一、單選題
1．已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為是雙曲線上不同于，的一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
2．已知一個(gè)玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長(zhǎng)為1，現(xiàn)有一個(gè)半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直線l：與曲線W：有三個(gè)交點(diǎn)D、E、F，且，則以下能作為直線l的方向向量的坐標(biāo)是（ ）．
A．B．C．D．
4．雙紐線是1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
①雙紐線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②；③雙紐線上滿足的點(diǎn)只有兩個(gè)；④的最大值是.
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
5．我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為，，則（ ）
附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.
A．B．
C．D．和的大小關(guān)系無(wú)法確定
6．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線：為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的有（ ）

（1）方程，表示的曲線在第二和第四象限；
（2）曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；
（3）曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；
（4）曲線上有個(gè)整點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）
二、多選題
7．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（ ）
A．直線與拋物線C有2個(gè)公共點(diǎn)
B．直線恒過(guò)定點(diǎn)
C．點(diǎn)的軌跡方程是
D．的最小值為
8．太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”下列有關(guān)說(shuō)法中正確的是（ ）
A．對(duì)圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；
B．函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)；
C．存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；
D．直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù)．
9．已知橢圓為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．記直線的斜率分別為，若，則（ ）
A．為定值B．為定值
C．的最大值為2D．的最小值為4
三、填空題
10．應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分支．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且，的面積為10，，則拋物線方程為 ．

11．如圖為世界名畫(huà)《星月夜》，在這幅畫(huà)中，文森特·梵高用夸張的手法，生動(dòng)地描繪了充滿運(yùn)動(dòng)和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對(duì)的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點(diǎn)與弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點(diǎn)滿足過(guò)這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為 .（參考數(shù)據(jù)：）
四、解答題
12．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，過(guò)作軸的垂線，點(diǎn)在軸下方，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點(diǎn)，，分別交于，兩點(diǎn)．
(1)若，與拋物線相切于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)證明：的外接圓過(guò)定點(diǎn)；
(3)求面積的最小值．
13．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，線段是圓的一條直徑，且的最小值為．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，與分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線斜率的最大值．
14．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如：如圖用一張圓形紙片，按如下步驟折紙：
步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)（即折疊后圖中的點(diǎn)與點(diǎn)重合）；
步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕，記折痕與的交點(diǎn)為；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來(lái)越多的折痕.
現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，按上述方法折紙.以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），連接交橢圓于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
15．江南某公園內(nèi)正在建造一座跨水拱橋．如平面圖所示，現(xiàn)已經(jīng)在地平面以上造好了一個(gè)外沿直徑為20米的半圓形拱橋洞，地平面與拱橋洞外沿交于點(diǎn)與點(diǎn)． 現(xiàn)在準(zhǔn)備以地平面上的點(diǎn)與點(diǎn)為起點(diǎn)建造上、下橋坡道，要求：①；②在拱橋洞左側(cè)建造平面圖為直線的坡道，坡度為 （坡度為坡面的垂直高度和水平方向的距離的比）；③在拱橋洞右側(cè)建造平面圖為圓弧的坡道；④在過(guò)橋的路面上騎車(chē)不顛簸．
(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條過(guò)橋道路，畫(huà)出大致的平面圖，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)與表達(dá)出來(lái)；
(2)并按你的方案計(jì)算過(guò)橋道路的總長(zhǎng)度；（精確到0.1米）
(3)若整個(gè)過(guò)橋坡道的路面寬為10米，且鋪設(shè)坡道全部使用混凝土．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所鋪設(shè)路面的相關(guān)幾何體，提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，寫(xiě)出解決該問(wèn)題的方案，并說(shuō)明理由 （如果需要，可通過(guò)假設(shè)的運(yùn)算結(jié)果列式說(shuō)明，不必計(jì)算）．
16．費(fèi)馬原理，也稱為時(shí)間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑．在凸透鏡成像中，根據(jù)費(fèi)馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值（光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積）．一般而言，空氣的折射率約為1．如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑為6，且與軸交于點(diǎn)．平行于軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點(diǎn)處并在此成像．（提示：光線從平凸透鏡的平面進(jìn)入時(shí)不發(fā)生折射）

(1)設(shè)該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線，試判斷屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應(yīng)的解析式．
(2)設(shè)曲線為解析式同的完整圓錐曲線，直線與交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)不與的頂點(diǎn)重合）．若，，試求出點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．
17．動(dòng)圓與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（ii）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，求的最大值.
18．某校數(shù)學(xué)問(wèn)題研究小組的同學(xué)利用電腦對(duì)曲線進(jìn)行了深入研究．已知點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．請(qǐng)同學(xué)們研究以下問(wèn)題，并作答．
(1)問(wèn)題1：過(guò)曲線的焦點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限．
（i）求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值；
（ii）曲線在點(diǎn)處的切線分別為，兩直線相交于點(diǎn)，證明．
(2)問(wèn)題2：若是曲線上任意兩點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)作軸的平行線交曲線于點(diǎn)，記線段與曲線圍成的封閉區(qū)域?yàn)?，研究小組的同學(xué)利用計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)多次模擬實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是個(gè)定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值．
19．已知雙曲線：，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)且與直線垂直的直線交直線于P點(diǎn)，直線OP交雙曲線于M，N兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若直線OP的斜率為，求的值；
(3)設(shè)直線AB，AP，AM，AN的斜率分別為，，，，且，，記，，，試探究v與u，w滿足的方程關(guān)系，并將v用w，u表示出來(lái)．
20．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），連接.
(1)證明：與不可能垂直；
(2)求的最小值；
21．已知橢圓：，直線：交橢圓于M，N兩點(diǎn)，T為橢圓的右頂點(diǎn)，的內(nèi)切圓為圓Q.
(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求圓Q的方程；
(3)設(shè)點(diǎn)，過(guò)P作圓Q的兩條切線分別交橢圓C于點(diǎn)A，B，求的周長(zhǎng).
22．在直角坐標(biāo)系中，圓Γ的圓心P在y軸上（不與重合），且與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．已知．
(1)求Ω的離心率；
(2)若Ω的右焦點(diǎn)為，且圓Γ過(guò)點(diǎn)F，求的取值范圍．
23．設(shè)雙曲線：（，）過(guò)，，，四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，其中與的右支交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與的右支相交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的最大值．
24．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若點(diǎn)，連接AD，BD，證明：；
(3)已知圓G以G為圓心，1為半徑，過(guò)A作圓G的兩條切線，與y軸分別交于點(diǎn)M，N且M，N位于x軸兩側(cè)，求面積的最小值．
25．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過(guò)兩點(diǎn)．
(1)求的方程．
(2)是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)，為底邊的等腰直角三角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案：
1．A
【分析】先根據(jù)雙曲線的方程，得到，再設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的極小值點(diǎn)，得到的值，再根據(jù)的關(guān)系求雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)為雙曲線上異于、兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則，
又，，所以：
所以，
設(shè)，則（），
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.
即時(shí)，取得最小值.
此時(shí)：.
故選：A
2．C
【分析】以軸截面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出該玻璃球的軸截面的方程和拋物線的方程，兩方程聯(lián)立，只有一個(gè)解求解.
【詳解】解：以軸截面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時(shí)，該玻璃球的軸截面的方程為．
因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為1，則拋物線的方程為，
代入圓的方程消元得：，
所以原題等價(jià)于方程在上只有實(shí)數(shù)解．
因?yàn)橛?，得或?br>所以需或，即或．
因?yàn)椋裕?br>故選：C．
3．C
【分析】由函數(shù)的性質(zhì)可得曲線的對(duì)稱中心，即得，再根據(jù)給定長(zhǎng)度求出點(diǎn)的坐標(biāo)即得.
【詳解】顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，
因此曲線的對(duì)稱中心為，由直線l與曲線的三個(gè)交點(diǎn)滿足，得，
設(shè)，則，令，則有，即，
解得，即，因此點(diǎn)或，或，
選項(xiàng)中只有坐標(biāo)為的向量與共線，能作為直線l的方向向量的坐標(biāo)是.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對(duì)稱中心為，從而得到，然后再去設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出的坐標(biāo)即可.
4．B
【分析】對(duì)①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；對(duì)②，根據(jù)的面積范圍證明即可；對(duì)③，易得若，則在軸上，再根據(jù)的軌跡方程求解即可；對(duì)④，根據(jù)題中所給的定點(diǎn)，距離之積等于，再畫(huà)圖利用余弦定理分析中的邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)而利用三角形三邊的關(guān)系證明即可.
【詳解】對(duì)①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程，
把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程，原方程不變，故①正確；
對(duì)②，因?yàn)?，故?br>又，所以，
即，故，故②正確；
對(duì)③，若，則在的中垂線即軸上，
故此時(shí)，代入，
可得，即，僅有一個(gè)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，因?yàn)椋剩?br>即，
因?yàn)?，?br>故，
即，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，
故，
即，解得，故④正確.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的性質(zhì)判定，因?yàn)樵摲匠梯^復(fù)雜，故在作不出圖象時(shí)，需要根據(jù)題意求出動(dòng)點(diǎn)的方程進(jìn)行對(duì)稱性的分析，同時(shí)需要結(jié)合解三角形的方法對(duì)所給信息進(jìn)行辨析.
5．A
【分析】運(yùn)用圓和橢圓的切線方程分別求得、，結(jié)合可判斷兩者大小.
【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，
則，解得，
所以，
若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，如圖所示，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，
所以橢圓的切線方程的斜率為，
將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
所以.
故選：A.
6．A
【分析】因?yàn)椋耘c異號(hào)，從而可判斷（1）；利用基本不等可判斷（2）；將以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成區(qū)域的面積進(jìn)行比較即可判斷（3）；先確定曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再將第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)，，逐一代入曲線的方程進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)對(duì)稱性即可判斷（4）.
【詳解】對(duì)于（1）：因?yàn)椋詘與y異號(hào)，故圖象在第二和第四象限，正確；
對(duì)于（2）：因?yàn)?，所以?br>所以，所以，正確；
對(duì)于（3）：以O(shè)為圓點(diǎn)，2為半徑的圓O的面積為，
結(jié)合（2）知然曲線C圍成的區(qū)域的面積小于圓O的面積，錯(cuò)誤；
對(duì)于（4）：將和聯(lián)立，解得，
所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，
點(diǎn)的位置是圖中的點(diǎn)M，

由曲線的對(duì)稱性可知，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)即可，
把，和代入曲線C的方程驗(yàn)證可知，等號(hào)不成立，
所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，再結(jié)合曲線的對(duì)稱性可知，曲線C只經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，錯(cuò)誤.
故選：A
7．BC
【分析】設(shè)出直線的方程為，代入，然后寫(xiě)出切線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷AB；根據(jù)B可得的軌跡方程，從而判斷C；利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出最值進(jìn)而判斷D.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，則，
對(duì)于A：拋物線在點(diǎn)處的切線為，
當(dāng)時(shí)得，即，
所以直線的方程為，整理得，
聯(lián)立，消去的，解得，即直線與拋物線C相切，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：直線的方程為，整理得，此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C：又選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，C正確；
對(duì)于D： ，
則，
令，
則，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，D錯(cuò)誤.
故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線聯(lián)立問(wèn)題
第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，都可由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程．
第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．
第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根的判別式.
第四步：寫(xiě)出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫(xiě)出．
第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中的結(jié)論．
8．BD
【分析】舉出反例判斷A；說(shuō)明的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，結(jié)合太極函數(shù)定義判斷B；說(shuō)明圖象關(guān)于對(duì)稱，不在函數(shù)圖象上，結(jié)合太極函數(shù)定義判斷C；求出直線過(guò)的定點(diǎn)，恰為圓心，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，如圖折線形成的函數(shù)是偶函數(shù)，滿足，

顯然函數(shù)的圖象能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將正弦函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位即得的圖象，
即的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，而圓也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
因此函數(shù)的圖象能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，B正確；
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，且?br>即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，

若是圓的太極函數(shù)，則圓的圓心應(yīng)為，但是不在的圖象上，
因此函數(shù)不能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線，即，
由，解得，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，
顯然直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，
該直線能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，D正確，
故選：BD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)新定義問(wèn)題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作答.
9．AD
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到方程，求出，證明橢圓在處的切線方程為，從而得到橢圓在點(diǎn)和的切線方程，得到切點(diǎn)弦方程為，對(duì)照系數(shù)結(jié)合得到的軌跡方程，A選項(xiàng)，計(jì)算出，，求出；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，得到雙曲線的漸近線，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，先得到，設(shè)，則，聯(lián)立雙曲線方程，由根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】由于，故不關(guān)于軸對(duì)稱且的橫縱坐標(biāo)不為0，
所以直線方程斜率一定存在，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
，
設(shè)，則，
故
，
其中，
故，即，
所以，解得，
下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡(jiǎn)得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，
其中，故，即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，
當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，
當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為；
故橢圓在點(diǎn)的切線方程為，
同理可得，橢圓在點(diǎn)的切線方程為，
由于點(diǎn)為與的交點(diǎn)，
故，，
所以直線為，
因?yàn)橹本€的方程為，對(duì)照系數(shù)可得
，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故點(diǎn)的軌跡為雙曲線位于第一象限的部分，
A選項(xiàng)，，同理可得，
則，A正確；
B選項(xiàng)，
，
其中
又，
故，不為定值，
故不是定值，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由于，，，故雙曲線的一條漸近線為，
設(shè)，則，故無(wú)最大值，
D選項(xiàng)，由于，，，故，
設(shè)，則，
則兩式聯(lián)立得，
由得，，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，又，
解得，滿足要求.
故的最小值為4，D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為：，
過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.
過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，
過(guò)橢圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為;
過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為,
過(guò)雙曲線外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為,
10．
【分析】設(shè)，由，解出得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合得拋物線方程.
【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)．
由，則有，解得，
又，解得，
，則有，
故拋物線方程為．
故答案為：
11．
【分析】設(shè)弧的中點(diǎn)為，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離.
【詳解】如圖，
設(shè)弧的中點(diǎn)為，弧所對(duì)的圓心角為，
圓的半徑，在弧上取兩點(diǎn)，則，
分別過(guò)點(diǎn)作圓的切線，并交直線于點(diǎn)，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線剛好是圓與圓的外公切線時(shí)，劣弧上一定還存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的切線為兩圓的內(nèi)公切線，
則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，
設(shè)線段交圓于點(diǎn)，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離即為線段的長(zhǎng)度.
在中，，
則，
即弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問(wèn)題.可按如下結(jié)論求解：
相離的兩個(gè)圓（圓心分別為和 ,半徑分別為和）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.
12．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由已知可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，給函數(shù)求導(dǎo)可得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示切線方程，聯(lián)立方程即可得點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)的兩條切線分別與拋物線切于，，寫(xiě)出直線，的方程，聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)外接圓方程，求出圓心，整理變形即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由已知設(shè)，坐標(biāo)，表示和到的距離，然后表示,設(shè)，，，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.
【詳解】（1）∵，與拋物線相切于，兩點(diǎn)，
設(shè)在左側(cè)，則，，
由得，所以，
所以的斜率為，的斜率為，
此時(shí)方程：，即．
方程：，即，聯(lián)立得；
（2）設(shè)過(guò)的兩條切線分別與拋物線切于，，
由（1）知直線的斜率為，所以直線方程為，即，
直線的斜率為，直線方程為，即，
所以且，，
設(shè)外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上，而的中點(diǎn)為，所以，
設(shè)外接圓方程為：過(guò)，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圓過(guò)定點(diǎn)；
（3）：，所以，，
所以，
到的距離為，所以，
設(shè)，，，由，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以，
令，，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，所以面積的最小值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，表示切線方程，聯(lián)立方程可表示點(diǎn)的坐標(biāo)；通過(guò)設(shè)，，，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，把三角形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最小值.
13．(1)；
(2)
【分析】（1）利用展開(kāi)計(jì)算求最值可得的值；
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，根據(jù)與圓相切求出滿足的二次方程，求出直線斜率的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.
【詳解】（1）連接，由題意知
，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，
得，
所以的方程為；
（2）由題意知，
連接，則，
所以．
又當(dāng)時(shí)，圓與軸相切，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，圓與軸相切，不滿足題意，
故且．
設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€為圓的切線，所以，
整理得．②
設(shè)直線的方程為，
同理可得，
所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
所以．設(shè)，
由得，同理可得，
所以直線的斜率為，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，．
所以直線斜率的最大值為．
14．(1)
(2)存在，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）由折紙的對(duì)稱性可知，，從而確定點(diǎn)的軌跡；
（2）設(shè)，，，，在根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示各條直線的解析式，然后得出直線恒過(guò)定點(diǎn)的結(jié)論，最后數(shù)形結(jié)合將面積比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比化簡(jiǎn)計(jì)算.
【詳解】（1）由題意可知，，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，焦距，
所以，所以軌跡的方程為；
（2）
存在，使得成立，
設(shè)，，，，
又，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，代入得：
，所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以直線斜率為，
所以直線的方程為，代入得：
，所以，所以，
所以，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)該定點(diǎn)為，
所以，，
，
，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
15．(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）解法1；以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求得圓的方程，得到，聯(lián)立方程組，求得，設(shè)圓的半徑為，求得圓的方程為，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；解法2：以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為，求得圓的方程為，得到，，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）解法1：求得圓弧的長(zhǎng)為，得到圓弧的長(zhǎng)為，進(jìn)而求得過(guò)橋道路的總長(zhǎng)度；解法2：根據(jù)題意，求得，得到圓弧的長(zhǎng)，求得圓弧的長(zhǎng)為，進(jìn)而得到過(guò)橋道路的總長(zhǎng)度；
（3）設(shè)計(jì)讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，提出問(wèn)題，結(jié)合面積公式，分別求得鋪設(shè)過(guò)橋路需要混凝土的值.
【詳解】（1）解法1、如圖所示，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，圓的方程為，
由，得，，
過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線的斜率為，其方程為，
所以直線的斜率為，其方程為，將其代入，
得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓與圓切于點(diǎn)（圓與y軸的交點(diǎn)），設(shè)圓的半徑為，
則，即，解得，
所以，圓的方程為，
故用函數(shù)表示過(guò)橋道路為 .
解法2、如圖所示，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
作圓與x軸相切于點(diǎn)，并和圓切于點(diǎn)，
設(shè)圓的半徑為，則，即，解得，
所以圓的方程為，
將直線的方程代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以用函數(shù)表示過(guò)橋道路為.
（2）解法1：由點(diǎn)的坐標(biāo)為，得，
所以圓弧的長(zhǎng)為3.398，
由點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，得，
所以圓弧的長(zhǎng)為32.175，
所以過(guò)橋道路的總長(zhǎng)度為，
解法2：因?yàn)椋?br>則，即，
所以圓弧的長(zhǎng)為，
又由點(diǎn)的坐標(biāo)為，得，
所以圓弧的長(zhǎng)為，
所以過(guò)橋道路的總長(zhǎng)度為63.9．
（3）解：設(shè)計(jì)讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，則橋拱左側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形為底面，
高為10米的柱體；橋拱右側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形（）為底面，高為10米的柱體，
提問(wèn)：鋪設(shè)坡道共需要混凝土多少立方米？
方案1：，
所以，鋪設(shè)過(guò)橋路需要混凝土10（）．
方案2：，
所以，鋪設(shè)過(guò)橋路需要混凝土10（）．
16．(1)為雙曲線的一部分，解析式為
(2)或
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值建立等量關(guān)系，簡(jiǎn)、整理即可得解；
（2）設(shè)出，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，的坐標(biāo)，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入的方程，得到兩個(gè)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及建立方程，解方程即可
【詳解】（1）設(shè)上任意一點(diǎn)，，光線從點(diǎn)至點(diǎn)的光程為，光線穿過(guò)凸透鏡后從點(diǎn)折射到點(diǎn)的光程為，
則，，
由題意得，得，化簡(jiǎn)得，
，．令，得，
為雙曲線的一部分，解析式為．
（2）由題意知．
設(shè)，，，，
則，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，
化簡(jiǎn)整理得．
同理可得，
與為方程的兩個(gè)解，
．
由題知，，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)可能為或.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系， 關(guān)鍵是將向量坐標(biāo)化，并將點(diǎn)代入曲線得到關(guān)于k的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
17．(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析，（ii）
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解點(diǎn)的軌跡方程；
（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而得出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出的定點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，由基本不等式得出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，
因?yàn)榕c，都內(nèi)切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)的方程為：，
則，，所以，
故的方程為：.
（2）（i）證明：設(shè)，，，
由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，
切線方程為，
因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，
故直線的方程為：，顯然當(dāng)時(shí)，，
故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
（ii）設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，整理得，
由韋達(dá)定理得，
又，所以直線的方程為，
令得，
，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，又，
所以
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
(3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.
18．(1)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）（i）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，然后求最值即可；（ii）利用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）， 找到各小塊三角形的面積與的關(guān)系，從而得到方程，解出值..
【詳解】（1）（i）明顯直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消去得，
則，
又，
則當(dāng)時(shí)，的面積最小，且最小值為；
（ii）由已知得，
聯(lián)立，解得，即
所以
所以；
（2）如圖. ，線段$AB$的中點(diǎn)，
則.
，
分別過(guò)線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，
作軸的平行線交拋物線分別于兩點(diǎn)，連接.
同理可得.
，（分子的上標(biāo)均省略了文字“的面積”）
又由于的面積的面積的面積，
所以，解得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是如何繞過(guò)直接求出曲線圍成的面積，通過(guò)找到各三角形與三角形之間的關(guān)系，從而解出值.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程求離心率；
（2）首先由已知得，由直線垂直關(guān)系，點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，聯(lián)立曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理求；
（3）首先由條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知條件表示，進(jìn)而求出和，再求直線，與雙曲線方程聯(lián)立，求得，并結(jié)合已知確定與的關(guān)系.
【詳解】（1）由雙曲線方程可知，，，，
所以雙曲線的離心率；
（2）設(shè)，，，由題意可知，，則直線的斜率，
所以直線的斜率，故直線的方程為，
聯(lián)立直線和雙曲線，，得，顯然，
由韋達(dá)定理得，，
所以；
（3）設(shè)，，則，
因?yàn)?，故為，代入，得點(diǎn)，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，故滿足雙曲線方程，即，
所以，
所以，
，
又，聯(lián)立直線雙曲線，，得，
根據(jù)題意知，此方程的兩根即為，所以，
所以，
，
即
所以，即
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率，整理后即可求解.
20．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）求出橢圓方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合求解即可.
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示，運(yùn)用換元法進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）由題意知，，
又因?yàn)椋詸E圓方程為，則，
證明：設(shè)，，則①，
如圖所示，
假設(shè)，即，
所以，
又，，
所以②，
由①②消去得到，與題設(shè)矛盾，所以與不可能垂直.
（2）如圖所示，

設(shè)方程為：，
由，得，
設(shè)，則，
所以，
，
所以，
設(shè)，
則
，
即當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為.
故的最小值為.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化簡(jiǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)的關(guān)系即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先聯(lián)立方程求得，，求出直線的方程，然后利用待定系數(shù)法求得內(nèi)切圓的方程；
（3）設(shè)過(guò)P作圓Q的切線方程為，利用相切關(guān)系求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)切圓的半徑利用三角形中等面積法求解即可.
【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）將代入橢圓方程得，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，
直線的方程為，即，
設(shè)圓Q方程為，由于內(nèi)切圓Q在的內(nèi)部，所以，
則Q到直線和直線的距離相等，即，解得，，
所以圓方程為.
（3）顯然直線和直線的斜率均存在，
設(shè)過(guò)P作圓Q的切線方程為，
其中k有兩個(gè)不同的取值和分別為直線和的斜率.
由圓Q與直線相切得：，化簡(jiǎn)得：，
則，
由得，
可得，
所以
.
同理，，所以直線的方程為，
所以與圓Q相切，將代入得，
所以，又點(diǎn)P到直線的距離為，
設(shè)的周長(zhǎng)為，則的面積，
解得.所以的周長(zhǎng)為.

22．(1)
(2)
【分析】（1）由點(diǎn)差法與直線與圓的性質(zhì)分別得到與直線的斜率有關(guān)的等量關(guān)系，結(jié)合已知條件將坐標(biāo)化，得，再結(jié)合兩斜率關(guān)系，整體消元可得，從而求出斜率；
（2）將化斜為直，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，再由韋達(dá)定理代入得關(guān)于的函數(shù)解析式，求解值域即可.
【詳解】（1）設(shè)，，則線段中點(diǎn)
由題意不與重合，則，由在雙曲線右支上，則，
所以斜率存在且不為.
由在雙曲線上，則，且，
兩式作差得，
所以有，
故①，
由圓Γ的圓心P在y軸上（P不與O重合），設(shè)，
由題意，
則，
化簡(jiǎn)得，由，得，
由圓Γ的圓心為，弦中點(diǎn)為，所以，
則，即②，
由①②得，，則，
故Ω的離心率為.
（2）由Ω的右焦點(diǎn)為，得，
由（1）知，，所以有，故雙曲線的方程為.
設(shè)圓的方程為，由圓Γ過(guò)點(diǎn)，則，
則圓的方程可化為，
聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得，
，
其中，，則有，
由，
同理，
所以，
其中，
令，則，
所以，
設(shè)，，
由函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，
所以有，
故,
.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線最值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵在把要求最值（范圍）的幾何量、代數(shù)式轉(zhuǎn)化為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式方法進(jìn)行求解.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得雙曲線不過(guò)點(diǎn)，將其余點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程計(jì)算即可得；
（2）借助韋達(dá)定理與兩點(diǎn)間距離公式表示出并化簡(jiǎn)后，可得，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由，，，與不能同過(guò)，與對(duì)稱，
故該雙曲線不過(guò)點(diǎn)，
則有，解得，即雙曲線方程為；
（2）由雙曲線方程為，故，
由題意可知，，的斜率均存在，
設(shè)的斜率為，則的斜率為，
即，設(shè)、，
令，則，即，
聯(lián)立雙曲線，有，
由雙曲線性質(zhì)可知，即，
此時(shí)恒成立，
有，，
則，，
故
，
同理可得，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
24．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)8
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再求出，再根據(jù)求出，即可求出拋物線C的方程；
（2）要證，即證DG平分，即證，結(jié)合（1）計(jì)算化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；
（3）記AM，AN分別與圓G切于點(diǎn)T，F(xiàn)，連接TG，MG，NG，求出，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得，，，再根據(jù)，求出，再結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，，
則，，
從而，解得，
所以拋物線C的方程為；
（2）要證，即證DG平分，即證，
由（1）可知，，
則
，
故；
（3）記AM，AN分別與圓G切于點(diǎn)T，F(xiàn)，連接TG，MG，NG，
由題意，得，
由切線長(zhǎng)定理，知，，，
所以，
又
，解得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
故面積的最小值為8．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題要做好兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化，把題中的已知和所求準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)與式，即形向數(shù)的轉(zhuǎn)化；二是設(shè)而不求，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．
25．(1)
(2)存在，個(gè)
【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)條件得到，即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)直線為，直線為，當(dāng)時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知滿足題意；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出中垂線方程，根據(jù)條件中垂線直經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程解的個(gè)數(shù)，即可解決問(wèn)題.
【詳解】（1）由題設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)闄E圓過(guò)兩點(diǎn)，
所以，得到，所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，易知直線的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)，，直線為，直線為，
由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，顯然有，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，由，消得到，
所以，，即，
同理可得，所以，
設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
所以中垂線方程為，
要使為為底邊的等腰直角三角形，則直中垂線方程過(guò)點(diǎn)，
所以，整理得到，
令，則，，所以有兩根，且，即有兩個(gè)正根，
故有2個(gè)不同的值，滿足，
所以由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，還存在2個(gè)符合題意的三角形，
綜上所述，存在以為頂點(diǎn)，為底邊的等腰直角三角形，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有3個(gè).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，通過(guò)設(shè)出直線為，直線為，聯(lián)立橢圓方程求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的中垂線方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程的解的問(wèn)題.

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