知識(shí)梳理
1．橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．
2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
橢圓的焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大， SKIPIF 1 < 0 最大．
(2) SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a﹣c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs θ.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．( )
(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
教材改編題
1．設(shè)P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
2．若橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為( )
A．3 B．2＋eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)＋1
3．已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為eq \f(1,2)，則C的方程可以為________．
題型一 橢圓的定義及其應(yīng)用
例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
延伸探究 若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
教師備選
1．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(﹣3,0)，B(3,0)，△ABC周長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
2．若F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為( )
A．7 B.eq \f(7,4) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
思維升華 橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知兩圓C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是( )
A.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 C.eq \f(x2,48)﹣eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)設(shè)橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，則對(duì)于橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)A，B，△ABF周長(zhǎng)的最大值為( )
A．4＋eq \r(5) B．6 C．2eq \r(5)＋2 D．8
題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
命題點(diǎn)1 定義法
例2 已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
命題點(diǎn)2 待定系數(shù)法
例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(eq \r(6)，1)，P2(﹣eq \r(3)，﹣eq \r(2))，則該橢圓的方程為________．
教師備選
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(1,2)，過(guò)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB的周長(zhǎng)為8，則橢圓方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
2．設(shè)橢圓eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)為(2,0)，離心率為eq \f(\r(2),2)，則此橢圓的方程為________．
思維升華 根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(﹣eq \r(5)，0)，F(xiàn)2(eq \r(5)，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
(2)已知F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
題型三 橢圓的幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1 離心率
例4 (1)已知F是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C的下頂點(diǎn)且斜率為eq \f(3,4)的直線與以點(diǎn)F為圓心、半焦距為半徑的圓相切，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
思維升華 求橢圓離心率或其范圍的方法
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)構(gòu)造a，c的齊次式．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
命題點(diǎn)2 與橢圓有關(guān)的范圍(最值)
例5 (1)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的離心率e＝eq \f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值為________．
【備選題】若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值為( )
A．2 B．3 C．6 D．8
思維升華 與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)；
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點(diǎn)．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為( )
A.eq \r(2)﹣1 B.eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)＋1
(2)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c，0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝eq \f(a2,c)上存在一點(diǎn)P滿足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
課時(shí)精練
1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A(﹣2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1 C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
2．若橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
3．橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))的取值范圍是( )
A．[﹣1,1] B．[﹣1,0] C．[0,1] D．[﹣1,2]
4．設(shè)e是橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的離心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(0,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3))) C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)
5．(多選)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，短軸長(zhǎng)等于2，離心率為eq \f(\r(6),3)，過(guò)焦點(diǎn)F1作y軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．橢圓C的方程為eq \f(y2,3)＋x2＝1 B．橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3) D．△PF2Q的周長(zhǎng)為4eq \r(3)
6．(多選)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，則以下說(shuō)法正確的是( )
A．|QF1|＋|QP|的最小值為2a﹣1
B．橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2
C．橢圓C的離心率的取值范圍為（0，eq \f(\r(5)－1,2)）
D．若eq \(PF1,\s\up6(—→))＝eq \(F1Q,\s\up6(—→))，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq \r(5)＋eq \r(17)
7．如圖是籃球在太陽(yáng)光照射下的影子，已知籃球的直徑為22 cm，現(xiàn)太陽(yáng)光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為________．
8．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________．
9．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(﹣3,0)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求△F1PF2的面積．
10．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，c)，A到直線EF2的距離為eq \f(\r(6),2)b.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若P為橢圓C上的一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq \r(3)，求橢圓C的方程．
11．(多選)已知橢圓C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，點(diǎn)P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4
B．存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2＝90°
C．直線PA1與直線PA2的斜率之積為﹣eq \f(9,16)
D．若△F1PF2的面積為2eq \r(7)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±eq \f(4\r(5),3)
12．(多選)2021年10月16日，神舟十三號(hào)發(fā)射圓滿成功，人民日?qǐng)?bào)微博發(fā)了一條“跨越時(shí)空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飛船在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即飛船的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論正確的是( )
A．飛船向徑的取值范圍是[a﹣c，a＋c]
B．飛船在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間
C．飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
D．飛船運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小
13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝eq \f(a2,c)上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
14．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)．若過(guò)F1的直線和圓eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P，且PF2⊥x軸，則該直線的斜率是________，橢圓的離心率是________．
15．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，若點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是________．
16．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．
直線與橢圓
考試要求 1.理解直線與橢圓位置關(guān)系判斷方法.2.掌握直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)公式.3.了解直線與橢圓相交的綜合問題．
知識(shí)梳理
1．直線與橢圓的位置判斷
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ>0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δb>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0)，過(guò)其焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，則橢圓方程為________．
題型一 直線與橢圓的位置關(guān)系
例1 已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：
(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；
(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
教師備選
(多選)直線y＝kx﹣eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)與橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的位置關(guān)系可能為( )
A．相交 B．相切 C．相離 D．有3個(gè)公共點(diǎn)
思維升華 判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法
(1)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．
(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(﹣m，0)，F(xiàn)2(m，0)的距離之和為4(00)的離心率為eq \f(\r(3),2)，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABO的面積為eq \f(3,5)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．
教師備選
已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，﹣3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|＝|OF|，其中O為原點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)C滿足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)．求直線AB的方程．
思維升華 (1)解答直線與橢圓相交的題目時(shí)，常用到“設(shè)而不求”的方法，即聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解．
(2)涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
跟蹤訓(xùn)練3 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1，B2.
(1)若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且eq \(F1P,\s\up6(－→))⊥eq \(F1Q,\s\up6(－→))，求直線l的方程．
課時(shí)精練
1．直線y＝x＋2與橢圓eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
2．已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，過(guò)M的右焦點(diǎn)F(3,0)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，則橢圓M的方程為( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
3．(多選)已知橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．已知直線y＝kx＋1，當(dāng)k變化時(shí)，此直線被橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1截得的最大弦長(zhǎng)是( )
A．2 B.eq \f(4\r(3),3) C．4 D．不能確定
5．(多選)設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率為k的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是( )
A．直線AB與OM垂直
B．若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1)，則直線方程為2x＋y﹣3＝0
C．若直線方程為y＝x＋1，則點(diǎn)M坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直線方程為y＝x＋2，則|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
6．(多選)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有( )
A．△ABF2的周長(zhǎng)為4a
B．若AB的中點(diǎn)為M，則kOM·k＝eq \f(b2,a2)
C．若eq \(AF1,\s\up6(－→))·eq \(AF2,\s\up6(－→))＝3c2，則橢圓的離心率的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(1,2)))
D．若|AB|的最小值為3c，則橢圓的離心率e＝eq \f(1,3)
7．已知直線l：y＝k(x﹣1)與橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1交于不同的兩點(diǎn)A，B，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq \f(1,2)，則k＝________.
8．與橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)且與直線l：x﹣y＋3＝0相切的橢圓的離心率為________．
9．已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，橢圓M的離心率為eq \f(1,2)，且過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1)求橢圓M的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)N(1,1)的直線與該橢圓M交于P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ的中點(diǎn)恰為點(diǎn)N，求直線PQ的方程．
10．設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，且離心率為eq \f(\r(3),2).F為E的右焦點(diǎn)，P為E上一點(diǎn)，PF⊥x軸，⊙F的半徑為PF.
(1)求橢圓E和⊙F的方程；
(2)若直線l：y＝k(x﹣eq \r(3))(k>0)與⊙F交于A，B兩點(diǎn)，與E交于C，D兩點(diǎn)，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
11．過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)M且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，稱作該橢圓過(guò)點(diǎn)M的“好弦”．在橢圓eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,16)＝1中，過(guò)點(diǎn)M(4eq \r(3)，0)的所有“好弦”的長(zhǎng)度之和為( )
A．120 B．130 C．240 D．260
12．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF2的周長(zhǎng)為8，則△MF1F2面積的最大值為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3
13．已知P(2，﹣2)是離心率為eq \f(1,2)的橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線被y軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是( )
A．﹣eq \f(1,8) B．﹣eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(1,8)
14．(多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓T：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓T于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．|AB|的最小值為eq \f(3,2)
B．若M(異于點(diǎn)F)為線段AB的中點(diǎn)，則直線AB與OM的斜率之積為﹣eq \f(3,4)
C．若eq \(AF,\s\up6(→))＝﹣2eq \(BF,\s\up6(→))，則直線AB的斜率為±eq \f(\r(5),2)
D．△AOB面積的最大值為3
15．(多選)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M，N是左、右頂點(diǎn)，e為橢圓C的離心率，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若eq \(AF1,\s\up6(―→))·eq \(BF1,\s\up6(―→))＝0,3eq \(AF2,\s\up6(―→))＝2eq \(F2B,\s\up6(―→))，|AF1|＝2|AF2|，設(shè)直線AB的斜率為k，直線AM和直線AN的斜率分別為k1，k2，直線BM和直線BN的斜率分別為k3，k4，則下列結(jié)論一定正確的是( )
A．e＝eq \f(\r(5),5) B．k＝±eq \f(1,2) C．k1·k2＝﹣eq \f(4,5) D．k3·k4＝eq \f(4,5)
16．已知直線l經(jīng)過(guò)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)(1,0)，交橢圓C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點(diǎn)M，N，|MN|2＝4|AB|，求證：直線m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上．
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范圍
﹣a≤x≤a且﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b且﹣a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(﹣a，0)，A2(a，0)
B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，
A2(0，a)
B1(﹣b，0)，
B2(b，0)
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a
焦點(diǎn)
F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，﹣c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：x軸和y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)
離心率
e＝eq \f(c,a)(0

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