一、多選題
1．如圖，平面，，M為線段AB的中點(diǎn)，直線MN與平面的所成角大小為30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長(zhǎng)為
B．若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線
C．若P到直線MN的距離為1，則的最大值為
D．滿足的點(diǎn)P的軌跡是橢圓
2．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，以為端點(diǎn)作條射線交橢圓于，且每?jī)蓷l相鄰射線的夾角相等，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，過(guò)作橢圓的切線，且交于點(diǎn)交于點(diǎn)，則的斜率乘積為定值
二、填空題
3．造紙術(shù)是中國(guó)四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時(shí)期折紙藝術(shù)開始流行，19世紀(jì)折紙與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，發(fā)展成為折紙幾何學(xué).在一次數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們研究了圓錐曲線的包絡(luò)線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點(diǎn)，記矩形一邊所在直線為，將點(diǎn)折疊到上（即），不斷重復(fù)這個(gè)操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡(luò)線.在拋物線的所有包絡(luò)線中，恰好過(guò)點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線方程為 .

三、解答題
4．設(shè)橢圓，的離心率是短軸長(zhǎng)的倍，直線交于、兩點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線過(guò)的右焦點(diǎn)，且，，求的值；
(3)設(shè)直線的方程為，且，求的取值范圍.
5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.過(guò)F作斜率為的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線交E于C，D兩點(diǎn)，設(shè)，的中點(diǎn)分別為M，N.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，設(shè)點(diǎn)F到直線的距離為d，求d的取值范圍.
6．如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)之，分別交于、兩點(diǎn)，連接，設(shè)、的面積分別為、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范圍.
7．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)到軸的距離為．
(1)求橢圓的方程．
(2)若點(diǎn)是上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn)．
①設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍．
②判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說(shuō)明理由．
8．已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)作直線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)設(shè)直線交C于另一點(diǎn)Q，求點(diǎn)B到直線距離的最大值.
9．如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.
10．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知命題“對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求的重心坐標(biāo)；
(3)是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（其中、分別表示、的面積）
11．已知雙曲線C：的漸近線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求C的方程．
(2)過(guò)點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線和，且與C的左、右支分別交于B，D兩點(diǎn)，與C的左、右支分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，判斷能否成立．若能，求該式成立時(shí)直線的方程；若不能，說(shuō)明理由．
12．已知橢圓，為的上頂點(diǎn)，是上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓下頂點(diǎn)，是直線上一點(diǎn).若有一個(gè)內(nèi)角為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)作，垂足為．若直線與直線的斜率之和為，是否存在軸上的點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．如圖，橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)上焦點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別在直線與橢圓上.
(1)求線段的長(zhǎng)；
(2)若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積；
(3)是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
14．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．
①求點(diǎn)的軌跡方程；
②若面積為，求．
15．已知點(diǎn)，，和動(dòng)點(diǎn)滿足是，的等差中項(xiàng)．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點(diǎn)M，N的連線交軸于點(diǎn)，如果（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，如果時(shí)，曲線在點(diǎn)和處的切線的交點(diǎn)為，求證：在一條定直線上．
16．以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓半徑分別為和，為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，大圓半徑與小圓相交于點(diǎn)軸于于點(diǎn)的軌跡為．
(1)求點(diǎn)軌跡的方程；
(2)點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線與軸的截距為負(fù)數(shù)時(shí)，求的余弦值．
17．我們所學(xué)過(guò)的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān)．如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示，其中是反射鏡面也是過(guò)點(diǎn)處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過(guò)點(diǎn)．

(1)請(qǐng)根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問(wèn)題：
當(dāng)，，且直線的傾斜角為時(shí)，求反射光線所在的直線方程；
(2)從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)處，且三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過(guò)點(diǎn)，，，延長(zhǎng)，分別交兩條漸近線于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：為定值．
(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為8時(shí)，求的方程．
18．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過(guò)曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．已知雙曲線上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合和集合，坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn)，直線稱為點(diǎn)關(guān)于雙曲線的“相關(guān)直線”．
(1)若，判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，求證：；
(3)若點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，直線交雙曲線于，，求證：．
20．設(shè)為定點(diǎn)，是拋物線：上的一點(diǎn)，若拋物線在處的切線恰好與，兩點(diǎn)的連線互相垂直，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“伴點(diǎn)”．
（1）求拋物線的焦點(diǎn)的“伴點(diǎn)”；
（2）設(shè)，問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)有三個(gè)“伴點(diǎn)”？試證明你的結(jié)論．
參考答案：
1．BC
【分析】根據(jù)點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合球的截面性質(zhì)可得截面圓的半徑，即可求解A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)點(diǎn)建立公式，化簡(jiǎn)可判斷B，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得的軌跡是平面內(nèi)的橢圓上一點(diǎn)，即可根據(jù)橢圓的性質(zhì) 求解C，根據(jù)向量的夾角公式即可化簡(jiǎn)求解的軌跡為且，即可求解D.
【詳解】對(duì)于A，由于MN與平面的所成角大小為30°，所以點(diǎn)到平面的距離，
故半徑為的球面在平面上截面圓的半徑為,故截痕長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B,由于平面，所以以為，在平面內(nèi)過(guò)作,平面內(nèi)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,
設(shè)，則，
化簡(jiǎn)得，故P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線，B正確，
,所以P到直線MN的距離為，化簡(jiǎn)可得，
所以點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)的橢圓上一點(diǎn)，如圖，
當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，由于,故，因此,C正確，
對(duì)于D, ，,
若，則，
化簡(jiǎn)得且，故滿足的點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯(cuò)誤，
故選：BC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問(wèn)題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過(guò)計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問(wèn)題并沒(méi)有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
2．ABD
【分析】設(shè)，求得，同理求出，，代入，根據(jù)兩角和差公式，即可判定A正確；得到，結(jié)合三角恒等變換的公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，可判斷B正確；取，求得的值，可判定C錯(cuò)誤；求出的方程，得到,，結(jié)合斜率公式，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，對(duì)于橢圓，其中，
為橢圓上一點(diǎn)，
又由，則
.
如圖所示，設(shè)，則，
代入上式可得，解得，
故對(duì)于，，所以，
同理可得，.
所以
，所以A正確；
對(duì)于B中，結(jié)合A結(jié)論有，
其中，
因?yàn)?br>，
不妨設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
且，所以，
所以，所以B正確.
對(duì)于C中，取，則，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則，即 ---①，
設(shè)切線，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，可得，即 ---②，
由，消去，整理得，
因?yàn)槭菣E圓的切線，可得，
解得 ---③，
且韋達(dá)定理，有 ---④，
由③④兩式相乘，化簡(jiǎn)得，將②式代入，解得，
由①式可得，所以，
所以的方程為，結(jié)合①式，化簡(jiǎn)得，
設(shè),可知的方程為，
因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以切點(diǎn)弦的方程為，
因?yàn)橄疫^(guò)，所以，同理可得，
因?yàn)?，所以，故?br>所以，所以D正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
3．
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求解即得.
【詳解】依題意，拋物線的每條包絡(luò)線與該拋物線相切，
顯然過(guò)點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線斜率存在，設(shè)方程為，
由消去并整理得：，
則，解得，
所以所求直線方程為.
故答案為：
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及，，之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，利用向量的運(yùn)算以及橢圓的定義和對(duì)稱性推出，再代入三角形面積公式中即可求解；
（3）設(shè)出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算得到，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到和，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中得到，此時(shí)滿足，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和換元法進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）由的離心率是短軸的長(zhǎng)的倍，得
，即，
又，則，
故橢圓的方程為.
（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，所以點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又，則，
由橢圓的對(duì)稱性可得，
，且三角形與三角形全等，
則，
又，化簡(jiǎn)整理得，
，則.
（3）設(shè)，，，
又 ，則，，
由得，，
，
由韋達(dá)定理得，，，
又，
則，，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
化簡(jiǎn)整理得，，
此時(shí)，，
則

，
令，即，
則，
則的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查直線與橢圓得位置關(guān)系及弦長(zhǎng)范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是向量坐標(biāo)化得C坐標(biāo)并代入橢圓方程得m,k的等量關(guān)系.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再討論直線的斜率是否存在，求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，
又焦點(diǎn)為，所以，
所以，
所以橢圓E的方程為；
（2）設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立，消去y得，
易知，所以，
又M為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋?，又N為的中點(diǎn)，
不妨用代換，可得，，
討論：①當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，
此時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的方程為，
所以，點(diǎn)到直線的距離d為，
同理，當(dāng)，，
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以直線的方程為，
化簡(jiǎn)可得，
法一：點(diǎn)到直線的距離，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
綜上可知，.
法二：直線的方程為，
令，可得，綜上可知，直線恒過(guò)定成，
故點(diǎn)到直線的距離d的最大值為，此時(shí)直線的斜率不存在，
又直線的斜率一定不為0，
所以.
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的求解方法
（1）函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解．
（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過(guò)解不等式求參數(shù)的取值范圍．
（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍．
（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求的值；
（2）設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求的值；
（3）設(shè)直線、的方程，與橢圓聯(lián)立方程組表示出，由，化簡(jiǎn)并結(jié)合基本不等式求取值范圍.
【詳解】（1）橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
則拋物線的焦點(diǎn)為，故.
（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，恒成立，則，
.
（3）設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，
聯(lián)立可得，解得，
點(diǎn)在第三象限，則，
點(diǎn)在第四象限，同理可得，
且

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
7．(1)
(2)①，②是定值，16
【分析】（1）由直線的斜率為，結(jié)合斜率公式可得，由三點(diǎn)共線可表示出點(diǎn)，將它代入橢圓方程求出即可；
（2）①由斜率公式可得，結(jié)合的范圍即可求解；②由三點(diǎn)共線， 三點(diǎn)共線，可表示出的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式得的表達(dá)式，由此即可得解.
【詳解】（1）由題意知，．
由直線的斜率為，得，
所以．
直線的方程為．
設(shè)，則．
由點(diǎn)到軸的距離為，得．
由點(diǎn)在直線上，得，所以．
由點(diǎn)在橢圓上，得，解得．
所以．
所以橢圓的方程為．
（2）

①設(shè)（或）．
由（1）知，，
則，
所以．
由或，
得或，
所以或．
故的取值范圍是．
②由①知，即．
設(shè)．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以，得．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
得．
所以．
故為定值16．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是首先化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，結(jié)合相應(yīng)的范圍以及所滿足的條件等式即可求解.
8．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由焦準(zhǔn)距的定義求出的值即得；
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，得到韋達(dá)定理，分別化簡(jiǎn)計(jì)算和，再整體代入計(jì)算即得定值；
（3）設(shè)點(diǎn)表示出直線、、的方程，分別利用過(guò)點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)得出與，與的關(guān)系式，消去，整理得，再與方程比較得出過(guò)定點(diǎn)，從而得到結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，
所以拋物線的方程為.
（2）
如圖，設(shè)，，直線的方程為，
由得，所以（*）
由
，將（*）代入整理得：
.
又
，將（*）代入整理得：
所以，.
（3）設(shè)，，，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，
即.
同理，直線方程為，
直線方程為.
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以，
解得，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以，
解得，
所以，整理得.
又因?yàn)橹本€的方程為，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取得最大值為.
9．(1)與
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)的方程分別為與，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程可求出，利用橢圓的定義可求出的值，從而可得，進(jìn)而可得的方程；
（2）分點(diǎn)在第四象限和第一象限時(shí)兩種情況討論求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用兩點(diǎn)的斜率公式及點(diǎn)在上即可證明，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示，化簡(jiǎn)為常數(shù)，即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)的方程分別為與，
由，得，故的坐標(biāo)分別為，
所以故，
故與的方程分別為與.
（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；
當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，
可知，故，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可知且，
解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
（3）設(shè)直線的斜率分別為，點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)分別為，
則，
的方程為，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在，使得.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依題意可得，，再由，即可求出，從而得到橢圓方程；
（2）依題意不妨取直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出、的坐標(biāo)，再求出的重心坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由直線的方程得，同理得到，由面積的關(guān)系得到，從而求出.
【詳解】（1）依題意，，又，
解得，所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)槊}“對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，
可以取直線為，由，解得或，
所以，，
則，所以，，所以，
設(shè)的重心為，則，，
所以，即的重心坐標(biāo)為.
（3）依題意可得直線的斜率存在、不為且斜率為負(fù)數(shù)，
設(shè)直線，，，
則直線：，令，得，同理可得：；
所以
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，所以，，，
因?yàn)?，故得①?br>由，
則，，
代入①得，解得，
所以，故直線的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
11．(1)；
(2)不能，理由見解析.
【分析】（1）直接利用點(diǎn)在圓上結(jié)合漸近線斜率求出a,b即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，利用與左右支相交得，由直線垂直同理，進(jìn)一步得或，結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)距得和列方程求解k,推出矛盾即可求解
【詳解】（1）由題可知，
，，
故C的方程為．
（2）不能成立．
顯然直線，的斜率均存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，，．
聯(lián)立與C的方程可得
得，
因?yàn)榕cC的左、右支分別相交，所以,解得，
同理，解得或．（*）
因?yàn)椋?br>所以，
同理可得．
若，則，
只需即可，解得，，
顯然，都不符合（*）．
所以不能成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，并結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)距公式化簡(jiǎn)求解.
12．(1)
(2)或；
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)離心率公式直接求解；
（2）由題設(shè)設(shè)，進(jìn)而分或兩種情況討論求解即可；
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，先討論的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，首先與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合直線與直線的斜率之和為得，其次求得直線的方程為并于直線的方程聯(lián)立求得點(diǎn)，再次根據(jù)得當(dāng)時(shí)，為定值，最后說(shuō)明直線的斜率存在也滿足即可.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，
則，，此時(shí)，滿足題意．
所以存在定點(diǎn)，使得為定值且定值為．
【詳解】（1）由題意，，所以離心率
（2）由題意，，，，所以直線的方程為：，
設(shè)，顯然有或兩種情況，
①當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，其與軸的交點(diǎn)為，則，
因?yàn)椋?br>由，得：，解得（舍去）或，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)， 則，
因?yàn)椋?br>由，得：，
解得（舍去）或
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的方程為，，
由得，
由題意，，即①．
，
，
所以，代入①，得：，
所以或，即存在直線使得直線與直線的斜率之和為2
直線的方程為，直線的方程為
由，得：，即
所以
所以當(dāng)時(shí)，為定值，.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，
則，，此時(shí)，滿足題意．
所以存在定點(diǎn)，使得為定值且定值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想，求得對(duì)應(yīng)的的范圍，進(jìn)而舍去不滿足的解；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件求得直線的方程為中的參數(shù)，點(diǎn)，難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)運(yùn)算.
13．(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）根據(jù)已知求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得線段的長(zhǎng)；；
（2）線段PQ的中點(diǎn)在軸上，得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入橢圓方程得點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)軸，易得其面積；
（3）假設(shè)存在，為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上，設(shè)，，，由平行四邊形對(duì)角線互相平分把點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后把坐標(biāo)代入橢圓方程，利用垂直得向量的數(shù)量積為0，得出的關(guān)系，結(jié)合起來(lái)可得或，再分別代入求得，得結(jié)論．
【詳解】（1）由可得：，，從而，
所以令，則，解得：，
所以.
（2）線段的中點(diǎn)在軸上，則，所以，即軸，
所以令，則，解得：，
所以；
（3），
假設(shè)存在以，為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)E在橢圓C上，
設(shè)，，，，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，一定為平行四邊形，所以?br>則，，所以，
都在橢圓上，，變形得①，
又，所以，即，
則②，
②代入①得，解得：或，
若時(shí)，，，此時(shí)與重合，點(diǎn)坐標(biāo)為；
若時(shí)，聯(lián)立，
消去可得：，解得：，
因?yàn)?，所以?br>所以存在滿足題意的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為或.
.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中探索性問(wèn)題，求解步驟如下：
第一步：假設(shè)結(jié)論存在；
第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解；
第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)；
第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．
14．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和長(zhǎng)軸的概念建立方程組，解之即可求解；
（2）①易知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式和點(diǎn)斜式方程表示出直線、方程，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)計(jì)算求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)T的軌跡方程；②利用面積公式建立關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）由題意知，，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①：由（1）知，，設(shè)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
由，解得，即；
當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的斜率為，
則，
所以直線方程為，又直線方程為，
由，得，即，
解得，
將代入直線方程，得，即，
又，所以，
故點(diǎn)的軌跡方程為；
②：由，得，
又，所以，得，
整理得，又，所以，
整理得，即，
由，解得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)得軌跡方程以及面積問(wèn)題，第二問(wèn)關(guān)鍵是尋找點(diǎn)與直線的斜率之間的關(guān)系，即是求出直線方程的解題關(guān)鍵，表示出的代數(shù)式，需要扎實(shí)的計(jì)算能力才可以化簡(jiǎn)求解.
15．(1)；
(2)或；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合等差中項(xiàng)的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由平移公式可得曲線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，由平面向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意可得，，，
則，
，
又是，的等差中項(xiàng)，
，
整理得點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）
由（1）知，
又，平移公式為即，
代入曲線的方程得到曲線的方程為：，
即．
曲線的方程為．
如圖由題意可設(shè)M，N所在的直線方程為，
由消去得，
令，，則，
，，
又為銳角，，即，
，又，
，得或．
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可得，對(duì)求導(dǎo)可得，
拋物線在點(diǎn)，
，處的切線的斜率分別為，
，
在點(diǎn)M，N處的切線方程分別為，，
由，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)．
滿足即，點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了曲線的軌跡方程問(wèn)題以及切線問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算以及轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.
16．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件得到，消元即可求出結(jié)果；
（2）法一：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達(dá)定理得，根據(jù)題設(shè)得到直線的方程為，再利用點(diǎn)在橢圓上，得到，從而有與y軸負(fù)平軸所形成的夾角為，再求出與x正半軸所形成的夾角，即可解決問(wèn)題；法二：設(shè)，直線的方程為，直接求出，再根據(jù)條件求出，后面同法一；法三：建立新的坐標(biāo)系，在新的坐標(biāo)系中，得橢圓的方程為，及直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，再結(jié)合條件得到，從而有，后面同法一；法四：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，進(jìn)而得到，通過(guò)令，得到，令，得到，從而有
，下面同方法一.
【詳解】（1）設(shè)，則，
消去得，所以點(diǎn)軌跡的方程為.
（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，
，消去y得，
，即
由韋達(dá)定理知，
，
所以，整理得，
即，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，不合題意
設(shè)，將，
將M、N兩點(diǎn)代入到橢圓得，兩式相減得，
即，所以，
故，
設(shè)與y軸負(fù)平軸所形成的夾角為，因?yàn)?，所以?br>設(shè)與x正半軸所形成的夾角為，因?yàn)?，所以?br>.
方法二：設(shè)，直線的方程為
消去y可得：
從而，故，
將代入直線的方程可得，所以，
又，將式點(diǎn)M中的k換成得到，
，下面同方法一
方法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的直角坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系下橢圓方程，
在新坐標(biāo)系下設(shè)，直線的方程為
將橢圓方程變形可得：
將直線的方程與橢圓方程結(jié)合，構(gòu)成其次分式可得，
整理得
即：，
所以，故，
直線的方程為，下面同方法一
方法四：設(shè)，直線的方程為
消去y可得：
因?yàn)槭巧鲜鲆辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，所以 ①
又
整理得：
在①式中
令得： ②
令得： ③
可得：整理得，下面同方法一
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，通過(guò)設(shè)出直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達(dá)定理得，根據(jù)題設(shè)得到直線的方程為，再利用點(diǎn)在橢圓上，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解決，其中為與y軸負(fù)平軸所形成的夾角，為與x正半軸所形成的夾角.
17．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）先求出雙曲線的方程及直線的方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案；
（2）易得，可令，則，根據(jù)雙曲線的定義求出，即可求得，再在直角中，求出，即可得直線的方程，再利用勾股定理求出的關(guān)系，進(jìn)而可得漸近線方程，再聯(lián)立直線和漸近線方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理求得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先利用角平分線定理可得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，即可得直線的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形的面積求出，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?br>故雙曲線方程為，直線的方程為，
由，解得，即，
所以，
所以反射光線所在的直線方程為，即；
（2）因?yàn)闉橹苯侨切?，?br>可令，則，
由雙曲線的定義可得，
即，所以，
所以，
所以，
在直角中，，
所以直線的方程為，
由，
得，所以，所以，
所以兩條漸近線得方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，
則，
故，
所以，
所以，
所以，
所以為定值；
（3）由雙曲線得光學(xué)性質(zhì)可得，直線平分，
所以，
在中，由正弦定理得，則，
在中，由正弦定理得，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以，故，
而，
所以，
所以直線的方程為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)四邊形的面積為，
則，
所以，故，
所以求的方程為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
18．(1)
(2)
(3)成立，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得；
（2）易知方程無(wú)解，根據(jù)判別式可得，證明可得直線族的包絡(luò)曲線為；
（3）法一：求出兩點(diǎn)處曲線的切線的方程，解得，根據(jù)平面向量夾角的表達(dá)式即可得，即；
法二：過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率并利用拋物線定義和三角形內(nèi)角關(guān)系即可證明.
【詳解】（1）由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
（2）點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，
所以無(wú)論取何值時(shí)，無(wú)解.
將整理成關(guān)于的一元二次方程，
即.
若該方程無(wú)解，則，即.
證明：在上任取一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線斜率為，
于是可以得到在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對(duì)任意都是拋物線在點(diǎn)處的切線.
所以直線族的包絡(luò)曲線為.
（3）法一：已知，設(shè)，
則，；
由（2）知在點(diǎn)處的切線方程為；
同理在點(diǎn)處的切線方程為；
聯(lián)立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，如圖所示：
則，因?yàn)?，顯然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解包絡(luò)曲線的定義，利用直線和曲線相切求出包絡(luò)曲線的方程為并進(jìn)行證明，再利用拋物線定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論.
19．(1)直線與雙曲線相切，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）聯(lián)立消去，根據(jù)，得到，由根的判別式判斷直線與雙曲線相切；
（2）結(jié)合（1）中的方程，根據(jù)得到，結(jié)合得到，證明出；
（3）設(shè)出的坐標(biāo)及，，得到、是的兩根，求出，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）直線與雙曲線相切．理由如下：
聯(lián)立方程組，
∴①，
∵，
∴，即，代入①得，
，
∴，
∴直線與雙曲線相切．
（2）由（1）知，
∵直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）設(shè)，，設(shè)，，
∵，
∴，則，
代入雙曲線，利用在上，
即，整理得，
同理得關(guān)于的方程．
即、是的兩根，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通常處理方法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，化為關(guān)于或的一元二次方程，利用根的判別式的正負(fù)或等于0進(jìn)行判斷
20．（1）焦點(diǎn)的“伴點(diǎn)”為；（2）當(dāng)且僅當(dāng)，滿足時(shí)，點(diǎn)的“伴點(diǎn)”有三個(gè)；證明見解析．
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“伴點(diǎn)”的定義，用“拋物線在處的切線恰好與，兩點(diǎn)的連線互相垂直”求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即為所求.
（2）設(shè)，對(duì)分成兩種情況進(jìn)行分類討論，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究一元三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)的條件，由此求得滿足的條件.
【詳解】（1）因?yàn)槭菕佄锞€：上的一點(diǎn)，故可設(shè)，
由得，所以拋物線在處的切線斜率為．
因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，所以，
①當(dāng)時(shí)，，拋物線在處的切線方程為，而直線的方程為，顯然滿足條件，故的一個(gè)“伴點(diǎn)”為；
②當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，由得，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
綜上所述，拋物線的焦點(diǎn)的“伴點(diǎn)”為．
（2）同（1）設(shè)，拋物線在處的切線斜率為．
（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，而直線垂直于軸，拋物線在處的切線不可能與垂直；
（ii）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，拋物線在處的切線恰好與，兩點(diǎn)的連線互相垂直的充要條件為，即（*），
設(shè)，則，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，方程（*）僅有一解，不合；
②當(dāng)時(shí)，由得或，
這說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
同理可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
因此，
，
因?yàn)?，，所以?br>因此，點(diǎn)有三個(gè)“伴點(diǎn)”的充要條件為，且，
即，且．
即，且．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)，滿足時(shí)，點(diǎn)的“伴點(diǎn)”有三個(gè)．
【點(diǎn)睛】一元三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，需滿足：極大值和極小值.

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