適用于新教材提優(yōu)版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第八章直線和圓圓錐曲線8.5橢圓新人教A版-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)梳理
1．橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的．
2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
橢圓的焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．( )
(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．( )
(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．( )
教材改編題
1．橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為( )
A．6 B．3 C．4 D．2
2．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
3．若橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
題型一橢圓的定義及其應(yīng)用
例1 (1)(2022·麗江模擬)一動(dòng)圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是( )
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．雙曲線的一支
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
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延伸探究若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
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思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知△ABC的周長(zhǎng)為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)
B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0)
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長(zhǎng)的最大值為( )
A．4 B．8 C．10 D．20
題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
命題點(diǎn)1 定義法
例2 (2023·南京模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
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命題點(diǎn)2 待定系數(shù)法
例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，則該橢圓的方程為________．
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思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)“10)的左焦點(diǎn)F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C，F(xiàn)1是線段AB的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
題型三橢圓的幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1 離心率
例4 (1)(2022·太原模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且斜率為eq \f(\r(3),3)的直線交橢圓于點(diǎn)P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(2),2)
(2)(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq \f(1,4)，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
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思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)構(gòu)造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
命題點(diǎn)2 與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題
例5 (1)(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為eq \f(1,2)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則∠F1MF2的最大值為( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的離心率e＝eq \f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值為________．
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思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2023·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，射線AF1 交橢圓E于點(diǎn)B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
(2)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝eq \f(a2,c)上存在一點(diǎn)P滿足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范圍
頂點(diǎn)
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為______
焦點(diǎn)
焦距
|F1F2|＝____
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：________，對(duì)稱中心：______
離心率
a，b，c的關(guān)系

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