一、單選題
1．雙曲線的左右焦點分別為是雙曲線右支上一點，點關(guān)于平分線的對稱點也在此雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面直角坐標(biāo)系中的定點，，，動點，其中現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿x軸翻折成平面角為的二面角，則C，P兩點間距離的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知動直線l的方程為，，，O為坐標(biāo)原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．過點作圓的切線，為切點，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．艾溪湖大橋由于設(shè)計優(yōu)美，已成為南昌市的一張城市名片.該大橋采用對稱式外傾式拱橋結(jié)構(gòu)，與橋面外伸的圓弧形人行步道相對應(yīng)，寓意“張開雙臂，擁抱藍(lán)天”，也有人戲稱：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如圖）.其中像蝴蝶翅膀的叫橋的拱肋（俗稱拱圈），外形是拋物線，最高點即拋物線的頂點在橋水平面的投影恰為劣弧的中點（圖2），拱圈在豎直平面內(nèi)投影的高度為，劣弧所在圓的半徑為，拱跨度為，橋面寬為，則關(guān)于大橋兩個拱圈所在平面夾角的余弦值，下列最接近的值是（ ）（已知

A．B．C．D．
7．已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，，P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則（ ）
A．有且僅有一點P使二面角取得最小值
B．有且僅有兩點P使二面角取得最小值
C．有且僅有一點P使二面角取得最大值
D．有且僅有兩點P使二面角取得最大值
二、多選題
8．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為點到點的“折線距離”．點是坐標(biāo)原點，點在直線上，點在圓上，點在拋物線上．下列結(jié)論中正確的結(jié)論為（ ）
A．的最小值為2B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為
三、填空題
9．一光源在桌面的正上方，半徑為2的球與桌面相切，且PA與球相切，小球在光源的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓（其中球與截面的切點即為橢圓的焦點），如圖所示，形成一個空間幾何體，且正視圖是，其中，則該橢圓的離心率 .
10．如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是 ．
11．機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于 ．
12．是圓上一動點，為的中點，為坐標(biāo)原點，則的最大值為 .
13．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點在橢圓上，軸.點滿足.若直線與的交點在軸上，則的最大值為 .
14．我們稱如圖的曲線為“愛心線”，其上的任意一點都滿足方程，現(xiàn)將一邊在x軸上，另外兩個頂點在愛心線上的矩形稱為心吧．若已知點“愛心線”上任意一點的最小距離為，則用表示心吧面積的最大值為 ．
四、解答題
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓沿著軸正向無滑動地滾動，點為圓上一個定點，其初始位置為原點為繞點轉(zhuǎn)過的角度（單位：弧度，）.

(1)用表示點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；
(2)設(shè)點的軌跡在點處的切線存在，且傾斜角為，求證：為定值；
(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線上每個點的坐標(biāo)均可表示為，則該光滑曲線長度為，其中函數(shù)滿足.當(dāng)點自點滾動到點時，其軌跡為一條光滑曲線，求的長度.
16．如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱為“盆開線”．曲線與軸有兩個交點，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．
(1)設(shè)過點的直線與相切于點，求點的坐標(biāo)及直線的方程；
(2)過的直線與相交于點三點，求證：．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點變換為點的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)得到點（到原點距離不變），求點的坐標(biāo)；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)角得到點（到原點距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣；
(3)向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個向量，求證：．
18．如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個球都與平面α相切，切點分別為 ，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個模型證明了平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為Γ，為橢圓Γ的兩個焦點.設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于A，B兩點，過點A的母線分別與球相切于 C，D 兩點，已知以直線為x軸，在平面α內(nèi)，以線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)點 T在直線上，過點T作橢圓Γ的兩條切線，切點分別為M，N，A，B分別是橢圓Γ的左、右頂點，連接，設(shè)直線與交于點P.證明:點 P 在直線上.
19．人類對地球形狀的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程．古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實．其實，之前中國就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測量，發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長越長的事實，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符．地球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面，這說明橢球完全包含在由平面所圍成的長方體內(nèi)，其中按其大小，分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸．某橢球面與坐標(biāo)面的截痕是橢圓.
(1)已知橢圓在其上一點處的切線方程為．過橢圓的左焦點作直線與橢圓相交于兩點，過點分別作橢圓的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．
(2)我國南北朝時期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．當(dāng)時，橢球面圍成的橢球是一個旋轉(zhuǎn)體，類比計算球的體積的方法，運用祖暅原理求該橢球的體積．
20．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過點的動直線交于A，B兩點，點在軸上方，且不與軸垂直，的周長為，直線與交于另一點，直線與交于另一點，點為橢圓的下頂點，如圖①.
(1)當(dāng)點為橢圓的上頂點時，將平面xOy沿軸折疊如圖②，使平面平面，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)若過作，垂足為.
（i）證明:直線過定點；
（ii）求的最大值.
參考答案：
1．B
【分析】如圖，由題意可知且三點共線，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義求得，，，在、中分別利用余弦定理計算即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，則該角平分線為線段的垂直平分線，
所以，且三點共線，設(shè)，
則，，所以，
在中，由余弦定理，得，
又，所以，解得，所以，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，由，解得.
即雙曲線的離心率為.
故選：B
2．D
【分析】根據(jù)橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得
【詳解】由已知得，，
由橢圓定義可得，
根據(jù)光的反射定理可得為的角平分線，
由正弦定理，
所以，，又
所以
即.
故選：D.
3．A
【分析】先求出動點的軌跡方程，然后利用橢圓的參數(shù)方程求解空間中兩點C，P的距離．
【詳解】由，得動點的軌跡方程為，
于是可設(shè)；設(shè)上半橢圓所在平面為，下半橢圓所在平面為，
當(dāng)時，，
因為，，所以，從而；
若，依題意，點C到平面上的距離為，射影點，
于是，
因為， ，此時，從．
綜上可得，，
故選：A ．
4．B
【分析】利用萬能公式將直線方程化為，求出過原點與直線垂直的直線方程，進(jìn)而得出點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點到圓的距離即可求解.
【詳解】由可得，
令，由萬能公式可得，
，所以直線的方程為①，
由題意可知過原點與直線垂直的直線方程為②，
可得，即表示點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，
于是線段長度的取值范圍為，因為，
所以線段PQ長度的取值范圍為，
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)題意可得，三角換元令，，，利用三角恒變換求出最大值.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，
，令，，，
則，其中，
所以的最大值為.
故選：D.
6．A
【分析】根據(jù)題意求得，從而得到，再利用對稱性與余弦的倍角公式，結(jié)合齊次式弦化切即可得解.
【詳解】設(shè)弧的中點為，弦的中點為，圓心為，拱圈的頂點為，

有，易知，
則，故，
設(shè)，則，
根據(jù)對稱性兩個拱圈所在平面的夾角的余弦值為：.
故選：A.
7．D
【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再構(gòu)造輔助函數(shù)，最后用導(dǎo)數(shù)求最值方法判斷．
【詳解】過A作于M，連接MB、MC，如圖所示，
因為直線BC垂直單位圓O所在的平面，直線在平面內(nèi)，且直線BC交單位圓于點A，
所以，平面，，所以平面，
平面，所以，，
所以是二面角的平面角，
設(shè)，，，，則，
由已知得，，
， ， ，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，取最大值，沒有最小值，
即當(dāng)時取最大值，從而取最大值，
由對稱性知當(dāng)時，對應(yīng)P點有且僅有兩個點，
所以有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．
故選：D．
8．BCD
【分析】對A，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，可判斷對錯；
對B，根據(jù)折線距離的定義，寫出，利用基本（均值）不等式可判斷對錯；
對C：利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，結(jié)合三角函數(shù)的最值，可判斷對錯；
對D：利用拋物線的參數(shù)方程，，結(jié)合折線距離的定義，寫出，利用絕對值放縮和絕對值不等式，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可判斷對錯.
【詳解】對A：設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.故A錯；
對B：設(shè)，則.則，故B對；
對C：設(shè)，，則
（當(dāng)且僅當(dāng)，時取“”）.故C對；
對D：設(shè)，，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.故D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵之一是對“折線距離”的理解，根據(jù)新定義，寫出折線距離；關(guān)鍵之二是含有絕對值的式子的處理，可根據(jù)絕對值的放縮和絕對值不等式，去掉絕對值的符號再求相關(guān)最值.
9．/0.5
【分析】作出球的截面圖，易得，結(jié)合正切的二倍角公式求出的值，進(jìn)而知長軸的長，再由球與相切的切點為橢圓的一個焦點，可得的值，最后由，得解．
【詳解】如圖，是球的一個截面，圓分別與相切于點，，
因為，球的半徑為2，所以，，
所以，
所以，
因為是橢圓的長軸長，所以，所以，
根據(jù)球與相切的切點為橢圓的一個焦點，
所以，所以，
所以離心率．
故答案為：．
10．
【分析】設(shè)分別是與圓的切點，設(shè)，利用橢圓，雙曲線的定義分切求出的表達(dá)式，進(jìn)而可得的表達(dá)式，然后求出的取值范圍即可的解.
【詳解】如圖以的中點為原點直角坐標(biāo)系，設(shè)分別是與圓的切點，由圓的切線性質(zhì)得，
設(shè)，所以，，
在中，，
以為焦點經(jīng)過點的雙曲線的離心率為，
以為焦點經(jīng)過點的橢圓的離心率為，
則，
在中，設(shè)，所以，，
由余弦定理可得，
所以，所以，得，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出，然后根據(jù)余弦定理結(jié)合條件求出參數(shù)的取值范圍是解出此題的關(guān)鍵.
11．/
【分析】依題意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出橢圓長軸長，作出圓錐的軸截面交橢圓于點，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長，利用離心率定義計算即得.
【詳解】
如圖，設(shè),因,故，又,
由余弦定理，，
即,
設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，
連交于，以點為原點，為軸，建立直角坐標(biāo)系.
則,又由得,
從而則得,
不妨設(shè)橢圓方程為，把和點坐標(biāo)代入方程，解得，
則，故
故答案為：.
12．
【分析】寫出圓的參數(shù)方程，進(jìn)而可得點坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值即可.
【詳解】如圖所示，
因為圓：的參數(shù)方程為，
所以設(shè)點，則的中點，
所以，
當(dāng)時，取得最大值為.
故答案為：.
13．
【分析】先根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合三角換元可得答案.
【詳解】設(shè),由題意，；
不妨設(shè)點位于第一象限，由可得,
設(shè)直線與的交點為，則有,;
，
由可得，整理得①；
，
由可得，整理得②；
聯(lián)立①②可得，由題意，所以，
由橢圓的對稱性可知，
，
因為，設(shè)，，
，其中；
所以當(dāng)時，取到最大值.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有三個：一是理解新定義的含義；二是根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系;三是借助三角函數(shù)求解最值.
14．
【分析】根據(jù)題意，得到，曲線上任意一點求得的最小值為，進(jìn)而求得心吧面積的最大值.
【詳解】解：由曲線方程，
由點“愛心線”上任意一點且點在軸的右側(cè)，
所以點“愛心線”上任意一點的最小距離，一定出現(xiàn)在愛心線位于軸的右側(cè)的點，
當(dāng)時，可得，
設(shè)曲線上任意一點，且，
有，
因為的最小值為，所以的最小值為，
當(dāng)時，心吧面積為的最小值為；
當(dāng)時，心吧面積為的最大值為.
故答案為：.
15．(1)；
(2)證明見解析；
(3)8.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合三角函數(shù)及弧長計算求解.
（2）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，求出切線斜率，再借助三角恒等變換推理即得.
（3）由（1）及給定信息，求出并確定原函數(shù)，再求出弧長即得.
【詳解】（1）依題意，，則，
所以.
（2）由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及（1）得，因此，
而
，
所以為定值1.
（3）依題意，.
由，得，則，于是（為常數(shù)），
則，
所以的長度為8.
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為：.
16．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率乘積以及，可求得，可得橢圓方程和雙曲線方程，設(shè)切點為，可得切線方程，由過點，即可求解和直線方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的斜率之和為零，即可求證.
【詳解】（1）由題設(shè)可得,，
故橢圓方程為：，雙曲線方程為．
由圖可知，切點在雙曲線上．
設(shè)，則，則切線的方程為：，
因為直線過點，所以，，
將代入，得，
所以，，直線的方程為：．
（2）由題意可得的斜率存在且不為零，故設(shè)方程為：，
聯(lián)立整理得：，
,即且,
解得：或，即．
聯(lián)立整理得：，
解得：或，即．
所以，
所以，所以．
17．(1)
(2)，
(3)證明見解析
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的和，再由兩角和的正弦、余弦公式得到點的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的和，再由兩角和的正弦、余弦公式得到點的坐標(biāo)，再根據(jù)變換公式的定義得到變換公式及與之對應(yīng)的二階矩陣；
（3）根據(jù)定義分別計算、、，證明即可.
【詳解】（1）可求得，設(shè)，則，，
設(shè)點，，
故
所以.
（2）設(shè)，，則，，，
故
所以坐標(biāo)變換公式為，
該變換所對應(yīng)的二階矩陣為
（3）設(shè)矩陣，向量，，則．
，
對應(yīng)變換公式為：，
，
所以
故對應(yīng)變換公式同樣為
所以得證.
【點睛】方法點睛：利用三角函數(shù)的定義解題：（1）角的頂點與坐標(biāo)原點重合；（2）角的始邊與軸正半軸重合；在角的終邊上任取一點，該點到原點的距離，則：；； .
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)切線長定理可得，可得，，從而可求解.
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線，分別與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系從而可求解.
【詳解】（1）設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
由切線長定理知，
則，解得.
由，解得 .
所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）
設(shè),
已知，設(shè)，
聯(lián)立方程組 ，
消去 y得 ，
顯然，
由，可得 ，，
所以，
聯(lián)立方程組，
消去 y得 ，
顯然，
由，可得 ，，
同理
因為 M，N是切點，且，所以直線的方程為 ，即，
顯然直線MN過定點，即M，D，N三點共線，則 ，
解得或（舍去），
聯(lián)立方程組，解得 ，
即點 P 在直線上.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可知點的坐標(biāo)，直線不與軸重合，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，求出，根據(jù)題意可得橢圓在點處的切線方程，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，求出點到直線的距離，即可求出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值
（2）類比利用祖暅原理求球的體積的方法，構(gòu)造以1為半徑，為高的圓柱，挖去同底（圓柱的上底）等高的圓錐構(gòu)成的幾何體與半橢球滿足祖暅原理的條件，結(jié)合圓柱以及圓錐的體積公式，即可求得橢球的體積.
【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．
當(dāng)直線的傾斜角為時，分別為橢圓的左、右頂點，此時兩切線平行無交點，不符合題意，
所以直線的傾斜角不為,
設(shè)直線,
由,得，
則，
所以
,
又橢圓在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，
由，得，
代入，得，所以，
則點到直線的距離，
所以，
設(shè)，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時，的面積最小，最小值是；
（2）橢圓的焦點在軸上，長半軸長為，短半軸長為1，
橢球由橢圓及其內(nèi)部繞軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體，
構(gòu)造一個底面半徑為1，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，
圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體，
當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點距離為時，設(shè)小圓錐底面半徑為，
則，即，所以新幾何體的截面面積為，
把代入，得，解得，
所以半橢球的截面面積為，
由祖暅原理，得橢球的體積.
【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓相關(guān)三角形面積的求法以及祖暅原理的應(yīng)用，題目比較新穎，難度較大，解答的難點在于計算三角形面積時，要結(jié)合直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行化簡求解，計算量較大，另外要發(fā)揮空間想象能力，構(gòu)造出圓柱中挖去一個圓錐，進(jìn)而利用祖暅原理求解體積.
20．(1)
(2)（i）證明見詳解；（ii）
【分析】（1）據(jù)題意求出橢圓方程，折疊后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求出異面直線與所成角的余弦值；
（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點的坐標(biāo)，同理得到點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，根據(jù)對稱性，可判斷定點在軸上，故令，即可得到定點坐標(biāo)；（ii）由題意可知，點的軌跡為以，為直徑的圓（除外），由即可求解.
【詳解】（1）由橢圓定義可知，，
所以的周長為，所以，
又因為橢圓離心率為，所以，所以，
又，所以橢圓的方程：，
所以橢圓的焦點為，，
當(dāng)點為橢圓的上頂點時，，
所以直線的方程為：，
由解得，，
由對稱性知，
以為坐標(biāo)原點，折疊后原軸負(fù)半軸，原軸，原軸的正半軸所在直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
設(shè)直線與所成角為，
則，
異面直線與所成角的余弦值為.
（2）（i）設(shè)點，，，，
則直線的方程為，則，
由得，，
所以，
因為，所以，
所以，故，
又，
同理，，，
由三點共線，得，
所以，
直線的方程為，
由對稱性可知，如果直線過定點，則該定點在軸上，
令得，
，
故直線過定點.
（ii）由題意知點，點的軌跡為以，為直徑的圓（除外），
圓心為，半徑為，故.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.

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