲研究兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.
故答案為：甲.
13. 已知函數(shù)，則的定義域是________；單調(diào)增區(qū)間為________.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由，解得，則定義域是，
令，其對稱軸方程為，圖象是開口向下的拋物線，
則在上為增函數(shù)，
又為定義域內(nèi)的增函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：；.
14. 已知函數(shù)是定義在上偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，則在點處的切線一般式方程為________.
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，得，從而求得函數(shù)的的周期為12，所以，得到切點坐標(biāo)，再根據(jù)，求出切線斜率，進而可得切線方程.
【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，
所以①，且為奇函數(shù)，，
所以②，由①②可得，
即的周期為12，且，所以，
又，，得，
所以在點處的切線方程為：，即.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的展開式中共有10項.
（1）求展開式中各項系數(shù)之和；
（2）求展開式中的常數(shù)項，并確定有理項有多少項.
【答案】（1）
（2）；有5項.
【解析】
【分析】（1）由題意求出，令得所有項的系數(shù)之和；
（2）求出展開式的通項，令解得可得常數(shù)項；令可得展開式中有理項.
【小問1詳解】
由題意知，在的展開式中，
令.得：，
因此的展開式中，所有項的系數(shù)之和是；
【小問2詳解】
展開式的通項：
，
令，解得，
因此展開式中的常數(shù)項，
要使為有理項，則，
因為時，，
所以展開式中有理項有5項.
16. 2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日（FitnessDay）是適應(yīng)人民群眾體育的需求，促進全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活動，活動分為長跑、短跑兩類項目，該班級所有同學(xué)均參加活動，且男女同學(xué)人數(shù)比為，每位同學(xué)選擇一項活動參加.統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
（1）求的值并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別相關(guān)；
（2）賽后校記者團對參加長跑比賽的同學(xué)按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取8名同學(xué)，再從這8名同學(xué)中抽取2名同學(xué)接受采訪，記隨機變量X表示抽到的2人中女生的人數(shù)，求X的布列與數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
【答案】（1），認為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）先求出a，根據(jù)卡方的計算公式計算，結(jié)合獨立性檢驗的思想即可下結(jié)論；
（2）的所有可能取值為0，1，2，根據(jù)超幾何分布求出對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.
【小問1詳解】
依題意男女同學(xué)人數(shù)的比例為，所以，故，
零假設(shè)：選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān)，
.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立，
因此可以認為成立，即認為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).
【小問2詳解】
抽取8名同學(xué)中有6名男生，2名女生，
則的所有可能取值為0，1，2，
則，，，
則的分布列為：
17. 已知函數(shù)
（1）求，，的值;
（2），求a的值；
（3）請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域（無需寫出理由）.
【答案】（1）3；1；
（2）或4.
（3）答案見解析，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意給的函數(shù)解析式直接求解即可；
（2）分類討論當(dāng)、、時，根據(jù)求出對應(yīng)的a值即可；
（3）由函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形即可得出函數(shù)的值域.
【小問1詳解】
函數(shù)，
，，，
.
【小問2詳解】
①當(dāng)時，，（舍去）；
②當(dāng)時，，解得，
又，；
③當(dāng)時，，.
綜上所述，的值為或4.
【小問3詳解】
函數(shù)的圖象，如圖：
由圖象可知，函數(shù)的值域為.
18. 甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.
（1）若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進行了Y局比賽，求隨機變量Y的分布列，并指出進行幾局比賽的可能性最大；
（2）如果你是甲隊的領(lǐng)隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？
【答案】（1）答案見解析，進行4局比賽的可能性最大.
（2）答案見解析，采用五局三勝制.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：的所有可能取值為3，4，5，結(jié)合獨立重復(fù)性實驗求分布列和期望；
（2）分別求五局三勝制和三局兩勝制時，甲隊獲勝的概率，對比分析即可.
【小問1詳解】
由題意可知：的所有可能取值為3，4，5，則有：
；
；
；
故的分布列為：
因為，所以進行4局比賽的可能性最大.
【小問2詳解】
采用三局兩勝時，甲獲勝概率，
采用五局三勝時，甲獲勝概率，
因為，所以如果我是甲隊領(lǐng)隊，采用五局三勝制.
19. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖象在處的切線斜率相同.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）設(shè)為正實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）答案及解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，根據(jù)題意可得，求解即可；
（2），求導(dǎo)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，可證結(jié)論；
（3）令，求導(dǎo)，令，可得，對分類討論可判斷的單調(diào)性，結(jié)合根的存在性定理可判斷方程的解的個數(shù).
【小問1詳解】
，，
，，
由題意可得，，，解得；
【小問2詳解】
由（1）知，，
令，
則，
在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，
又，
當(dāng)時，，
即當(dāng)時，；
【小問3詳解】
令，則定義域是，
.
令，，
（i）當(dāng)時，，則，
在上單調(diào)遞減，且，
在上存在1個零點；
（ii）當(dāng)時，，
設(shè)方程的兩根分別為，，且，
則，，
有兩個零點，，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
故，且，則，
又因為，，且，
故有，由零點存在性定理可知，
在恰有一個零點，在也恰有一個零點，
易知是的零點，所以恰有三個零點；
綜上所述，當(dāng)時，方程有1個解；
當(dāng)時，方程有3個解.
【點睛】本題考查不等式恒成立問題，通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性證明，是一種常見的主法與思路.考查方程的解的個數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分類討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運用根的存在性定理可判斷解的個數(shù).
長跑
短跑
男同學(xué)
a
10
女同學(xué)
10
10
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
4
5

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