注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第四章至第七章，選擇性必修第二冊。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示，據(jù)此可以推斷變量x與y之間
A．可能存在負(fù)相關(guān) B．可能存在正相關(guān) C．一定存在正相關(guān) D．一定存在負(fù)相關(guān)
2．在等比數(shù)列中，，則
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知隨機變量X服從二項分布B（5，），則
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù)，且，則a的最小值為
A． B． C． D．
5．甲、乙兩人同時去乘坐一列有6節(jié)車廂的地鐵，則兩人乘坐的車廂相鄰的方案共有
A．10種 B．5種 C．12種 D．6種
6．某班舉辦知識競賽，已知題庫中有A，B兩種類型的試題，A類試題的數(shù)量是B類試題數(shù)量的兩倍，且甲答對A類試題的概率為，答對B類試題的概率為，從題庫中任選一題作答，甲答對題目的概率為
A． B． C． D．
7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于家畜偷吃禾苗的問題．假設(shè)有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人共賠償12斗粟．羊的主人說：“羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數(shù)只有馬和牛吃的禾苗總數(shù)的一半．”騾子的主人說：“騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數(shù)的一半．”馬的主人說：“馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗總數(shù)的一半．”若按照此比率償還，則羊的主人應(yīng)賠償?shù)乃诘亩窋?shù)為
A．1 B． C．2 D．
8．已知定義域均為R的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，，則不等式的解集為
A．（，5） B．（5，） C．（，1） D．（1，）
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（14，），且，則
A． B． C． D．
10．已知函數(shù)有2個極值點，則的解析式可能為
A． B． C． D．
11．已知數(shù)列滿足，且，若，則下列說法正確的是
A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列 B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列
C．若，則 D．若，記是數(shù)列的前n項積，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．某一電路中，流過的電荷量Q（單位：C）關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)為，則在第2秒時該電路的電流為________A．
13．袋子中有10個大小相同的小球，其中6個黑球，4個白球，每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的條件下，第3次摸到黑球的概率為________．
14．若函數(shù)的定義域為D，對任意，，，都有，則稱為單射函數(shù)．已知集合，且，，則函數(shù)是單射函數(shù)的概率為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
16．（15分）某學(xué)校隨機調(diào)查了1000名學(xué)生，將所得數(shù)學(xué)和語文期末考試成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：
（1）判斷是否有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？
（2）按數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀用分層隨機抽樣的方法從1000名學(xué)生中選取5人，再從這5人中任選3人，求恰有2名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生被選中的概率．
附：，其中．當(dāng)時，有99%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)．
17．（15分）在二項式的展開式中，所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32．
（1）求n；
（2）求第4項的系數(shù)；
（3）求的展開式的常數(shù)項．
18．（17分）某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考生一年內(nèi)最多有兩次筆試的機會，最多有兩次面試的機會．考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參加以后的筆試，轉(zhuǎn)而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領(lǐng)取資格證書，否則就繼續(xù)參加考試．若兩次筆試均未通過或通過了筆試但兩次面試均未通過，則考試失敗．甲決定參加考試，直至領(lǐng)取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為，每次參加面試通過的概率均為，且每次考試是否通過相互獨立．
（1）求甲在一年內(nèi)考試失敗的概率；
（2）求甲在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列及期望．
19．（17分）已知函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線方程為．
（1）求a，b的值；
（2）證明：．
欽州市2024年春季學(xué)期高二期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試卷參考答案
1．A
從散點圖看，這些點在一條線的附近，且從左上角到右下角呈遞減的趨勢，所以據(jù)此可以推斷變量x與y之間可能存在負(fù)相關(guān)．
2．C
由題意得，得．
3．D
由題意得．
4．B
由題意得，則．由，得，所以．
5．A
先選出2節(jié)相鄰的車廂，再將甲、乙兩人排列，則兩人乘坐的車廂相鄰的方案共有種．
6．C
設(shè)“選出A類試題”為事件，“選出B類試題”為事件，“甲答對題目”為事件B，
則，，，，
所以．
7．B
由題意得羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，公差為d，則羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為，，，．由題意得，
即解得
8．B
令，則，所以單調(diào)遞減．
由，，，得，所以．
9．AD
由，得，則，所以．
10．BC
由題意得的導(dǎo)函數(shù)有兩個異號零點．
由，得恒成立，A錯誤．
由，得，令，得，B正確．
由，得，令，得，因為，所以有兩個異號零點，C正確．
由，得，令，得，D錯誤．
11．ABD
由，可得，則．若，則，，所以，故數(shù)列可能為常數(shù)列，若，則數(shù)列為等比數(shù)列，故A，B正確；若，則，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，故，故C錯誤；若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最大值為，D正確．
12．15
由題意得，則，即第2秒時該電路的電流為15A．
13．
在第1次、第2次均摸到黑球的條件下，第3次摸到黑球的概率為．
14．
當(dāng)，時，在（0，）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，不是單射函數(shù)．當(dāng)，時，在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，不是單射函數(shù)．
當(dāng)，或，時，，不是單射函數(shù)．當(dāng)，時，不是單射函數(shù)．當(dāng)，時，是單射函數(shù)．當(dāng)，時，是單射函數(shù)．故是單射函數(shù)的概率為．
15．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，解得．
由，可得，解得，
所以．
（2），
所以．
16．解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到．
因為，所以有99%的把握判斷數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)．
（2）由題意得選取的5人中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，
不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，
則恰有2名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生被選中的概率為．
17．解：（1）由題意得所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，
得，即．
（2）由題意得第4項為，
所以第4項的系數(shù)為．
（3），
在的展開式中，含的項為，
常數(shù)項為，
所以的展開式的常數(shù)項為．
18．解：（1）甲每次參加筆試未通過的概率均為，每次參加面試未通過的概率均為．
甲兩次筆試均未通過的概率為，
甲通過了第一次筆試，但兩次面試均未通過的概率為，
甲未通過第一次筆試，通過了第二次筆試，但兩次面試均未通過的概率為，
所以甲在一年內(nèi)考試失敗的概率為．
（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，
，
，
，
所以X的分布列為
故．
19．（1）解：由題意得，
由切線的斜率為b，得，
則切線方程為，當(dāng)時，，所以，得．
（2）證明：由（1）可知，，
要證，即證．
設(shè)，則．
令，，易得是減函數(shù)．
因為，，所以存在唯一，使得，即．
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以．
因為，（兩個不等式中的等號不能同時成立），所以，
即．?dāng)?shù)學(xué)成績
語文成績
合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
優(yōu)秀
400
200
600
不優(yōu)秀
200
200
400
合計
600
400
1000
X
2
3
4
P

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