2．了解橢圓、雙曲線和拋物線的簡單應(yīng)用．
第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
自查自測,
知識點一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．
(1)“直線l與橢圓C相切”的充要條件是“直線l與橢圓C只有一個公共點”．( √ )
(2)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C只有一個公共點”．( × )
(3)經(jīng)過拋物線上一點有且只有一條直線與拋物線有一個公共點．( × )
(4)過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點．( √ )
2．直線y＝kx＋2與橢圓x23＋y22＝1有且只有一個交點，則k的值是( )
A．63B．－63
C．±63D．±33
C 解析：聯(lián)立y=kx+2，x23+y22=1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±63．
3．(教材改編題)過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有( )
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
C 解析：結(jié)合圖形(圖略)分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0，1)且平行于x軸的直線以及過點(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．故選C．
核心回扣
直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則
直線與圓錐曲線相交?Δ＞0；
直線與圓錐曲線相切?Δ＝0；
直線與圓錐曲線相離?Δ＜0.
特別地：
(1)與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
(2)與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
自查自測
知識點二 直線與圓錐曲線相交的弦長問題
已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是( )
A．2B．4
C．8D．16
C 解析：聯(lián)立y=x-1，y2=4x，
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝1+k2x1+x22-4x1x2＝1+1×36-4＝8.
核心回扣
設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2
＝1+1k2|y1－y2|＝1+1k2y1+y22-4y1y2．
【常用結(jié)論】
圓錐曲線的中點弦問題
(1)在橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝－b2x0a2y0．
(2)在雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝b2x0a2y0．
(3)在拋物線y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝py0．
應(yīng)用1 已知點A，B是雙曲線C：x22－y23＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3，2)，則直線AB的斜率為( )
A．23B．32
C．49D．94
D 解析：直線AB的斜率k＝3×32×2＝94．
應(yīng)用2 已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1，1)為中點的弦所在直線的方程是 ．
x＋2y－3＝0 解析：橢圓方程變形為x24＋y22＝1，所以直線的斜率k＝－24＝－12，所以直線方程為y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.
直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷
1．拋物線C：y2＝4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為( )
A．1B．2
C．4D．8
A 解析：因為拋物線C：y2＝4x的準線為l，
所以l的方程為x＝－1，A(－1，0)．
如圖，設(shè)過點A作拋物線的一條切線為x＝my－1，切點為B.
由x=my-1，y2=4x，得y2－4my＋4＝0，
所以Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得|m|＝1，
所以y2－4y＋4＝0或y2＋4y＋4＝0，解得y＝2或y＝－2，即|yB|＝2，
所以△OAB的面積為12×1×2＝1.
2．若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓x29＋y216＝1的交點有( )
A．1個B．至多1個
C．2個D．0個
C 解析：因為直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，所以9m2+n2＞3，即m2＋n2＜9，
所以m29＋n216≤m29＋n29＜1，
即點(m，n)在橢圓x29＋y216＝1內(nèi)，
所以過點(m，n)的直線與橢圓x29＋y216＝1的交點有2個．
3．若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是( )
A．-153，153B．0，153
C．-153，0D．-153，-1
D 解析：由y=kx+2，x2-y2=6，
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
設(shè)直線與雙曲線右支交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則1-k2≠0， Δ=16k2-41-k2×-10＞0，x1+x2=4k1-k2＞0，x1x2=-101-k2＞0，
解得－153＜k＜－1，
即k的取值范圍是-153，-1．
直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法
弦長問題
【例1】(2024·濱州模擬)已知點1，32在橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，且E的離心率為12．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)F為橢圓E的右焦點，點P(m，n)是E上的任意一點，直線PF與直線3mx＋4ny＝0相交于點Q，求|PQ|的值．
解：(1)由題意得1a2+94b2=1， ca=12，a2=b2+c2，解得a=2， b=3，c=1.
所以橢圓E的方程為x24＋y23＝1.
(2)由題知F(1，0)且m24＋n23＝1，即3m2＋4n2＝12.
①當m＝1時，點P1，32或P1，-32．
當點P1，32時，直線PF與直線x＋2y＝0相交于點Q1，-12，此時|PQ|＝2；
當點P1，-32時，直線PF與直線x－2y＝0相交于點Q1，12，此時|PQ|＝2.
②當m≠1時，直線PF的方程為y＝nm-1(x－1)，
由y=nm-1x-1，3mx+4ny=0，可得x=4n212-3m，y=-mn4-m，
所以Q4n212-3m，-mn4-m．
所以|PQ|2＝m-4n212-3m2＋n--mn4-m2
＝12m-3m2-4n212-3m2＋4n-mn+mn4-m2
＝4m-44-m2＋4n4-m2
＝4m-42+16n24-m2
＝4m-42+412-3m24-m2
＝4m2-8m+164-m2
＝4m-424-m2＝4，
所以|PQ|＝2.
綜上所述，|PQ|＝2.
求解弦長的常用方法
(1)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解．
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2的值，代入弦長公式．
(3)當弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．
(2021·新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，右焦點為F(2，0)，且離心率為63．
(1)求橢圓C的方程．
(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x＞0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝3.
(1)解：由題意得，橢圓半焦距c＝2且e＝ca＝63，所以a＝3.
又b2＝a2－c2＝1，
所以橢圓C的方程為x23＋y2＝1.
(2)證明：由(1)得，曲線為x2＋y2＝1(x＞0)，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點共線，由題易知此時直線MN的斜率存在．
設(shè)直線MN：y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x＞0)相切，
得2kk2+1＝1，解得k＝±1.
聯(lián)立y=±x-2，x23+y2=1，可得4x2－62x＋3＝0，
Δ＝(62)2－4×4×3＝24＞0，
所以x1＋x2＝322，x1x2＝34，
所以|MN|＝1+1×3222-4×34 ＝3，
所以必要性成立．
充分性：
由題分析易知當|MN|＝3且直線MN與曲線相切時，直線MN的斜率必存在．
設(shè)直線MN：y＝kx＋m(km＜0)，即kx－y＋m＝0.
由直線MN與曲線x2＋y2＝1(x＞0)相切，
得mk2+1＝1，所以m2＝k2＋1.
聯(lián)立y=kx+m，x23+y2=1，
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12＝24k2＞0，
所以x1＋x2＝－6km1+3k2，x1x2＝3m2-31+3k2，
所以|MN|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2-6km1+3k22-4·3m2-31+3k2
＝1+k2·24k21+3k2＝3，
化簡得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以k=1，m=-2或k=-1，m=2，
所以直線MN：y＝x－2或y＝－x＋2，
所以直線MN過點F(2，0)，即M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立．
綜上，M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝3.
中點弦問題
考向1 確定直線方程
【例2】已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為22，短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為(－2，1)，求直線l的方程．
解：(1)因為離心率e＝ca＝22，所以a＝2c.
因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因為四邊形MF1NF2的面積為32，所以2bc＝32，
所以b＝c＝4，a＝42，
故橢圓C的標準方程為x232＋y216＝1.
(2)由題意易知，直線l的斜率存在．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1232+y1216=1，x2232+y2216=1，
兩式相減得x12-x2232＋y12-y2216＝0，
所以y1-y2x1-x2＝－12·x1+x2y1+y2．
因為AB的中點坐標為(－2，1)，
所以y1-y2x1-x2＝1，即直線l的斜率為1，
故直線l的方程為y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0，經(jīng)驗證滿足題意．
點差法處理中點弦問題
設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計算量．
提醒：在求出直線方程以后，必須將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程，判斷該方程的Δ和0的關(guān)系，只有Δ＞0，直線才是存在的．
考向2 確定曲線方程或參數(shù)的值
【例3】已知橢圓x22＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點．設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，點A和點B關(guān)于直線l對稱，l與x軸交于點G，則點G橫坐標的取值范圍是 ．
-12，0 解析：因為直線AB過橢圓的左焦點F且不垂直于x軸，左焦點F(－1，0)，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由題意易知方程有兩個不等實根，則Δ＝(4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8＞0恒成立．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點N(x0，y0)，
則x1＋x2＝－4k22k2+1．
x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2+1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2+1．
因為點A和點B關(guān)于直線l對稱，
所以直線l為線段AB的垂直平分線，其方程為
y－y0＝－1k(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2+1＋k22k2+1
＝－k22k2+1＝－12＋14k2+2．
因為k≠0，所以－12＜xG＜0，
即點G橫坐標的取值范圍為-12，0．
利用根與系數(shù)的關(guān)系處理中點弦問題
聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求解．
1．已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上的一點到雙曲線的左、右焦點的距離之差為4，若拋物線y＝ax2上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且x1x2＝－12，則m的值為( )
A．32B．52
C．2D．3
A 解析：由雙曲線的定義知2a＝4，得a＝2，
所以拋物線的方程為y＝2x2.
因為點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y＝2x2上，
所以y1＝2x12，y2＝2x22，
兩式相減得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，
不妨設(shè)x1＜x2，又A，B關(guān)于直線y＝x＋m對稱，所以y1-y2x1-x2＝－1，故x1＋x2＝－12，而x1x2＝－12，解得x1＝－1，x2＝12．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點為M(x0，y0)，
則x0＝x1+x22＝－14，y0＝y(tǒng)1+y22＝2x12+2x222＝54．
因為中點M在直線y＝x＋m上，所以54＝－14＋m，解得m＝32．
2．過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p＞0)的兩條切線，切點分別為A，B.若線段AB的中點的縱坐標為6，則拋物線的方程為 ．
x2＝2y或x2＝4y 解析：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意得，y＝x22p，則y′＝xp，
所以切線MA的方程是y－y1＝x1p(x－x1)，
即y＝x1px－x122p．
又點M(2，－2p)位于直線MA上，
于是有－2p＝x1p×2－x122p，即x12－4x1－4p2＝0；
同理有x22－4x2－4p2＝0，
因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的兩根，
則x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由線段AB的中點的縱坐標是6，
得y1＋y2＝12，
即x12+x222p＝x1+x22-2x1x22p＝12，
即16+8p22p＝12，解得p＝1或p＝2.
故拋物線的方程為x2＝2y或x2＝4y.
課時質(zhì)量評價(五十三)
1．若直線y＝kx＋2與橢圓x27＋y2m＝1總有公共點，則m的取值范圍是( )
A．m＞1B．m＞0
C．0＜m＜4且m≠1D．m≥4且m≠7
D 解析：直線y＝kx＋2恒過定點(0，2)，若直線y＝kx＋2與橢圓x27＋y2m＝1總有公共點，則點(0，2)在橢圓x27＋y2m＝1內(nèi)部或在橢圓上，所以4m≤1，m≥4.由方程x27＋y2m＝1表示橢圓，則m＞0且m≠7.綜上，m的取值范圍是m≥4且m≠7.
2．(2024·長春模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，且與C交于A，B兩點．若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于( )
A．14B．12
C．1D．2
C 解析：由拋物線的對稱性知，要使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則AB必須垂直于x軸，故A，B兩點的坐標分別為p2，1，p2，-1或p2，-1，p2，1，代入拋物線方程可解得p＝1.
3．(2023·新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C：x23＋y2＝1的左焦點和右焦點分別為F1和F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點．若△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，則m＝( )
A．23B．23
C．－23D．－23
C 解析：記直線y＝x＋m與x軸交于M(－m，0)，
因為橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，且由△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
所以|－2－xM|＝2|2－xM|，解得xM＝23或xM＝32.
所以－m＝23或－m＝32，所以m＝－23或m＝－32.
聯(lián)立x23+y2=1，y=x+m，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
因為直線y＝x＋m與C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
所以m＝－32不符合題意，故m＝－23．
4．(2024·巴中模擬)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且斜率為34的直線與C的右支交于點P.若線段PF1恰被y軸平分，則C的離心率為( )
A．12B．233
C．2D．3
C 解析：如圖，設(shè)PF1交y軸于點A，A為PF1的中點．
又因為O為F1F2的中點，所以AO為△PF1F2的中位線，則AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2.
因為直線PF1的斜率為34，故在Rt△PF2F1中，tan ∠PF1F2＝34，
設(shè)|PF2|＝3t，則|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t，
結(jié)合雙曲線的定義以及點P在雙曲線右支上，
得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，則2a＝c，
所以e＝ca＝2.
5．(多選題)過雙曲線x2－y22＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則下列滿足條件的直線l有( )
A．x＝3B．x＋2y－1＝0
C．x－2y－3＝0D．x＋2y－3＝0
ACD 解析：由題意知F(3，0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝3，
由x=3，x2-y22=1，得y＝±2，
所以|AB|＝|y1－y2|＝4滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－3)，
由y=kx-3，x2-y22=1，
得(2－k2)x2＋23k2x－3k2 －2＝0.
當2－k2＝0時，不符合題意，
當2－k2≠0時，Δ＝(23k2)2＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2＝23k2k2-2，x1x2＝3k2+2k2-2，
|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2·23k2k2-22-12k2+8k2-2
＝1+k2·16k2+1k2-22＝4k2+1k2-2＝4，
解得k＝±22．
所以直線l的方程為y＝±22(x－3)，
即x±2y－3＝0.
6．過點(0，3)的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則直線l的方程為 ．
y＝13x＋3或y＝3或x＝0 解析：當直線l的斜率k存在且k≠0時，直線l的方程為y＝kx＋3(k≠0)，與拋物線方程聯(lián)立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由題可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝13，所以直線l的方程為y＝13x＋3；當k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時直線l平行于拋物線的對稱軸，且與拋物線只有一個公共點94，3；當k不存在時，若直線l與拋物線只有一個公共點，則直線l的方程為x＝0.綜上，過點(0，3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝13x＋3或y＝3或x＝0.
7．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F作斜率為5的直線l與C交于M，N兩點．若線段MN中點的縱坐標為10，則F到C的準線的距離為 ．
52 解析：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y12＝2px1，y22＝2px2，
兩式相減得y12-y22＝2px1－2px2，
即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
因為M，N兩點在斜率為5的直線l上，
所以y1-y2x1-x2＝2py1+y2＝5，
得5(y1＋y2)＝2p.
因為線段MN中點的縱坐標為10，
所以y1＋y2＝210，
則5×210＝2p，p＝52，
所以F到C的準線的距離為52.
8．已知焦點在x軸上的橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，短軸長為23，橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設(shè)橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝1827，求直線l的方程．
解：(1)由2b=23，a-c=1，a2-c2=b2，得a=2，b=3，c=1，
所以橢圓C的標準方程為x24＋y23＝1.
(2)由題意知，直線l的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1，0)，B(2，0)，
設(shè)直線l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x24+y23=1，x=my-1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0，
則y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝-93m2+4．
又S△BMN＝12|BF1|·|y1|＋12|BF1|·|y2|＝12|BF1|·|y1－y2|＝12|BF1|·y1+y22-4y1y2＝18m2+13m2+4＝1827，
解得m＝±1，
所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
9．(思維創(chuàng)新)(2024·淮北模擬)已知A(－2，0)，B(2，0)，過P(0，－1)且斜率為k的直線上存在不同的兩個點M，N滿足：|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23，則k的取值范圍是( )
A．-63，63
B．-63，-33∪-33，33∪33，63
C．33，63
D．-63，-33
C 解析：因為|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23＜|AB|＝4，
所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)為焦點的雙曲線的右支上的兩點，且c＝2，a＝3，
所以b＝c2-a2＝1，
所以雙曲線的方程為x23－y2＝1(x≥3)，
則過P(0，－1)且斜率為k的直線方程為y＝kx－1.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x23-y2=1，y=kx-1，
消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0，
所以1-3k2≠0， Δ=6k2+4×61-3k2＞0，x1+x2=-6k1-3k2＞0， x1x2=-61-3k2＞0，
解得33＜k＜63，即k的取值范圍為33，63．
10．(多選題)已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則( )
A．y1y2為定值
B．k1k2為定值
C．y1＋y2為定值
D．k1＋k2＋t為定值
ABD 解析：由x=ty+4，y2=4x，得y2－4ty－16＝0，
Δ＝16t2＋64＞0，
則y1+y2=4t，y1y2=-16.
對于A，y1y2＝－16為定值，故A正確；
對于B，k1k2＝y(tǒng)1y2x1x2＝y(tǒng)1y2y12y2216＝16y1y2＝－1為定值，故B正確；
對于C，y1＋y2＝4t，不為定值，故C錯誤；
對于D，k1＋k2＋t＝y(tǒng)1x1＋y2x2＋t＝x2y1+x1y2x1x2＋t＝ty2+4y1+ty1+4y2y12y2216＋t
＝2ty1y2+4y1+y2y12y2216＋t＝-32t+16t16＋t
＝－t＋t＝0為定值，故D正確．
11．已知點A(0，1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA與拋物線C的準線相交于點N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，則實數(shù)a的值為 ．
433 解析：依題意得拋物線的焦點F的坐標為a4，0，過點M作拋物線的準線的垂線，垂足為K(圖略)，
由拋物線的定義知|MF|＝|MK|.
因為|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.
又kFA＝0-1a4-0＝－4a，kFN＝－KNKM＝－3，F(xiàn)，N，A三點共線，
所以－4a＝－3，解得a＝433．
12．橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為12的直線l過左焦點F1且交C于A，B兩點，且△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π.若橢圓C的離心率為12，則|AB|＝ ．
45 解析：如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，則△ABF2的周長為4a.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，
又△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，故2π＝2πr，則r＝1.
由題意得12×4a×r＝12×2c×|y1－y2|，
得|y1－y2|＝2ac＝2e＝4，
所以|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝45.
13．已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點P(5，23)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為22，求直線l的方程．
解：(1)依題意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
則雙曲線C的方程為x2a2－y24-a2＝1(0＜a2＜4)．
將點P(5，23)代入上式，得25a2－234-a2＝1，
解得a2＝2或a2＝50(舍去)，
故雙曲線C的方程為x22－y22＝1.
(2)依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，
代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因為直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，
所以1-k2≠0， Δ=-4k2+241-k2＞0，
解得k≠±1， -3＜k＜3．(*)
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝4k1-k2，x1x2＝-61-k2，
所以|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2·22×3-k21-k2．
又原點O到直線l的距離d＝21+k2，
所以S△OAB＝12d·|AB|＝12×21+k2×1+k2×22×3-k21-k2＝22×3-k21-k2．
又S△OAB＝22，即3-k21-k2＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±2，滿足(*)．
故滿足條件的直線l有兩條，
其方程分別為y＝2x＋2和y＝－2x＋2.
14．已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，長軸長為4.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知直線l過定點E14，0，若橢圓C上存在兩點A，B關(guān)于直線l對稱，求直線l的斜率k的取值范圍．
解：(1)因為橢圓的離心率為e＝ca＝12，
長軸長為2a＝4，
所以a＝2，c＝1，則b2＝3，
所以橢圓C的標準方程為x24＋y23＝1.
(2)易知直線的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx-14，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當k＝0時，易得在橢圓C上有無數(shù)對A，B關(guān)于直線y＝0對稱．
當k≠0時，有kAB＝y(tǒng)1-y2x1-x2＝－1k，
設(shè)線段AB的中點坐標為(x0，y0)，因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上，
所以x124+y123=1，x224+y223=1，
兩式相減得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)，即3kx0＝4y0.
又y0＝kx0-14 ，
解得x0＝1，y0＝3k4．
因為線段AB的中點在橢圓內(nèi)部，
所以x024＋y023＜1，即14＋3k423＜1，
解得－2＜k＜0或0＜k＜2.
綜上，直線l的斜率k的取值范圍為(－2，2)．
代數(shù)法
即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標
幾何法
即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)

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