1.(5分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,4a1,2a3,a5成等差數(shù)列,則a1=( )
A.52-5B. 52+5
C.52D. 5
2.(5分)設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列,Sn,Tn分別為數(shù)列{lg an}與{lg bn}的前n項(xiàng)和,且SnTn=n+12n,則lga3b3等于( )
A.35B.95C.59D.53
3.(5分)若f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=2x+1,則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為( )
A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n
4.(5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=-5,a3=-1.記bn=Snan(n=1,2,…),則數(shù)列{bn}的( )
A.最小項(xiàng)為b3B.最大項(xiàng)為b3
C.最小項(xiàng)為b4D.最大項(xiàng)為b4
5.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上,如果函數(shù)f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N*,n≥2),那么函數(shù)f(n)的最小值為( )
A.13B.14C.712D.512
6.(5分)(多選題)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天腳步輕快有力,走了一段路程,第二天腳痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完這段路程.則下列說法正確的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的18
D.此人后三天共走了四十二里路
7.(5分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{lg Sn}是公差為lg 3的等差數(shù)列,則a2+a4+…+a2n= .
8.(5分)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若S2+a2=S3-3,則a4+3a2的最小值為 .
9.(5分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,寫出一個(gè){an}的通項(xiàng)公式an= ,使{an}滿足以下條件:①{an}是遞減數(shù)列;②{Sn}是遞增數(shù)列.
10.(10分)(2023·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
(1)若數(shù)列bn滿足bn=1+ann,證明:bn是常數(shù)列;
(2)若數(shù)列cn滿足cn=sin(π2an)+2an,求cn的前2n項(xiàng)和S2n.
11.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n22+3n2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an+2-an+1an+2·an,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn0) ,a1≠0,故由題意可得:
a1(1+q+q2+q3)=154a3=4a1+a5,a1(1+q+q2+q3)=154q2=4+q4,
解得q2=2,q=2 ,a1=52-5 .
2.(5分)設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列,Sn,Tn分別為數(shù)列{lg an}與{lg bn}的前n項(xiàng)和,且SnTn=n+12n,則lga3b3等于( )
A.35B.95C.59D.53
【解析】選D.因?yàn)閿?shù)列{an},{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以數(shù)列{lg an}與{lg bn}為等差數(shù)列.
因?yàn)镾nTn=n+12n,所以S5T5=lg(a1·a2·…·a5)lg(b1·b2·…·b5)=lga35lgb35=lgb3a3=610=35,則lga3b3=53.
3.(5分)若f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=2x+1,則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為( )
A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n
【解析】選A.因?yàn)閒(x)=xm+ax,
所以f'(x)=mxm-1+a.又因?yàn)閒'(x)=2x+1,
所以m=2,a=1,所以f(n)=n2+n=n(n+1),
所以1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以數(shù)列{1f(n)}的前n項(xiàng)和為
1f(1)+1f(2)+…+1f(n)=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.
4.(5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=-5,a3=-1.記bn=Snan(n=1,2,…),則數(shù)列{bn}的( )
A.最小項(xiàng)為b3B.最大項(xiàng)為b3
C.最小項(xiàng)為b4D.最大項(xiàng)為b4
【解析】選C.等差數(shù)列{an}中,a1=-5,a3=-1,
所以d=2,an=-5+2(n-1)=2n-7,
Sn=-5n+n(n-1)2×2=n2-6n,
則bn=Snan=n(n-6)2n-7.令f(x)=x2-6x2x-7,x>0,則f'(x)=2(x2-7x+21)(2x-7)2>0,
故f(x)在(0,72),(72,+∞)上單調(diào)遞增,沒有最大值.因?yàn)閎1=1,b3=9,b4=-8,結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性易得,當(dāng)n=4時(shí),bn取得最小值.
5.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上,如果函數(shù)f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N*,n≥2),那么函數(shù)f(n)的最小值為( )
A.13B.14C.712D.512
【解析】選C.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程,得an+1-an=1,所以{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n,所以f(n)=1n+1+1n+2+…+1n+n,f(n+1)=1n+2+1n+3+…+1n+n+2,
所以f(n+1)-f(n)=1n+n+1+1n+n+2-1n+1>12n+2+12n+2-1n+1=0,
所以f(n)單調(diào)遞增,故f(n)的最小值為f(2)=712.
6.(5分)(多選題)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天腳步輕快有力,走了一段路程,第二天腳痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完這段路程.則下列說法正確的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的18
D.此人后三天共走了四十二里路
【解析】選ABD.記每天走的路程里數(shù)為an(n=1,2,3,…,6),由題意知{an}是公比為12的等比數(shù)列,由S6=378,得a1(1-126)1-12=378,解得a1=192,所以a2=192×12=96,此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-(378-192)=6(里),a3=192×14=48,48378>18,前3天走的路程為192+96+48=336(里),則后3天走的路程為378-336=42(里).
7.(5分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{lg Sn}是公差為lg 3的等差數(shù)列,則a2+a4+…+a2n= .
【解析】S1=a1=1,則lg S1=lg 1=0,
因?yàn)閧lg Sn}是公差為lg 3的等差數(shù)列,
所以lg Sn=(n-1)lg 3=lg 3n-1,則Sn=3n-1.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2×3n-2,
a2=2,當(dāng)n≥2時(shí),an+1an=2×3n-12×3n-2=3,
所以數(shù)列{an}自第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列,可得a2+a4+…+a2n=2(1-9n)1-9=9n-14.
答案:9n-14
8.(5分)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若S2+a2=S3-3,則a4+3a2的最小值為 .
【解析】因?yàn)镾3-S2=a3,所以由S2+a2=S3-3,得a3-a2=3.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1=3q(q-1),由于{an}的各項(xiàng)均為正,所以q>1.
a4+3a2=a1q3+3a1q=a1q(q2+3)=3q(q-1)q(q2+3)=3(q2+3)q-1=3(q-1+4q-1+2)≥18,當(dāng)且僅當(dāng)q-1=2,即q=3時(shí),a4+3a2取得最小值18.
答案:18
9.(5分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,寫出一個(gè){an}的通項(xiàng)公式an= ,使{an}滿足以下條件:①{an}是遞減數(shù)列;②{Sn}是遞增數(shù)列.
【解析】由數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列可知數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起,各項(xiàng)都大于零,結(jié)合數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,考慮{an}為公比在0到1之間的等比數(shù)列,顯然,an=12n符合條件.
答案: (12)n(答案不唯一)
10.(10分)(2023·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
(1)若數(shù)列bn滿足bn=1+ann,證明:bn是常數(shù)列;
(2)若數(shù)列cn滿足cn=sin(π2an)+2an,求cn的前2n項(xiàng)和S2n.
【解析】(1)因?yàn)閎n+1-bn=1+an+1n+1-1+ann
=n(1+an+1)-(n+1)(1+an)(n+1)n
=n+nan+1-(n+1)-(n+1)an(n+1)n
=n+1-(n+1)(n+1)n=0,所以bn+1=bn,
所以bn是常數(shù)列.
(2)因?yàn)閍1=1,所以bn=b1=1+a11=2,所以1+ann=2,所以an=2n-1.
因?yàn)閏n=sin π2(2n-1)+22n-1=sin (nπ-π2)+22n-1,
所以S2n=sin π2+sin3π2+sin 5π2+…+sin(2nπ-π2)+(21+23+25+…+24n-1)
=(1-1+1-1+…-1)+2(1-42n)1-4=24n+1-23.
11.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n22+3n2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an+2-an+1an+2·an,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn0(n≥2),所以12n1-11+n,
所以當(dāng)n≥2時(shí),Pn

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