例1 (12分)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；[切入點(diǎn)：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2eq \r(2)，求△PAQ的面積．[關(guān)鍵點(diǎn)：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
思維升華 求值問題即是根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的方程，通過解方程求解．
跟蹤訓(xùn)練1 在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，焦距與長(zhǎng)軸之比為eq \f(\r(2),2)，A，B分別是橢圓C的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
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(2)若點(diǎn)P在直線x－y＋2＝0上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(BM,\s\up6(→))，求△PMA的面積；
(3)過點(diǎn)M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在線段OA上(不包括端點(diǎn)O，A)，直線NA與直線BM交于點(diǎn)P，求eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))的值．
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題型二 證明問題
例2 (2023·邵陽模擬)已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過F且垂直于x軸的直線交C于A(點(diǎn)A在第一象限)，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知l為C的準(zhǔn)線，過F的直線l1交C于M，N(M，N異于A，B)兩點(diǎn)，證明：直線AM，BN和l相交于一點(diǎn)．
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思維升華 圓錐曲線證明問題的類型及求解策略
(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)．
(2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明．
跟蹤訓(xùn)練2 (2022·寧德模擬)若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，C(0,1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上．
(1)求橢圓T的方程；
(2)動(dòng)直線y＝eq \f(\r(2),2)x＋t(t≠0)與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF的中點(diǎn)為M，連接OM(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，證明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
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