知識梳理
1．拋物線的概念
把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的，直線l叫做拋物線的．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
常用結論
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．( )
(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1,0)．( )
(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．( )
(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.( )
教材改編題
1．拋物線x2＝eq \f(1,4)y的準線方程為( )
A．y＝－eq \f(1,16)B．x＝－eq \f(1,16)
C．y＝eq \f(1,16)D．x＝eq \f(1,16)
2．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
題型一 拋物線的定義及應用
例1 (1)(2022·全國乙卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 “看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑．
跟蹤訓練1 (1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為eq \f(11,4)，則m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
(2)若P是拋物線y2＝8x上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________．
題型二 拋物線的標準方程
例2 分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．
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思維升華 求拋物線的標準方程的方法
(1)定義法．
(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論．
跟蹤訓練2 (1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為( )
A．y2＝eq \f(3,2)xB．y2＝9x
C．y2＝eq \f(9,2)xD．y2＝3x
(2)(2022·煙臺模擬)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2eq \r(2)，則該拋物線的準線方程為( )
A．x＝－eq \f(1,2)B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
題型三 拋物線的幾何性質
例3 (1)在拋物線y2＝8x上有三點A，B，C，F(xiàn)為其焦點，且F為△ABC的重心，則|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
(2)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經過點F，與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線交于點D.若|AF|＝8，則以下結論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
聽課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數形結合思想解題的直觀性．
跟蹤訓練3 (1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．
(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，則|FN|＝________.標準
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦點
準線
方程
對稱軸
頂點
離心率
e＝_____

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