知識梳理
1．圓的定義和圓的方程
2.點與圓的位置關(guān)系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)|MC|>r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|0.( )
教材改編題
1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
3．(多選)下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是( )
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
題型一 圓的方程
例1 (1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三點的一個圓的方程為
________________________________________________________________________.
(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4
(2)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當(dāng)半徑最小時，圓的方程為____________．
題型二 與圓有關(guān)的軌跡問題
例2 已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
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(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
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思維升華 求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．
跟蹤訓(xùn)練2 (2023·宜昌模擬)已知定點M(1,0)，N(2,0)，動點P滿足|PN|＝eq \r(2)|PM|.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
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(2)已知點B(6,0)，點A在軌跡C上運動，求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程．
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題型三 與圓有關(guān)的最值問題
命題點1 利用幾何性質(zhì)求最值
例3 (2022·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
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(3)x2＋y2的最大值和最小值．
________________________________________________________________________
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命題點2 利用函數(shù)求最值
例4 (2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)．則eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值為________．
延伸探究 若將本例改為“設(shè)點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0,2)，B(0，－2)”，則|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 與圓有關(guān)的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．
(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)若點P(x，y)在圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，則eq \f(y,x＋1)的最大值為________．定義
平面上到的距離等于的點的集合叫做圓
方程
標(biāo)準(zhǔn)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心C_______
半徑為_______
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圓心C_______
半徑r＝_______

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