一、單選題
1．曲線為自然對數(shù)的底數(shù)）在點處的切線與 軸和軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．已知函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且，則在區(qū)間上的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
3．2024年3月28日小米最新款汽車SU7發(fā)布之后，甲、乙兩人利用周末時間去附近的小米汽車專賣店免費體驗，若當(dāng)天到場一共10名體驗者，由于場地和車輛有限，現(xiàn)要從這10名體驗者中選出4人來免費體驗，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．槳校組織部分班級參觀博物館，現(xiàn)已安排了5個班級參觀，并且已經(jīng)確定了5個班級的參觀順序，參觀前臨時增加了2個班級參觀博物館，現(xiàn)將增加的2個班級插入5個班級之間，要求原5個班級順序不變，插入的班級即不排在首位，也不排在末位，則不同的插入方法數(shù)為（ ）
A．12B．18C．20D．60
5．已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，命題p：“函數(shù)的最小值為3”，則是（ ）
A．對任意，都有 B．存在，使得
C．對任意，都有 D．“‘存在，使得’或 ‘對任意，都有’”
6．高一班共有28名同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，有15人學(xué)習(xí)必修一，有8人學(xué)習(xí)必修二，有14人學(xué)習(xí)選修一，同時學(xué)習(xí)必修一和必修二的有3人，同時學(xué)習(xí)必修一和選修一的有3人，沒有人同時學(xué)習(xí)三本書.同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有（ ）人，只學(xué)習(xí)必修一的有（ ）人.
A．9，3B．11，3C．9，12D．3，9
7．下列命題正確的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
B．已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)
C．若A，B兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，則A組數(shù)據(jù)比B組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強
D．若決定系數(shù)的值越接近于1，則表示回歸模型的擬合效果越好
8．如圖，某地區(qū)計劃在等腰的空地中，建設(shè)一個有一邊在上的矩形花園，已知，則該矩形花園面積的最大值為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
9．若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列說法正確的是（ ）
A．若隨機變量~，則．
B．若隨機變量的方差，則．
C．若，，，則事件與事件獨立．
D．若隨機變量服從正態(tài)分布，若，則．
11．下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
三、填空題
12．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下：
若回歸方程為，則 .
13．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是 .
14．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為 ．
四、解答題
15．已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求的最大值.
16．近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運動時間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對增加體育運動時間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：
(1)在犯錯誤的概率不超過0.01（小概率值）的前提下，能否認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)；
(2)以頻率估計概率，若在該地區(qū)所有中學(xué)生中隨機抽取4人，記“喜歡增加體育運動時間”的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
17．某地政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，取得較好的效果.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的年收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)決定使用模型擬合與之間的關(guān)系，請求出此模型的回歸方程；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
(2)統(tǒng)計學(xué)中常通過計算殘差的平方和來判斷模型的擬合效果.在本題中，若殘差平方和小于0.5，則認(rèn)為擬合效果符合要求.請判斷（1）中回歸方程的擬合效果是否符合要求，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)及公式：，.設(shè)，則，.
18．某學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)建模知識競賽，每位參賽者要答3道題，第一題分值為40分，第二、三題分值均為30分，若答對，則獲得題目對應(yīng)分值，若答錯，則得0分，參賽者累計得分不低于70分即可獲獎．已知甲答對第一、二、三題的概率均為，乙答對第一、二、三題的概率分別為，，，且甲、乙每次答對與否互不影響．
(1)求甲的累計得分的分布列和期望；
(2)在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率．
19．已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為，求和的值；
(2)討論的單調(diào)性.
玉林市第十中學(xué)2022級高二（下）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷（四）參考答案
1．B【詳解】因，故，切線方程，令得，
令得，故直角三角形面積.應(yīng)選：B.
2．C【詳解】因為函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
所以時，，所以，即，故選：C
3．A【詳解】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”.
由于一共有10名體驗者，而要從中選出4名，故.
而從10名體驗者選出4名時，如果甲和乙被選中，則剩余2個被選中的人可從甲和乙之外的8名體驗者中任意選擇2名，故選取方式有種，從而.
故，A正確.故選：A.
4．C【詳解】要保持原5個班級順序不變，并且新插入的2個班級不能在首位也不能在末位，則只需將新加入的2個班級插入原來的5個班級的中間，
新的2個班級分開插入的方法數(shù)有：種，新的2個班級捆綁一起再插入的方法數(shù)有：種，綜上，總的方法數(shù)為種.故選:C.
5．D【詳解】命題p：“函數(shù)的最小值為3”是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題.
所以是函數(shù)的最小值不是3，即“存在，使得”或“對任意，都有”.故選：D.
6．D【詳解】設(shè)同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有x人，則，解得，
即同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有3人，則只學(xué)習(xí)必修一的有（人），故選：D.
.
7．ABD【詳解】對于A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，A正確；對于B：設(shè)原本數(shù)據(jù)從小到大為，因為，所以原樣本數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)為，去掉最大值和最小值后剩余數(shù)據(jù)按從小到大排列為，因為，所以剩下28個數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)為，故不一樣，B正確；對于C：，故B組數(shù)據(jù)比A組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強，C錯誤；對于D：若決定系數(shù)的值越接近于1，則表示回歸模型的擬合效果越好，D正確；
8．C【詳解】（方法一）如圖，當(dāng)該矩形花園的面積最大時，該矩形為等腰的內(nèi)接矩形，設(shè)等腰的內(nèi)接矩形為，取的中點，連接交于點，
設(shè)的長度為，的長度為，
則，，，
所以，得，即，
則該矩形花園的面積為，
當(dāng)時，該矩形花園的面積取得最大值，最大值為．
（方法二）如圖，當(dāng)該矩形花園的面積最大時，該矩形為等腰的內(nèi)接矩形，
設(shè)等腰的內(nèi)接矩形為，取的中點，連接交于點，
設(shè)的長度為，的長度為，
則，，，
所以，得，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以該矩形花園面積的最大值為．
故選：C.
9．BC【詳解】在中，
對于A，令，得，A錯誤；對于B，令，得，因此，B正確；對于C，令，得，則，C正確；對于D，令，得，則，D錯誤.故選：BC
10．ACD【詳解】隨機變量，則，故A正確；
隨機變量的方差，則，故B錯誤；
由，即事件與事件獨立，故C正確；
隨機變量服從正態(tài)分布，，
則，故D正確．故選：ACD．
11．AC【詳解】對于A，由，，知，得，故A正確；
對于B，當(dāng)時，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，由，得，
又，則，故有，故C正確；
對于D，當(dāng)，時，，D中不等式不一定成立，故D錯誤．
12．2【詳解】，，
因為回歸方程為，所以，解得.故答案為:2
13．【詳解】根據(jù)題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且函數(shù)在上單調(diào)遞增；又函數(shù)在上是增函數(shù)，
需滿足，解得；所以的取值范圍是.故答案為：.
14．-1【詳解】因為函數(shù)定義域為，令，則，
故，知為奇函數(shù)，由于為偶函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)，即，解得．故答案為：．
15．【詳解】（1）由，得，又，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為8；
（2）由恒成立，得恒成立，
又，所以，
由（1）可知，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，即，故的最大值是4.
16．【詳解】（1）完善二聯(lián)表如下：
零假設(shè)：不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)，
則，
故依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充足證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)；
（2）喜歡增加體育運動時間的人數(shù)有300人，故喜歡增加體育運動時間的概率為
依題意，，，
，，
，
故X的分布列為：
則.
17．【詳解】（1）根據(jù)農(nóng)戶近5年種植藥材的收入情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：
，，
設(shè)，則，所以，
則，.
所以，回歸方程為.
（2）將值代入可得估計值分別為59，60.8，63.8，68，73.4，
則殘差平方和為.
因為，所以回歸方程擬合效果符合要求.
18．【詳解】（1）由題意知：甲累計得分的可能取值有：，
所以，，
，，，
，的分布列為：
.
（2）法一：根據(jù)題意得：得分不低于70分即可獲獎，
由（1）知：甲獲獎的概率為，
乙獲獎的概率為：，
乙只得70分的概率為：，
所以甲、乙兩人同時獲獎的概率為：，
甲、乙均獲獎且甲累計得分比乙高的概率為：，
所以，在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率為：.
法二：已知得分不低于70分才可獲獎，即甲、乙的得分應(yīng)為70或100，共計4種情況，其中，甲比乙高的情況，只有甲獲得100分，乙獲得70分時一種情況，故概率為：.
19．【詳解】（1）因為，所以.
由，得曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，
（2）.
若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，.
若，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
若，則在上恒成立.
若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
喜歡增加體育運動時間
不喜歡增加體育運動時間
初中生
160
40
高中生
140
60
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼
1
2
3
4
5
年收入（千元）
59
61
64
68
73
喜歡增加體育運動時間
不喜歡增加體育運動時間
總計
初中生
160
40
200
高中生
140
60
200
總計
300
100
400
X
0
1
2
3
4
P
0
30
40
60
70
100

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