一、單選題
1．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若存在個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
2．設(shè)集合，，那么集合中滿(mǎn)足的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．60B．100C．120D．130
3．已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則曲線的曲率．若函數(shù)為，則其曲率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線與函數(shù)的圖象在處的切線沒(méi)有交點(diǎn)，則（ ）
A．6B．7C．8D．12
6．已知函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
8．設(shè)，有如下兩個(gè)命題：
①函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②存在唯一的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．
則下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．①正確，②正確B．①正確，②不正確
C．①不正確，②正確D．①不正確，②不正確
9．已知函數(shù)，滿(mǎn)足，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)之和為（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足，給出兩個(gè)命題：
①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)?，則對(duì)任意都有.
則下列判斷正確的是（ ）
A．①②都是假命題B．①②都是真命題
C．①是假命題，②是真命題D．①是真命題，②是假命題
12．已知，集合，，. 關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說(shuō)法正確的是（ ）
命題①：集合表示的平面圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；
命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于.
A．①真命題；②假命題B．①假命題；②真命題
C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題
二、多選題
13．在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（ ）
A．存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)
B．旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù)
C．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則
D．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則
14．已知函數(shù)，設(shè)是曲線與直線的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，則（ ）
A．存在實(shí)數(shù)，使得B．對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有
C．存在實(shí)數(shù)，使得D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有
15．已知，（參考數(shù)據(jù)），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是周期為的周期函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)
D．設(shè)，則在上共有5個(gè)零點(diǎn)
三、填空題
16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則的中位數(shù)為 .
17．已知，若，均有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
18．已知函數(shù)，若存在一條直線同時(shí)與兩個(gè)函數(shù)圖象相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．
19．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
20．函數(shù)的最小值是 ．
21．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，則的最大值為 ．
22．函數(shù)的最大值為 ．
23．若對(duì)于，，使得不等式恒成立，則整數(shù)x的最大值為 ．
24．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為 ．
四、解答題
25．定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱(chēng)為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱(chēng)使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱(chēng)為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱(chēng)好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿(mǎn)足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱(chēng)之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).
(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；
(2)已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).
（i）求證：；
（ii）求證：.
注：.
26．設(shè)全集為，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是關(guān)于x的函數(shù)“函數(shù)組”，當(dāng)n取中不同的數(shù)值時(shí)可以得到不同的函數(shù)．例如：定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，有若存在非空集合滿(mǎn)足當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則稱(chēng)是上的“跳躍函數(shù)”．
(1)設(shè)，若函數(shù)是上的“跳躍函數(shù)”，求集合;
(2)設(shè)，若不存在集合使為上的“跳躍函數(shù)”，求所有滿(mǎn)足條件的集合的并集；
(3)設(shè)，為上的“跳躍函數(shù)”，．已知，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有．
（i）證明：;
（ii）求實(shí)數(shù)的最大值，使得對(duì)于任意，均有的零點(diǎn)．
27．設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖象．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱(chēng)是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；
(2)已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
28．設(shè)集合是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)任意，定義，稱(chēng)為集合的一個(gè)度量，稱(chēng)集合為一個(gè)對(duì)于度量而言的度量空間，該度量空間記為.
定義1：若是度量空間上的一個(gè)函數(shù)，且存在，使得對(duì)任意，均有：，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.
定義2：記無(wú)窮數(shù)列為，若是度量空間上的數(shù)列，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
(1)設(shè)，證明：是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；
(2)已知是度量空間上的一個(gè)壓縮函數(shù)，且，定義，，證明：為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
29．對(duì)稱(chēng)變換在對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱(chēng)K具有對(duì)稱(chēng)性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，類(lèi)似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿(mǎn)足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
對(duì)于一個(gè)群G，稱(chēng)Ⅲ中的e為群G的單位元，稱(chēng)Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群．

(1)直接寫(xiě)出集合S（用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；
(2)同一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．
①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；
②已知H是群G的一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；
③寫(xiě)出群S的所有子群．
30．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱(chēng)集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.
(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；
(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；
(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.
注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).
31．我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤(pán)可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間向量用元有序數(shù)組表示，其中稱(chēng)為空間向量的第個(gè)分量，為這個(gè)分量的下標(biāo)．對(duì)于維空間向量，定義集合．記的元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）．
(1)若空間向量，求及；
(2)對(duì)于空間向量．若，求證：，若，則；
(3)若空間向量的坐標(biāo)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，求證：．
32．對(duì)于函數(shù)及實(shí)數(shù)m，若存在，使得，則稱(chēng)函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)．
(1)若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
(2)已知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足；
①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；
②對(duì)任意，有．
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．
33．如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．
(1)若，且，求；
(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；
(3)證明：，．
34．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導(dǎo)函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；
(2)已知，當(dāng)與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)使得恒成立？
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足.試判斷對(duì)任意的實(shí)數(shù)是否恒成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.
35．已知集合，定義：當(dāng)時(shí)，把集合中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.例如：時(shí)，，.
(1)寫(xiě)出，并求；
(2)判斷88是否為數(shù)列中的項(xiàng).若是，求出是第幾項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若2024是數(shù)列中的某一項(xiàng)，求及的值.
參考答案：
1．D
【分析】結(jié)合“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根或?qū)?yīng)函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題，依次求解判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，令，即．
因?yàn)闈M(mǎn)足，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，即．
易判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，
易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn)．
所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以為“2型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即有三個(gè)不同的解，所以為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D正確．
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，可直接求方程的根，或者利用零點(diǎn)存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題.
2．D
【分析】明確集合中滿(mǎn)足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，即可求得答案.
【詳解】由題意知集合中滿(mǎn)足的元素的個(gè)數(shù)，
即指中取值為-1或1的個(gè)數(shù)和為1或2或3，
故滿(mǎn)足條件的元素的個(gè)數(shù)為（個(gè)），
故選：D
3．A
【分析】依題意可得，令，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意只需或，即可求出的取值范圍.
【詳解】依題意集合即為關(guān)于、的方程組的解集，顯然，
所以，即，令，
由，解得或，
即函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，
又，所以為奇函數(shù)，
因?yàn)榕c在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，
依題意與、的交點(diǎn)在直線的同側(cè)，
只需或，即或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與、的交點(diǎn)在直線的同側(cè).
4．C
【分析】根據(jù)定義求解和，由曲率的定義求出曲率，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最大值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?br>所以曲線的曲率，
，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，曲率取得最大值.
故選：C.
5．C
【分析】求，再求出，，由點(diǎn)斜式方程可求出函數(shù)的圖象在處的切線方程，再由直線與直線平行，即可得出答案.
【詳解】，，
，
所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為：
，則，
因?yàn)橹本€與直線沒(méi)有交點(diǎn)，
所以直線與直線平行，
則.
故選：C.
6．A
【分析】圖象有兩個(gè)交點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象并找出臨界狀態(tài)即可.
【詳解】由題意，“函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)”等價(jià)于“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，等價(jià)于“方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于“與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)”，如圖所示，
顯然，否則時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn).
另一個(gè)臨界狀態(tài)為與相切時(shí)，不妨設(shè)兩個(gè)曲線切于點(diǎn)，
又，，所以，可得，即，
又，所以，即，
令，則且，
故在上單調(diào)遞增，因此是唯一的零點(diǎn)，
所以，代入，可得，所以.則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
7．B
【分析】畫(huà)出的圖象，由反函數(shù)的性質(zhì)得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得解.
【詳解】由得，由得，
所以令，這3個(gè)函數(shù)圖象情況如下圖所示：
設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
由于的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
而的交點(diǎn)為，所以，
注意到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，即，
且二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線方程，
從而.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于畫(huà)出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合再由反函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到方程的根或交點(diǎn).
8．B
【分析】對(duì)①：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與圖象判斷即可得；對(duì)②：由曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，利用極限思想可得至少存在兩個(gè)正方形.
【詳解】對(duì)①：令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
函數(shù)的圖象與圓的圖象如圖所示：
故函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；
對(duì)②：由，
故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，
顯然，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)在函數(shù)圖像外側(cè)，則，此時(shí)；
利用極限思想，時(shí)，，此時(shí)；
時(shí)，，此時(shí)，如圖所示，
故至少兩個(gè)正方形， 故②錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)論②需注意使用極限思想，從而得到至少兩個(gè)正方形.
9．D
【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進(jìn)而可得的對(duì)稱(chēng)中心，根據(jù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，由兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心相同，即可判斷出其零點(diǎn)的特征，進(jìn)而求得個(gè)零點(diǎn)的和.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以
，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個(gè)單位得到的函數(shù)，
因而關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)滿(mǎn)足，所以，
即，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，且，
且，
所以由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，
即，
由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，
所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，
又因?yàn)榍∮袀€(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)恰有個(gè)，
且其中一個(gè)為，其余的個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)分布，
所以個(gè)零點(diǎn)的和滿(mǎn)足，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是能夠通過(guò)函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，從而可確定零點(diǎn)所具有的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.
10．C
【分析】根據(jù)題意，判斷的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及可得解.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又
，
所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
由，，
，，，
令，解得，令，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中，，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如圖，

由圖可得，函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù)與圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，又，
所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：
（1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則，反之也成立；
（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.
11．B
【分析】對(duì)于①，根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可；對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可.
【詳解】，故在上遞增，
對(duì)于①，設(shè)，，
設(shè)，
，，
單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
，即，
，即，
故，故①是真命題.
對(duì)于②，由①知，，
即，
，故.
且在上遞增，故，
，
故的值域?yàn)?br>所以，
即，故，
②是真命題.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題①判斷的關(guān)鍵是首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到在上遞增，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，最后得到，則可判斷①.
12．A
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可以分析出當(dāng)時(shí)，所以集合表示的平面圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；結(jié)合集合代表的曲線及不等式的范圍可以確定集合表示的平面圖形，從而求得面積，與進(jìn)行比較.
【詳解】對(duì)于，集合關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)是奇函數(shù)，
若則則，
即若則，即集合表示的平面圖形是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)圖形，故①是真命題；
對(duì)于，
由即知，
設(shè)，則與一一對(duì)應(yīng)且隨的增大而增大，，
又由知，
結(jié)合知在范圍內(nèi)，與一一對(duì)應(yīng)且隨的增大而減小，
所以在范圍內(nèi)，與一一對(duì)應(yīng)且是關(guān)于的減函數(shù)，
由①可知圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以可得到在的圖象，如圖

代入點(diǎn)可得，所以的區(qū)域是右半部分，
面積為正方形面積的一半，即集合表示的平面圖形的面積，故②是假命題.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：確定不等式表示的區(qū)域范圍
第一步：得到等式對(duì)應(yīng)的曲線；
第二步：任選一個(gè)不在曲線上的點(diǎn)，若原點(diǎn)不在曲線上，一般選擇原點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否符合不等式；
第三步：如果符合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的區(qū)域；若不符合，則另一側(cè)區(qū)域?yàn)椴坏仁剿硎镜膮^(qū)域.
13．ACD
【分析】對(duì)A，舉例說(shuō)明即可；對(duì)B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；對(duì)CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.
【詳解】對(duì)A，如滿(mǎn)足條件，故A正確；
對(duì)B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn).故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).即與至多1個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立可得.
當(dāng)時(shí)，最多1個(gè)解，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，的判別式，對(duì)任意的，都存在使得判別式大于0，不滿(mǎn)足題意，故.故C正確；
對(duì)D，同C，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對(duì)任意的，至多1個(gè)解，故為單調(diào)函數(shù)，即為非正或非負(fù)函數(shù).
又，故，即恒成立.
即圖象在上方，故，即.
當(dāng)與相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)有，故，解得，此時(shí)，故.故D正確.
故選：ACD
14．ACD
【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的圖形，結(jié)合圖象、極限思想可判斷AC的正誤，利用作差法可判斷BD的正誤.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
故函數(shù)在上均單調(diào)遞減，
故的圖象如圖所示，

對(duì)于選項(xiàng)AC，由圖象有，
考慮到，且函數(shù)圖象的漸近線為，
于是存在實(shí)數(shù)a使得，存在實(shí)數(shù)a使得，故AC正確；
對(duì)于選項(xiàng)BD，
，
因?yàn)椋裕?br>所以，
于是，
而在上單調(diào)遞減，所以，
即，故選項(xiàng)D正確；
，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
此時(shí)，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的圖形，是解決本題的關(guān)鍵.
15．BCD
【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到，即可判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，對(duì)求導(dǎo)，得到，從而得到時(shí)，，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤，選項(xiàng)C，令，求出時(shí)的解，再根據(jù)極值的定義，即可判斷出結(jié)果，選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出的周期為，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出在上的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?br>所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?br>，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>令，得到，
又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)，
所以，不是變號(hào)零點(diǎn)，即，不是的極值點(diǎn)，
由，即，
又，解得或或或，
由圖象知，每一個(gè)解都是變號(hào)零點(diǎn)，所以在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?br>所以的周期為，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，由得到，，，
列表如下，
又，，，
則在上的大致圖象如圖所示，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)無(wú)解，
由，則，又，則，
又由，，
故只需再畫(huà)出在圖象即可，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，
作出的圖象，注意到，
所以時(shí)，的圖象在圖象下方，
由圖可知與在上有5個(gè)交點(diǎn)，
所以在上共有5個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，

故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出是周期為的周期函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，作出在上圖象，且有最大值和最小值分別為，，利用，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.
16．/
【分析】根據(jù)題意整理出，求出，；由此判斷出為遞增的等差數(shù)列，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
得，
兩式相減得，所以，
由時(shí)，由，得；
由時(shí)，由，得；
又由，結(jié)合，，
所以成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，且此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以的中位數(shù)為：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是判斷出為遞增的等差數(shù)列，從而得解.
17．
【分析】求導(dǎo)，令求得，則，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值可得，進(jìn)而不等式在R上恒成立，解一元二次不等式即可求解.
【詳解】由題意知，，得
則，
令，則，即，得，
所以，，
又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，
所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故，
因?yàn)楹愠闪ⅲ床坏仁皆赗上恒成立，
由，得，解得，
即實(shí)數(shù)n的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
18．
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，根據(jù)切線為同一直線可得其關(guān)系，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可解.
【詳解】設(shè)直線l與函數(shù)分別相切于點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以切線方程可表示為或
即或
所以，整理得
易知，在處的切線方程為，此時(shí)與不相切，故，，
所以，所以
記，則
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)m從左邊趨近于1時(shí)，趨近于，當(dāng)m從右邊趨近于1時(shí)，趨近于，當(dāng)趨于時(shí)，且趨近于0，，于是可作的草圖如圖：
故．
故答案為：
19．
【分析】設(shè)，由題意可得當(dāng)時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而方程有2個(gè)正解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與函數(shù)圖象相切時(shí)k的值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.
【詳解】設(shè)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又，則，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
且當(dāng)時(shí)，，則，
令，令，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
下面討論直線與函數(shù)圖象相切的情況，
設(shè)切點(diǎn)為（），
則曲線在處的切線方程為，即，
有，解得，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k得取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵，是根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定其在在上有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想從而得解.
20．3
【分析】解法一：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)及零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值的正負(fù)，由此確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值可得.
解法二：利用切線放縮可得
【詳解】解法一：，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增,，
設(shè)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>存在，使，
且，
故當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)增，
所以．
解法二（最優(yōu)解）：設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
設(shè)，可得單調(diào)遞增，又，
所以有解，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解法一：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
解法二：常見(jiàn)的切線放縮有.
21．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，在不同情況下，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求得參數(shù)的最大值.
【詳解】令，，由題可知，恒成立；
，；令，
，；
當(dāng)，，故單調(diào)遞增，則，
故單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)，顯然單調(diào)遞增；
若，即時(shí)，當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮；
故存在，當(dāng)，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增；
又，當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮；
故存在，當(dāng)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
又，故當(dāng)，，不滿(mǎn)足題意；
若，即，又單調(diào)遞增，故，
則單調(diào)遞增，又，故，
則單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，故的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵是以端點(diǎn)值1處的二階導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)為討論的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而在不同情況下考慮函數(shù)單調(diào)性和最值解決問(wèn)題.
22．
【分析】借助換元法令，可得，借助導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)的單調(diào)性后，即可得解.
【詳解】令，則，故，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
即函數(shù)的最大值為.
故答案為：.
23．
【分析】由題，有.利用導(dǎo)數(shù)可得，則可得.
后將看成關(guān)于m的函數(shù)，后分類(lèi)討論
的最大值與0的大小即可.
【詳解】恒成立，
等價(jià)于.
令，，則，
注意到時(shí)，，，時(shí)，.
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.
則，則
.
令，.
當(dāng)，，故滿(mǎn)足條件；
當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，
故.
令，.
則，得在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，不合題意；
綜上，整數(shù)x的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及雙變量與恒成立，難度較大.
恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為最值相關(guān)問(wèn)題，本題因告知m范圍，求x范圍，故還采取了變換主元的做題方法.
24．
【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；
，，，
故最大值與最小值的和為：．
故答案為：
25．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)單峰函數(shù)的定義，求導(dǎo)確定得單調(diào)性即可；
（2）（i）令，則，令，根據(jù)為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，可確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)驗(yàn)證結(jié)論即可；（ii）根據(jù)“合規(guī)近似值”的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與不等式的性質(zhì)證明結(jié)論即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，則.，
因?yàn)?，則，則在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一的，使得，且
時(shí)，，，
所以在上遞增，上遞減，所以為單峰函數(shù).
（2）（i）令，則，令，
因?yàn)闉樵谏系淖顑?yōu)點(diǎn)，所以為在的最優(yōu)點(diǎn)，，
所以，結(jié)合最優(yōu)點(diǎn)的定義知，為在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).
又由（1）知，在遞增，遞減，且.
所以由零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間存在唯一的，使得，
即，所以.
（ii）第一次操作：取，由對(duì)稱(chēng)性不妨去掉區(qū)間，
則存優(yōu)區(qū)間為，為好點(diǎn)；
第二次操作：為一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，為了保證對(duì)稱(chēng)性，
另一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)與關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)，所以；
又因?yàn)榍皟纱尾僮鳎看尾僮骱笫Ｏ碌拇鎯?yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前的比值為.
若，即，則（舍去）；
若，即，則，即，解得或（舍）.
則操作5次后的精度為.
.
又，
所以.
所以，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于函數(shù)新定義問(wèn)題，求解本題第二問(wèn)得關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)“單峰函數(shù)”、“優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù)”、“合規(guī)近似值”的理解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值不等式的進(jìn)行結(jié)論的證明.考查學(xué)生的分析與計(jì)算，屬于難題.
26．(1)
(2)
(3)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）2
【分析】（1）將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求使得在上有零點(diǎn)的全體，然后利用當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，得到，即可得解；
（2）將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求使得在上沒(méi)有零點(diǎn)的全體，然后通過(guò)分類(lèi)討論即可解決問(wèn)題；
（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后將（i）等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明對(duì)，在上有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是偶數(shù)，再分類(lèi)討論證明；之后，先證明在上的零點(diǎn)必定大于，再證明當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)使得在上有一個(gè)滿(mǎn)足的零點(diǎn)，即可解決（ii）.
【詳解】（1）根據(jù)題意，所求的為使得在上有零點(diǎn)的全體.
由于在上有零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程在上有解，注意到當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故關(guān)于的方程在上有解當(dāng)且僅當(dāng)，從而所求.
（2）根據(jù)題意，不存在集合使為上的“跳躍函數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的，在上都不存在零點(diǎn).
這表明，全體滿(mǎn)足條件的的并集，就是使得在上不存在零點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合.
從而我們要求出全部的，使得在上沒(méi)有零點(diǎn)，即關(guān)于的方程在上沒(méi)有解.
該方程在上可等價(jià)變形為，然后進(jìn)一步變形為.
設(shè)，則我們要求出全部的，使得在上沒(méi)有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由于，，故在上必有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由于，，故在上必有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，對(duì)，我們有：
，
由于兩個(gè)不等號(hào)的取等條件分別是和，而這無(wú)法同時(shí)成立（否則將推出），故此時(shí)對(duì)都有，從而在上一定沒(méi)有零點(diǎn).
綜上，使得在上沒(méi)有零點(diǎn)的構(gòu)成的集合為，故所求的集合為.
（3）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)，有.
當(dāng)時(shí)，有，故結(jié)論成立；
假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即，則有：
，故結(jié)論對(duì)也成立.
綜上，對(duì)任意正整數(shù)，有.
（i）命題等價(jià)于，對(duì)，在上有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是偶數(shù)，下面證明該結(jié)論：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)，有，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)，有，而，，從而在上一定存在零點(diǎn)，所以在上一定有零點(diǎn).
綜上，對(duì)，在上有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是偶數(shù)，結(jié)論得證.
（ii）我們需要求實(shí)數(shù)的最大值，使得對(duì)于任意，均有的零點(diǎn).
根據(jù)（i）的討論，在上有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是偶數(shù)，所以我們需要求實(shí)數(shù)的最大值，使得對(duì)于任意，均有的零點(diǎn).
我們現(xiàn)在有，由于當(dāng)時(shí)，有，故在上的零點(diǎn)必定大于.
而對(duì)任意給定的，我們定義函數(shù)，則.
取，則當(dāng)時(shí)，有，這表明在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，從而.
取正整數(shù)，使得，且，則我們有，但我們又有，這表明在上必有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上必有一個(gè)滿(mǎn)足的零點(diǎn).
綜上所述，的最大值是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在（3）的（ii）中，我們先證明在上的零點(diǎn)必定大于，再證明當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)使得在上有一個(gè)滿(mǎn)足的零點(diǎn)，即可得到的最大值是，這是求解最值問(wèn)題的一個(gè)較為有用的論證方法.
27．(1)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)；不是函數(shù)的1度點(diǎn)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，該切線過(guò)點(diǎn)時(shí)，列出方程，求出一個(gè)根，滿(mǎn)足要求，該切線過(guò)點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，解超越方程，無(wú)解，不合要求；
（2）求出在點(diǎn)處的切線方程，轉(zhuǎn)化為無(wú)解，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出無(wú)解，故證畢；
（3）求出切線方程，得到的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，分，與三種情況，進(jìn)行求解.
【詳解】（1）設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即． 故原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)，
該切線過(guò)點(diǎn)，故，
令，則，令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極小值，也時(shí)最小值，且，
故無(wú)解，點(diǎn)不是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)
（2）設(shè)，，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)（*）．
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上嚴(yán)格增．
因此當(dāng)時(shí)，，（*）恒不成立，即點(diǎn)是的一個(gè)0度點(diǎn)．
（3），
對(duì)任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
設(shè)． 則點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
若，則在上嚴(yán)格增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求．
若，因?yàn)椋?br>由或時(shí)得嚴(yán)格增；而當(dāng)時(shí)，得嚴(yán)格減．
故在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值．
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，在、、上各有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求．
故兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
若，同理可得兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
綜上，的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：針對(duì)一般的函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.
28．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：在上的值域，進(jìn)而得出是從到的函數(shù)，然后證明存在，對(duì)任意，都有即可；
（2）先由壓縮函數(shù)的定義得到：必存在，使得對(duì)任意，，，進(jìn)而得到，再利用絕對(duì)值三角不等式得出，分類(lèi)討論與兩種情況即可得證，
【詳解】（1）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以，，
，所以在上的值域?yàn)椋?br>所以是從到的函數(shù)，
另一方面，我們證明存在，對(duì)任意，都有，
取，則對(duì)任意，不妨設(shè)，分兩種情形討論：
①當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即?br>所以，即，
②當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即?br>所以，即，
綜上所述，對(duì)任意，都有，
所以是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.
（2）證明：因?yàn)槭嵌攘靠臻g上的一個(gè)壓縮函數(shù)，
所以必存在，使得對(duì)任意，，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
由絕對(duì)值三角不等式可知：
對(duì)任意，有
，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，所以，
所以對(duì)任意，對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，均有，
②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，取一個(gè)正整數(shù)，
則，即，
則當(dāng)時(shí)，有，
綜上所述，對(duì)任意，都存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，均有，，
故為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.
29．(1)答案見(jiàn)解析；
(2)①證明見(jiàn)解析；②答案見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；③證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)給定信息，按旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱(chēng)變換分別求出對(duì)應(yīng)變換，再寫(xiě)出集合.
（2）①根據(jù)群的定義條件，逐一驗(yàn)證即得；②按照群定義Ⅲ、Ⅳ分別推理計(jì)算即得；③寫(xiě)出的所有子群即可.
【詳解】（1）依題意，正三角形的對(duì)稱(chēng)變換如下：繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線的反射變換；
關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線的反射變換；
關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線的反射變換，
綜上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ.
，
而，所以；
Ⅳ.，
；
綜上可知，集合對(duì)于給定的新運(yùn)算*來(lái)說(shuō)能作成一個(gè)群.
②，，證明如下：
先證明：由于是的子群，取，則，，
根據(jù)群的定義，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再證明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，
，，
，
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.
30．(1)集合A不是規(guī)范數(shù)集；集合B是規(guī)范數(shù)集；
(2)證明見(jiàn)詳解；
(3).
【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對(duì)值，是否都大于等于1即可；
（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類(lèi)討論、與三種情況，結(jié)合去絕對(duì)值的方法即可證明；
（3）法一：當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，分類(lèi)討論與兩種情況，推得，由此得解；
法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與（2）中結(jié)論即可得解.
【詳解】（1）對(duì)于集合A：因?yàn)?，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；
對(duì)于集合B：因?yàn)椋?br>又，，，，，，
所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.
（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
綜上所述：.
（3）法一：
不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)，使得，且，
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，
所以范數(shù)的最小值為；
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，
所以范數(shù)；
綜上所述：范數(shù)的最小值.
法二：
不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
所以對(duì)于，同樣有，則，
由（2）的證明過(guò)程與結(jié)論可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，，……，
所以范數(shù)
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以范數(shù)的最小值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，再將集合中的元素進(jìn)行從小到大排列，利用分類(lèi)與整合的思想進(jìn)行討論分析，從而得解.
31．(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由和的定義，求及；
（2）由，有，又，所以，互不相同；
（3）由已知有，則，通過(guò)累加法及證得結(jié)論.
【詳解】（1）由，知，
所以，；
（2）依題意，，，則有，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 又因?yàn)?，所以，，互不相同?br>故，若，則；
（3）由，得，則有①，
由及①，可得
，
，
，
以上各式相加，得.
由及①，當(dāng)時(shí)，，
所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解決“新定義”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定義的名稱(chēng)或符號(hào)、概念、法則等，并進(jìn)行信息再加工，尋求相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，探求解決方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來(lái)分析與解決!
32．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
（2）根據(jù)滿(mǎn)足的性質(zhì)，推出其對(duì)稱(chēng)性以及周期，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)推出，即說(shuō)明不存在，使得，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知，
故，
則m的取值范圍為；
（2）證明：因?yàn)樵谏?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
且為定義在上的奇函數(shù)，
故在上當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值-1，
由對(duì)任意，有，可知圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又，即，
故2a為函數(shù)的周期，
故，
，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
若，，，此時(shí)有為最大值；
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
若，，此時(shí)有為最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要理解函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，明確其含義，繼而結(jié)合定義去解決問(wèn)題，特別是第2問(wèn)的證明，要結(jié)合定義說(shuō)明不存在，使得成立.
33．(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中定積分的含義得到.
（2）先由定積分的預(yù)算得到，再分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論；幾何意義由題干中定積分的含義得到.
（3）先由二倍角公式化簡(jiǎn)得到，再由定積分的意義得到，最后根據(jù)求導(dǎo)與定積分的運(yùn)算得到，最后得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以設(shè)，
又，代入上式可得，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，同理可得，
綜上，.
（2）因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；
設(shè)，，
則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，
所以，
綜上，.
幾何意義：當(dāng)時(shí)，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.
（3）因?yàn)椋?br>所以
，
設(shè)，則，
所以，
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1、由題干得到求導(dǎo)與定積分互為逆運(yùn)算；2、證明不等式時(shí)可作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性；3、利用定積分的幾何意義得到要證明的不等式間關(guān)系，再利用求導(dǎo)與定積分運(yùn)算得出最后結(jié)果.
34．(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)恒成立，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)列出方程組，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）由函數(shù)是奇函數(shù)，可得是偶函數(shù)，再進(jìn)一步求出導(dǎo)函數(shù)的周期性，再整理即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由題可知，，
所以切線的斜率為，
且，
所以函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，即；
（2）由題可知，
又因?yàn)槎x域上對(duì)任意的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，
所以，即，
當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是奇函數(shù)，所以，
所以，所以，所以是偶函數(shù)，
因?yàn)?，所以?br>即，即，
因?yàn)?，所以，即?br>所以是周期為的函數(shù)，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在其上一點(diǎn)處的切線方程的基本步驟如下：
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得；
（2）計(jì)算切線的斜率；
（3）利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.
35．(1)，；
(2)88是數(shù)列的第30項(xiàng)；
(3)，，
【分析】當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由集合新定義中的規(guī)則代入計(jì)算即可；
根據(jù)集合新定義，由，再列舉出比它小的項(xiàng)即可；
方法一：由可得，再列舉出比它小的項(xiàng)分別有以下7種情況，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素個(gè)數(shù)和最大的一個(gè)，可得，再求和可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，此時(shí)，
，
.
（2）當(dāng)時(shí)，，
是數(shù)列中的項(xiàng)，
比它小的項(xiàng)分別有個(gè)，
有個(gè)，
有個(gè)，
所以比88小的項(xiàng)共有個(gè)，故88是數(shù)列的第30項(xiàng).
（3）是數(shù)列中的項(xiàng)，故，
則當(dāng)時(shí)，，
方法一：比它小的項(xiàng)分別有以下7種情況：
①個(gè)數(shù)字任取7個(gè)得個(gè)，
②，得個(gè)，
③，得個(gè)，
④，得個(gè)，
⑤，得個(gè)，
⑥，得個(gè)，
⑦，得個(gè)，
所以比2024小的項(xiàng)共有個(gè)，
其中
故2024是數(shù)列的第329項(xiàng)，即.
方法二：共有元素個(gè)，
最大的是，其次為，
所以2024是數(shù)列的第項(xiàng)，即.
在總共項(xiàng)中，含有的項(xiàng)共有個(gè)，同理都各有個(gè)，所以，則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于解讀集合的定義計(jì)算，并聯(lián)想到和輔助思考.
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增

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