一、單選題
1．斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，它在很多方面與大自然神奇的契合，小到地球上的動(dòng)植物，如向日葵?松果?海螺的成長(zhǎng)過(guò)程，大到海浪?颶風(fēng)?宇宙星系演變，都遵循著這個(gè)規(guī)律，人們親切地稱(chēng)斐波那契數(shù)列為自然界的“數(shù)學(xué)之美”，在數(shù)學(xué)上斐波那契數(shù)列一般以遞推的方式被定義：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則
B．在斐波那契數(shù)列中，從不大于34的項(xiàng)中任取一個(gè)數(shù)，恰好取到偶數(shù)的概率為
C．
D．
2．已知正項(xiàng)數(shù)列，滿(mǎn)足：，，，，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．2023
3．某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱(chēng)軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過(guò)程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開(kāi)始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對(duì)稱(chēng)，….若，為保證黏菌在繁殖過(guò)程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（ ）

A．6B．7C．8D．9
4．如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，令，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)列數(shù)列中的每一項(xiàng)稱(chēng)為斐波那契數(shù)，記作．已知．則（ ）
A．
B．
C．若斐波那契數(shù)除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列，則
D．若．則
6．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．
7．斐波那契螺旋線，也稱(chēng)“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后在正方形里面畫(huà)一個(gè)90度的扇形，連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線.它來(lái)源于斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為，則（ ）
A．B．
C．D．
8．甲、乙、丙三人做足球傳球訓(xùn)練，規(guī)定：每次傳球時(shí)，傳球人將球傳給另兩人中的任何一人是等可能的．假設(shè)第1次由甲將球傳出，第k次傳球后，球回到甲處的概率為（），則（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在正方體的頂點(diǎn)處有一只青蛙，假設(shè)青蛙會(huì)隨機(jī)地沿一條棱跳到相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)，且跳向每個(gè)頂點(diǎn)的概率相同，記青蛙跳動(dòng)次后仍在底面上的概率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．青蛙跳動(dòng)奇數(shù)次后只能位于點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)中某一個(gè)點(diǎn)處
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
D．青蛙跳動(dòng)4次后恰好回到點(diǎn)的概率為
三、填空題
10．斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為 ．
11．某校高三年級(jí)有個(gè)班，每個(gè)班均有人，第（）個(gè)班中有個(gè)女生，余下的為男生.在這n個(gè)班中任取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀幸来稳〕鋈?，若第三次取出的人恰為男生的概率是，則 .
12．高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ．
13．已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，設(shè)，且，則的最小值為 ；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件的所有值的和 .
14．設(shè)為的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的最小值為 ．
15．已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .
16．第24屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式由一朵朵六角雪花貫穿全場(chǎng)，為不少人留下深刻印象．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級(jí)Kch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級(jí)Kch曲線得到2級(jí)十八角雪花曲線（如圖3）……依次得到n級(jí)角雪花曲線．若正三角形邊長(zhǎng)為1，我們稱(chēng)∧為一個(gè)開(kāi)三角（夾角為），則n級(jí)角雪花曲線的開(kāi)三角個(gè)數(shù)為 ，n級(jí)角雪花曲線的內(nèi)角和為 ．
17．“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動(dòng)能．某市以“冰雪童話(huà)”為主題打造—圓形“夢(mèng)幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個(gè)景觀至多經(jīng)過(guò)一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有 種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則 （結(jié)果用表示）.
18．我國(guó)古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.已知長(zhǎng)度為的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類(lèi)推，則 ， .
四、解答題
19．從集合中隨機(jī)抽取若干個(gè)數(shù)（大于等于一個(gè)）．
(1)求這些數(shù)排序后能成等比數(shù)列的概率；
(2)求這些數(shù)排序后能成等差數(shù)列的概率．
20．設(shè)整數(shù)滿(mǎn)足，集合.從中選取個(gè)不同的元素并取它們的乘積，這樣的乘積有個(gè)，設(shè)它們的和為.例如.
(1)若，求；
(2)記.求和的整式表達(dá)式；
(3)用含，的式子來(lái)表示.
參考答案：
1．B
【分析】由數(shù)列的前兩項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可判斷A和B的真假；由遞推關(guān)系式用累加的方法可以判斷C和D的真假.
【詳解】對(duì)于A，，
，
，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，斐波那契數(shù)列數(shù)列中不大于34的數(shù)依次是，
其中偶數(shù)有3個(gè)，所以任取一個(gè)數(shù)字，取到的偶數(shù)的概率為，所以B正確；
對(duì)于C，由，，，，，
上式相加得：，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，
則，，，
，，
上式相加得：，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解斐波那契數(shù)列的遞推式，并熟練掌握其變形.
2．B
【分析】由，則，再利用放縮法與裂項(xiàng)相消求解
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
又因?yàn)椋裕?br>即，，
從而，
所以，
又，
所以，
即，
故，
則.
故選：B
3．C
【分析】根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離，結(jié)合無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和的計(jì)算公式，即可判斷答案.
【詳解】由題意可知，，只要計(jì)算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，
依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為：，
則，
黏菌無(wú)限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和，
即，
綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，背景比較新穎，解答的關(guān)鍵是理解題意，能明確黏菌的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離的和，結(jié)合等比數(shù)列求和即可.
4．D
【分析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再根據(jù)集合新定義確定，再由不等式恒成立分類(lèi)討論時(shí)列不等式和時(shí)列不等式求出對(duì)應(yīng)的值取并集即可.
【詳解】因?yàn)榈那皀項(xiàng)和為，
所以當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，符合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，
數(shù)列滿(mǎn)足，
因?yàn)椋龋?br>所以，
所以，
因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，而是遞增數(shù)列；
，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，
所以是數(shù)列中的最小項(xiàng)，
所以當(dāng)時(shí)，則，即，解得，
當(dāng)時(shí)，則，即，解得，
取并集可得，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中集合新定義是取較大者，這樣就轉(zhuǎn)化成比較和的大小問(wèn)題了，利用已知求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式再比較大小可確定，最后由不等式恒成立，列不等式組求出參數(shù)范圍即可.
5．BC
【分析】A，B，結(jié)合遞推公式，寫(xiě)出前14項(xiàng)即可；C，是以6為最小正周期的數(shù)列；D，結(jié)合遞推公式迭代即可.
【詳解】對(duì)于A，斐波那契數(shù)列，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，由斐波那契數(shù)除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列，
因?yàn)?，，，，，?br>根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，
，，，，，.
同理可推得，當(dāng)時(shí)，有，，，，，，
所以是以6為最小正周期的數(shù)列，又因?yàn)椋?br>，，C正確；
對(duì)于D，由斐波那契數(shù)列性質(zhì)，，
．
可知
，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
6．ABD
【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征得出數(shù)列為，，，，，，，再利用數(shù)列的周期性可得出選項(xiàng)A和C的正誤，利用波那契數(shù)列的特征，可判斷出選項(xiàng)B和D的正誤.
【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出，數(shù)列為依次連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，
所以數(shù)列為，，，，，，，則數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，
選項(xiàng)項(xiàng)A，因?yàn)椋蔬x項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，且，，?br>所以或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因
，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
7．AD
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項(xiàng)A，再根據(jù)累加法計(jì)算判斷選項(xiàng)B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項(xiàng)C，再次應(yīng)用累加法及遞推公式判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由遞推公式，可得，，
所以，A選項(xiàng)正確；
又由遞推公式可得，，，類(lèi)似的有，
累加得，
故錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由題可知扇形面積，
故，
故錯(cuò)誤，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，
，
，
，
類(lèi)似的有，
累加得，
又，所以，
所以正確，D選項(xiàng)正確；
故選：AD.
8．AC
【分析】由傳球規(guī)則得，判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】因?yàn)?，A正確；
因?yàn)?，，所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，即，C正確；
因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)睛】第次傳球后，球回到甲處等價(jià)于第次傳球后，球不在甲處且下一次傳球給甲.
9．ACD
【分析】由條件直接代入即可判斷AB，由條件可得是等比數(shù)列，即可判斷CD.
【詳解】跳動(dòng)1次后等可能地在頂點(diǎn)處，，故A正確.
跳動(dòng)奇數(shù)次后只能位于點(diǎn)，跳動(dòng)偶數(shù)次后只能位于點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.
，故，故是等比數(shù)列，且，即，故C正確.
由點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)偶數(shù)次移動(dòng)只能到達(dá)點(diǎn)（奇數(shù)次后只能位于點(diǎn)），考慮移動(dòng)次（是偶數(shù)）返回到的路徑數(shù)為，顯然.由于移動(dòng)次后只能位于點(diǎn)，其中位于再移動(dòng)1次就可能返回到，所以考慮移動(dòng)次后所在點(diǎn)，把這四個(gè)點(diǎn)分成兩類(lèi)：點(diǎn)和點(diǎn).
若在點(diǎn)（路徑數(shù)為），再移動(dòng)2次返回到只有3種折返路徑（即）；若在點(diǎn)（路徑數(shù)為）中的一個(gè)，再移動(dòng)2次返回到的路徑數(shù)每個(gè)點(diǎn)處都有2條路徑（即）.綜上，移動(dòng)次（是偶數(shù)）返回到的路徑數(shù)，即，累加可得，總路徑數(shù)為，故青蛙跳動(dòng)（為偶數(shù)）次后恰好回到的概率為，當(dāng)時(shí)，，故D正確.
故選：ACD
10．
【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，然后可解.
【詳解】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有674個(gè)偶數(shù)，1350個(gè)奇數(shù)，
記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為F，
則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，
顯然集合E共有個(gè)，集合F共有個(gè)，
所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個(gè)，
又集合A的非空子集共有個(gè)，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將集合分拆成所有偶數(shù)組成的集合及所有奇數(shù)組成的集合，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出含有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)組成的集合個(gè)數(shù).
11．
【分析】根據(jù)題設(shè)，第個(gè)班中，取三次的方法有種，再求第三次取出的人為男生的方法數(shù)，進(jìn)而求出第個(gè)班中第三次取出的人為男生的概率，再由即可求參數(shù).
【詳解】每個(gè)班被取出的概率為，取第個(gè)班中取三次的方法有種；
第三次取出的人為男生的方法，如下四種情況：
男男男：種；
女男男：種；
男女男：種；
女女男：種；
所以，第三次取出為男生的方法數(shù)：
，
綜上，第個(gè)班中第三次取出的人為男生的概率，
所以，任選一個(gè)班第三次取出的人恰為男生的概率，
則，即，可得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先求出第個(gè)班中，取三次的方法數(shù)和第三次取出的人為男生的方法數(shù)，進(jìn)而得到第個(gè)班中第三次取出的人為男生的概率為關(guān)鍵.
12．
【分析】由變形為，得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到，再利用累加法得到，從而，再利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】解：由得，又，
所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，故，
由累加法得
所以，
，
又，
令，
，
，
代入得.
故答案為：2025
13．
【分析】由的最小公倍數(shù)為，得只需在這個(gè)范圍內(nèi)討論即可，再結(jié)合等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，
則，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
則，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
則，解得，
所以的最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
則，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，，故舍去，
因?yàn)榈淖钚」稊?shù)為，
以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，則，
以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，則，
所以數(shù)列和是滿(mǎn)足條件的所有值，
令，解得，
令，解得，
則當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件的所有值的和
.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由的最小公倍數(shù)為，可得只需在這個(gè)范圍內(nèi)討論，求出這個(gè)范圍內(nèi)的的值，是解決本題的關(guān)鍵.
14．/0.2
【分析】賦值法求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷，確定結(jié)合等差數(shù)列求和公式得，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距的平方進(jìn)而求解.
【詳解】令可得，，，
設(shè)，則，
令，得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
則
故對(duì)任意的，
故，故，即
，
則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，
最小值即點(diǎn)到的距離的平方，
與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
且點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離，
的最小值為
故答案為:
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值及點(diǎn)點(diǎn)距的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出，進(jìn)而確定.
15．
【分析】求出通項(xiàng)公式和第項(xiàng)，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，利用錯(cuò)位相減法即可得出的值.
【詳解】由題意，
數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
所以，即，
解得或（舍），
所以，則.
當(dāng)時(shí)，，
即，共有個(gè).（
因?yàn)椋?，?br>則，②
由①-②得，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查錯(cuò)位相減法，取整函數(shù)，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和求法，數(shù)列求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題，處理問(wèn)題的能力，具有很強(qiáng)的綜合性.
16．
【分析】利用觀察歸納法求出邊數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，再利用n級(jí)角雪花曲線的開(kāi)三角個(gè)數(shù)及曲線的內(nèi)角和變化規(guī)律列式求和即得.
【詳解】依題意，n級(jí)角雪花曲線的每一條邊按生成，得級(jí)角雪花曲線的4條邊，
因此n級(jí)角雪花曲線的邊數(shù)構(gòu)成以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則n級(jí)角雪花曲線的邊數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，曲線有6個(gè)開(kāi)角，n級(jí)角雪花曲線的開(kāi)角數(shù)為，，
由于n級(jí)角雪花曲線的每一條邊，向外形成一個(gè)開(kāi)角，因此，
當(dāng)時(shí)，n級(jí)角雪花曲線的開(kāi)角數(shù)
，滿(mǎn)足上式，
所以n級(jí)角雪花曲線的開(kāi)角數(shù)；
令n級(jí)角雪花曲線的內(nèi)角和為，顯然，
而n級(jí)角雪花曲線到級(jí)角雪花曲線每增加一個(gè)開(kāi)角，其內(nèi)角和增加，
于是，當(dāng)時(shí)，n級(jí)角雪花曲線的內(nèi)角和：
，滿(mǎn)足上式，
所以n級(jí)角雪花曲線的內(nèi)角和為.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系即可解決.
17． 8
【分析】結(jié)合題意及分類(lèi)加法原理，依次計(jì)算到達(dá)、、、、的走法即可.由題意可知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，即（且），結(jié)合累加法求解即可.
【詳解】由題意知，到達(dá)點(diǎn)共有1種走法，
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)，一種是直接到達(dá)），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)，一種是經(jīng)過(guò)，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)和，一種是經(jīng)過(guò)，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過(guò)和，一種是經(jīng)過(guò)和，所以到達(dá)將、的走法加起來(lái)），
故按圖中所示方向到達(dá)有8種不同的打卡路線.
由題意知，，，，，，…，（且），
因?yàn)椋ㄇ遥?br>所以，，，…，，（且），
將上式累加可得，（且），
整理可得，又，，
所以，即.
故答案為：8；.
18． /
【分析】先由題意推導(dǎo)每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式及裂項(xiàng)相消求解.
【詳解】由題可得，，
從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的，
故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以.
,
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的方法有：
，
，
，
，
19．(1)
(2)
【分析】（1）先得到5、7不能被抽到，再分抽取的數(shù)有1和無(wú)1，結(jié)合抽取的數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)行分類(lèi)討論，求出抽取的所有結(jié)果共有種，從而得到概率；
（2）根據(jù)抽取的個(gè)數(shù)和公差進(jìn)行分類(lèi)討論，求出這些數(shù)排序后能成等差數(shù)列的個(gè)數(shù)，結(jié)合（1）中所求的抽取的所有結(jié)果共有中，從而求出概率.
【詳解】（1）若5、7在所抽取的數(shù)里，由于其是質(zhì)數(shù)，且無(wú)法找到其他被其整除的數(shù)，故5、7不能被抽取到．
①若抽取的數(shù)有1，
（I）若抽取三個(gè)數(shù)，設(shè)其他兩個(gè)數(shù)為，則，
符合條件的只能為和兩組，
此時(shí)所抽取的數(shù)為和，共兩組；
（II）若所抽取的數(shù)的個(gè)數(shù)大于3，記此等比數(shù)列的公比為，則．
若，則所抽取的數(shù)為；
若，則該等比數(shù)列的最大一項(xiàng)大于等于，明顯不符合題意，
故該情況僅有，1組符合條件．
②若抽取的數(shù)無(wú)1，則抽取的數(shù)應(yīng)在中．
當(dāng)時(shí)，僅有符合題意；
若公比，此時(shí)若最小的一項(xiàng)為3，則最大一項(xiàng)，矛盾，
所以最小的一項(xiàng)應(yīng)為2．易知符合條件的僅有，1組．
綜合上述情況，僅有，，，，共5組符合條件．
而抽取的所有結(jié)果共有種，故概率；
（2）①當(dāng)抽取的數(shù)有3項(xiàng)時(shí)，
（I）若該等差數(shù)列的公差，則有，，，共7組符合條件．
（II）若該等差數(shù)列的公差，則有，，，共5組符合條件．
（III）若該等差數(shù)列的公差，則有，，共3組符合條件．
（IV）若該等差數(shù)列的公差，則僅有，1組符合條件．
（V）若該等差數(shù)列的公差，則沒(méi)有滿(mǎn)足條件的選取組合．
故此情況共有組符合條件；
②當(dāng)抽取的數(shù)有4項(xiàng)時(shí)，
（I）若該等差數(shù)列的公差，則有，，，共6組符合條件．
（II）若該等差數(shù)列的公差，則有，，共3組符合條件．
（III）若該等差數(shù)列的公差，則沒(méi)有滿(mǎn)足條件的選取組合．
故此情況共有組符合條件．
③當(dāng)抽取的數(shù)有5項(xiàng)時(shí)，
（I）若該等差數(shù)列的公差，則有，，，共5組符合條件．
（II）若該等差數(shù)列的公差，則僅有，1組符合條件．
（III）若該等差數(shù)列的公差，則沒(méi)有滿(mǎn)足條件的選取組合．
故此情況共有組符合條件．
以此類(lèi)推，當(dāng)抽取6、7、8、9項(xiàng)時(shí)，都當(dāng)且僅當(dāng)公差為1時(shí)有符合條件的選取組合，分別有4、3、2、1組，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的選取組合共有組，
由（1）知，抽取的所有結(jié)果共有種，故概率．
20．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，從而表示出與，然后相除，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，可得，，再由（2）可得，然后化簡(jiǎn)即可得到，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
（2）因?yàn)椋?br>，
兩式相除，，
，
兩式相除，
（3）因?yàn)棰?，所以?br>因?yàn)棰?，所以?br>由（2）和①可得，③，
由②和③，比較的系數(shù)，可得④，
因?yàn)?br>，
由②比較的系數(shù)可得⑤，
由④⑤消去可得，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力轉(zhuǎn)化能力和總和應(yīng)用能力，其中將定義中的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)點(diǎn)是考查的重點(diǎn)，需熟練掌握.

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