一、單選題
1．在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方體的棱長為，連接正方體各個(gè)面的中心得到一個(gè)八面體，以正方體的中心為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球的球面與八面體各面的交線的總長為（ ）
A．B．C．D．
3．房屋建造時(shí)經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需要.已知長方體的規(guī)格為，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到，，三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個(gè)數(shù)為（ ）
A．8B．10C．12D．16
4．在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．從長方體的個(gè)頂點(diǎn)中任選個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的頂點(diǎn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知長方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，將長方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．B．C．D．
二、多選題
7．如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（ ）

A．異面直線與所成角大小為
B．二面角的平面角的余弦值為
C．此八面體一定存在外接球
D．此八面體的內(nèi)切球表面積為
8．用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．底面橢圓的離心率為
B．側(cè)面積為
C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為
D．底面積為
9．如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（ ）
A．可以圍成20個(gè)不同的正方形
B．可以圍成24個(gè)不同的長方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個(gè)不同的三角形
D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形
10．已知正方體的棱長為1，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角為，E為正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡為拋物線
B．正方體的內(nèi)切球被平面所截得的截面面積為
C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
D．點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
11．如圖，在棱長為1的正方體中，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．若在線段上，則的最小值為
B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為
C．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
D．對于給定的點(diǎn)，過有且僅有3條直線與直線所成角為
12．已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作正方體的截面，且，若點(diǎn)在截面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（ ）
A．當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為
B．三棱錐的體積為定值
C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為
D．若平面，則的最小值為
13．如圖所示，在五面體中，四邊形是矩形，和均是等邊三角形，且，，則（ ）
A．平面
B．二面角隨著的減小而減小
C．當(dāng)時(shí)，五面體的體積最大值為
D．當(dāng)時(shí)，存在使得半徑為的球能內(nèi)含于五面體
14．在邊長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的最小值為
B．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為
C．當(dāng)，且時(shí)，則的軌跡長度為
D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正弦值的最大值為
15．在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知．如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3．固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為α，則（ ）

A．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形
B．當(dāng)時(shí)，水面的面積為
C．當(dāng)時(shí)，水面與地面的距離為
D．當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面的面積為12
16．已知正方體，的棱長為1，點(diǎn)P是正方形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)處，每次移動(dòng)都會到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為，如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，向點(diǎn)，移動(dòng)的概率均為，向點(diǎn)移動(dòng)的概率為，則（ ）
A．移動(dòng)兩次后，“”的概率為
B．對任意，移動(dòng)n次后，“平面”的概率都小于
C．對任意，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面”的概率都小于
D．對任意，移動(dòng)n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上時(shí)，四面體體積為0）
三、填空題
17．在正方體中，球同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)若以F為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過，，設(shè)球，的半徑分別為，，則 .
18．如圖為正六棱柱，若從該正六棱柱的個(gè)側(cè)面的條面對角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們共面的概率是 ．
19．魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個(gè)三階魔方，由27個(gè)棱長為1的正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了，則該魔方的表面積增加了 .
四、解答題
20．如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點(diǎn)，
(1)求證：平面；
(2)若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
21．如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，．
(1)證明：；
(2)若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
22．已知四棱錐的棱的長為，其余各條棱長均為1．
(1)求四棱錐的體積；
(2)求二面角的大小．
23．將正方形繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得到的位置，得到如圖所示的幾何體．
(1)求證：平面平面；
(2)點(diǎn)為上一點(diǎn)，若二面角的余弦值為，求．
24．如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.
25．在菱形中，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
26．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．
(1)證明：直線平面PAD；
(2)當(dāng)二面角為120°時(shí)，求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值．
27．在三棱錐中，.
(1)證明：平面平面；
(2)點(diǎn)為棱上，若與平面所成角的正弦值為，求的長；
28．已知四棱錐P—ABCD中，△ABD?△BCD?△BDP都是正三角形
(1)求證：平面ACP⊥平面BDP；
(2)求直線BP與平面ADP所成角的正弦值.
29．如圖，兩兩垂直，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，．
(1)求證：平面平面．
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
30．在中，，，的平分線交AB于點(diǎn)D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.
(1)求直線CD與平面所成角的大??；
(2)設(shè)點(diǎn)，且，記E的軌跡為曲線Γ.
（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；
（ii）不與直線AB重合的直線l過點(diǎn)D且交Γ于P，Q兩點(diǎn)，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得無論l繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動(dòng)，總有？若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說明理由.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.
【詳解】設(shè)棱臺上下底面的中心為,連接，
則，
所以棱臺的高,
設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，
設(shè)中點(diǎn)為，連接,
所以，解得，
所以球的表面積為，
故選：C
2．B
【分析】畫出圖形，求解正方體的中心與正八面體面的距離，然后求解求與正八面體的截面圓半徑，求解各個(gè)平面與球面的交線、推出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，為的中點(diǎn)，為正方體的中心，過作的垂線交于點(diǎn)，正八面體的棱長為2，即，故，，，則，
設(shè)球與正八面體的截面圓半徑為，如圖所示，則，
由于，，所以，則，平面與球的交線所對應(yīng)的圓心角恰為，則該球的球面與八面體各面的交線的總長為
故選：B
3．B
【分析】根據(jù)原長方體體積與得到的體積為165cm3長方體的關(guān)系，分別對長寬高進(jìn)行減半，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】由題意，，為得到體積為的長方體，
需將原來長方體體積縮小為原來的，
可分三類完成：第一類，長減半3次，寬減半3次、高減半3次，共3種；
第二類，長寬高各減半1次，共1種；
第三類，長寬高減半次的全排列種，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共種.
故選：B
4．B
【分析】先利用空間向量法求得面的一個(gè)法向量為，從而求得面上的點(diǎn)滿足，進(jìn)而得到棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，故，
設(shè)是面上的點(diǎn)，則，
故，則，
不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，
易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，
所以，
當(dāng)且時(shí)，
將寫成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，
所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得面上的點(diǎn)滿足，從而確定三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿足，由此得解.
5．B
【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再計(jì)算出這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率，最后利用對立事件的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】根據(jù)題意，從長方體的個(gè)頂點(diǎn)中任選個(gè)，有種取法，
“這個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三棱錐的頂點(diǎn)”的反面為“這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面”，
而長方體有個(gè)底面和個(gè)側(cè)面、個(gè)對角面，一共有種情況，
則這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率，
所以這個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三棱錐的概率為.
故選：B．
6．A
【分析】求出直線與的夾角，可得繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，求直線與的夾角，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，利用三角函數(shù)知識求解即可.
【詳解】在長方體中，，則直線與的夾角等于直線與的夾角．
長方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，
則，又，
所以是等邊三角形，故直線與的夾角為．
則繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，如圖所示，．
因?yàn)橹本€與所成的角為，，所以直線與的夾角為．
在平面中，作，，使得．
結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為，
易知．
設(shè)直線與的夾角為，則，故當(dāng)時(shí)最小，
而
，
故直線與的夾角的正弦值的最小值為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題中在平面中，作，，使得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為是關(guān)鍵.
7．ACD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法計(jì)算異面直線所成角及二面角可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，由可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求得內(nèi)切球的表面積即可判斷D項(xiàng).
【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
又因?yàn)榘嗣骟w的每個(gè)面都是正三角形，所以、、三點(diǎn)共線，且面，
所以以為原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，，，
對于A項(xiàng)，，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
所以，即異面直線與所成角大小為，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，，，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，，則，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，，則，
所以，
又因?yàn)槊媾c所成的二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以為此八面體外接球的球心，
即此八面體一定存在外接球，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，
則八面體的體積為，
又八面體的體積為，
所以，解得，
所以內(nèi)切球的表面積為，故D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
8．ABD
【分析】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，作出過斜圓柱底面橢圓長軸的截面，截斜圓柱得平行四邊形，截圓柱得矩形，如圖，由此截面可得橢圓面與圓柱底面間所成的二面角的平面角，從而求得橢圓長短軸之間的關(guān)系，得離心率，并求得橢圓的長短軸長，得橢圓面積，利用橢圓的側(cè)面積公式可求得斜橢圓的側(cè)面積，由斜圓柱的高比圓柱的底面直徑大，可知斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的直徑與圓柱底面直徑相等，從而得其表面積，從而可關(guān)鍵各選項(xiàng)．
【詳解】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，如圖，矩形是圓柱的軸截面，平行四邊形是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，
由圓柱的性質(zhì)知，
則，設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，則，，，
所以離心率為，A正確；
，垂足為，則，
易知，，又，
所以斜圓柱側(cè)面積為，B正確；
，，，，
橢圓面積為，D正確；
由于斜圓錐的兩個(gè)底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，球表面積為，C錯(cuò)．
故選：ABD．
9．ABC
【分析】利用分類計(jì)算原理及組合，結(jié)合圖形，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】不妨設(shè)兩個(gè)釘子間的距離為1，
對于選項(xiàng)A，由圖知，邊長為1的正方形有個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，
邊長為3的正方形有1個(gè)，邊長為的正方形有個(gè)，邊長為的有2個(gè)，共有20個(gè)，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，由圖知，寬為1的長方形有個(gè)，寬為2的長方形有個(gè)，
寬為3的長方形有5個(gè)，寬為的有2個(gè)，共有24個(gè)，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，由圖知，可以圍成個(gè)不同的三角形，所以選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
10．BCD
【分析】對于A，根據(jù)到點(diǎn)長度為定值，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓；
對于B，理解內(nèi)切球的特點(diǎn)，計(jì)算出球心到平面的距離，再計(jì)算出截面半徑求面積；
對于C，找到線面所成角的位置，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（相切時(shí)）找到正弦的最大值；
對于D，需要先找到點(diǎn)位置，再將立體問題平面化，根據(jù)三點(diǎn)共線距離最短求解.
【詳解】
對于A，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以.點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，因此運(yùn)動(dòng)軌跡為圓.故A錯(cuò)誤.
對于B，在面內(nèi)研究，如圖所示為內(nèi)切球球心，為上底面中心，為下底面中心，為內(nèi)切球與面的切點(diǎn).已知，為球心到面的距離.在正方體中，，，.利用相似三角形的性質(zhì)有，即，.因此可求切面圓的，面積為.故B正確.
對于C，直線與平面所成角即為，當(dāng)與點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，最大.此時(shí).故C正確.
對于D，分析可知，點(diǎn)為和圓周的交點(diǎn)時(shí)，最小.此時(shí)可將面沿著翻折到面所在平面.根據(jù)長度關(guān)系，翻折后的圖形如圖所示.
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小.因?yàn)?，，所以最小值為，故D正確.
故選：BCD
11．ABD
【分析】合理構(gòu)造圖形，利用三角形的性質(zhì)判斷A，利用球的截面性質(zhì)判斷B，利用線線角的幾何求法求出軌跡方程判斷C，合理轉(zhuǎn)化后判斷D即可.
【詳解】對于A，延長到使得，
則，
等號在共線時(shí)取到；故A正確，
對于B，由于球的半徑為，球心到平面的距離為，
故被截得的圓的半徑為，故面積為，故B正確，
對于C，與所成的角即為和所成角，記，
則，即，所以的軌跡是雙曲線；故C錯(cuò)誤，
對于D，顯然過的滿足條件的直線數(shù)目等于過的滿足條件的直線的數(shù)目，
在直線上任取一點(diǎn)，使得，
不妨設(shè)，若，則是正四面體，
所以有兩種可能，直線也有兩種可能，若，則只有一種可能，
就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能.
故選：ABD
12．BCD
【分析】記的中點(diǎn)分別為， 構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，證明共面，且平面，由此確定平面，找到最大時(shí)的位置，確定MN與BC所成角的平面角即可判斷A，證明與平面平行，應(yīng)用向量法求到面的距離，結(jié)合體積公式，求三棱錐的體積，判斷B；根據(jù)球的截面性質(zhì)確定 N的軌跡，進(jìn)而求周長判斷C，由平面確定的位置，通過翻折為平面圖形，利用平面幾何結(jié)論求解判斷D.
【詳解】記的中點(diǎn)分別為，
連接，連接，
因?yàn)?，?br>所以，，所以四邊形為平行四邊形，
連接，記其交點(diǎn)為，
根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,，，，，，，，

因?yàn)椋?，，?br>，，，
所以，，，
，，
所以六點(diǎn)共面，
因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，故平面即為平面，
對于A，與重合時(shí)，最大，且，
所以MN與BC所成的角的平面角為，
又，
所以，故MN與BC所成的角為，所以A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)樗?，，?br>所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，
所以，
向量為平面的一個(gè)法向量，又，
所以到面的距離，
又為等邊三角形，則，
所以三棱錐的體積為定值，B正確；
對于C：若，點(diǎn)在截面內(nèi)，
所以點(diǎn)N的軌跡是以為球心， 半徑為的球體被面所截的圓（或其一部分），
因?yàn)?，，所以?br>所以平面，所以截面圓的圓心為，
因?yàn)槭敲娴姆ㄏ蛄?，而?br>所以到面的距離為，
故軌跡圓的半徑，又，
故點(diǎn)N的軌跡長度為，C正確.
對于D，平面，平面，
又平面與平面的交線為，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，
翻折，使得其與矩形共面，如圖，

所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，
由已知，，，
過作，垂足為，則，
所以
所以，
所以的最小值為，D正確；
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)截面的性質(zhì)確定滿足條件的過點(diǎn)的截面位置，再結(jié)合異面直線夾角定義，錐體體積公式，球的截面性質(zhì)，空間圖形的翻折判斷各選項(xiàng).
13．ACD
【分析】A由線面平行的判定證明；B設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)到面的距離為，則，分析取最小值的對應(yīng)情況即可判斷；C把五面體補(bǔ)成直三棱柱，取的中點(diǎn)，設(shè)，則，結(jié)合并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值；D先分析特殊情況：和所在平面均垂直于面時(shí)構(gòu)成正三棱柱，再借助左視圖、正視圖研究內(nèi)切圓半徑分析一般情況判斷.
【詳解】A：由題設(shè)，面，面，則面，
由面面，面，則，
面，面，則平面，對；
B：設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)到面的距離為，則，
點(diǎn)到面的距離，僅在面面時(shí)取得最大值，
當(dāng)時(shí)取最小值，即取最小值，即二面角取最小值，
所以，二面角先變小后變大，錯(cuò)；

C：當(dāng)，如圖，把五面體補(bǔ)成直三棱柱，
分別取的中點(diǎn)，易得面，，
設(shè)，則，
，
令，則，
令，可得或（舍），即，
，，遞增，，，遞減，
顯然是的極大值點(diǎn)，故.
所以五面體的體積最大值為，C對；
D：當(dāng)時(shí)，和所在平面均垂直于面時(shí)構(gòu)成正三棱柱，
此時(shí)正三棱柱內(nèi)最大的求半徑，故半徑為的球不能內(nèi)含于五面體，
對于一般情形，如下圖示，左圖為左視圖，右圖為正視圖，

由C分析結(jié)果，當(dāng)五面體體積最大時(shí)，其可內(nèi)含的球的半徑較大，
易知，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，可得，
另外，設(shè)等腰梯形中圓的半徑為，則，
所以，存在使半徑為的球都能內(nèi)含于五面體，對.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于C通過補(bǔ)全幾何體為棱柱，設(shè)得到五面體的體積關(guān)于的函數(shù)；對于D從特殊到一般，結(jié)合幾何體視圖研究內(nèi)切圓判斷最大半徑是否大于為關(guān)鍵.
14．AD
【分析】對于A，確定M的位置，利用側(cè)面展開的方法，求線段的長，即可判斷；對于B，利用平移法，作出異面直線所成角，解三角形，即可判斷；對于C，結(jié)合線面垂直以及距離確定點(diǎn)M的軌跡形狀，即可確定軌跡長度；對于D，利用等體積法求得M點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求得與平面所成角的正弦值，即可判斷.
【詳解】對于A，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)K，使，
因?yàn)?，即，故M點(diǎn)在上，
將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：

連接交于P，此時(shí)三點(diǎn)共線，取到最小值即的長，
由于，則，
故，
即此時(shí)的最小值為，A正確；
對于B，由于時(shí)，則，
此時(shí)M為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為N，連接，

則,故即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
又,，
故，
而異面直線所成角的范圍為，
故異面直線與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)M的軌跡在內(nèi)（包括邊界），
由于平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，同理可證,
平面，故平面，
設(shè)與平面交于點(diǎn)P，由于，
為邊長為的正三角形，則點(diǎn)A到平面的距離為，
若，則，
即M點(diǎn)落在以P為圓心，為半徑的圓上，
P點(diǎn)到三遍的距離為，
即M點(diǎn)軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度小于圓的周長，C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)槠矫?，平面，故平面?br>
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即M在上，
點(diǎn)M到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d，
則，
為邊長為的正三角形，即，
解得，
又M在上，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，即與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確，
故選：AD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題，以及線線角和線面角的求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于C，D選項(xiàng)的判斷，對于C，要結(jié)合空間距離，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀；對于D，要結(jié)合等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合線面角的定義求解.
15．ABC
【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，正三棱柱的體積，再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題知，正三棱柱的體積，
對于選項(xiàng)A，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，水面形狀是三角形，再傾斜時(shí)，水面形狀是梯形，直到側(cè)面與地面重合時(shí)，水面形狀是矩形，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，如圖1，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，
設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點(diǎn)，連接，
易知，又，面，
所以面，所以到平面的距離為，
所以，解得，
此時(shí)水面圖形為，又，，
取中點(diǎn)，則，且，所以，故選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，
易知，設(shè)，由，得到，
因?yàn)樗媸冀K與地面平行，始終與水面平行，且始終在地面上，
所以水面與地面的距離，即到平面的距離，
取中點(diǎn)，連接，設(shè)交于，連接，
易知，又，面，所以面，
又，所以面，過作于，連接，
因?yàn)槊妫?，又，面?br>所以，即為水平面到地面的距離，
如圖3，過作于，易知，所以，
得到，又，所以，
故選項(xiàng)C正確，

對于選項(xiàng)D，如圖4，當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面為矩形，設(shè)，
則由，解得，所以，
故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C，利用容器傾斜時(shí)始終與地面平行，邊始終與水面平行，將問題轉(zhuǎn)化成到水面的距離，再利用幾何關(guān)系，即可求出結(jié)果.
16．AC
【分析】先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，在點(diǎn)處的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】設(shè)移動(dòng)次后，點(diǎn)在點(diǎn)的概率分別為，
其中，
，解得：，
對于A，移動(dòng)兩次后，“”表示點(diǎn)移動(dòng)兩次后到達(dá)點(diǎn)，
所以概率為，故A正確；

對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，
因?yàn)?，?br>設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
而，平面，
所以當(dāng)點(diǎn)位于或時(shí)，平面，
當(dāng)移動(dòng)一次后到達(dá)點(diǎn)或時(shí)，所以概率為，故B錯(cuò)誤；
對于C，所以當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，PC⊥平面，
所以移動(dòng)n次后點(diǎn)位于，則，故C正確；
對于D，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望
，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為，
同理，點(diǎn)到平面的距離分別為，
所以，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)，所以，當(dāng)時(shí),；
當(dāng)為奇數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，點(diǎn)的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
17．/
【分析】首先根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知條件得到球內(nèi)切于正方體，設(shè)，得到，即可得到答案.
【詳解】如圖所示：
根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等，
其中點(diǎn)到點(diǎn)F的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，
點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離，
因此球內(nèi)切于正方體.
不妨設(shè)，兩個(gè)球心，和兩球的切點(diǎn)F均在體對角線上，
兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，
則，，所以
因?yàn)?，所以，所以?br>因此，得，所以.
故答案為：
18．
【分析】根據(jù)題意，相交時(shí)分為：在側(cè)面內(nèi)相交，兩個(gè)相鄰面相交于一個(gè)點(diǎn)，相隔一個(gè)面中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對角線共面的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果即可．
【詳解】由題意知，若兩個(gè)對角線在同一個(gè)側(cè)面，因?yàn)橛袀€(gè)側(cè)面，所以共有組，
若相交且交點(diǎn)在正六棱柱的頂點(diǎn)上，因?yàn)橛袀€(gè)頂點(diǎn)，所以共有組，
若相交且交點(diǎn)在對角線延長線上時(shí)，如圖所示，連接，，，，

先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，所以，
且，故共面，且共面，
故，相交，且，相交，故共面有組，
則正六邊形對角線所對應(yīng)的有組共面的面對角線，
同理可知正六邊形對角線，所對的分別有兩組，共組，
故對于上底面對角線，，同樣各有兩組，共組，
若對面平行，一組對面中有組對角線平行，三組對面共有組，
所以共面的概率是．
故答案為：．
19．
【分析】分析轉(zhuǎn)動(dòng)后的平面圖形得表面積即可求解.
【詳解】如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)后，此時(shí)魔方相對原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，俯視圖如圖，
由圖形的對稱性可知，為等腰直角三角形，
設(shè)直角邊，則斜邊，故，可得.
由幾何關(guān)系得，
故轉(zhuǎn)動(dòng)后的表面積，
故表面積增加了.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查組合體表面積求解，關(guān)鍵是找到轉(zhuǎn)動(dòng)后的平面多出部分的面積.
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分別延長線段，，，交于點(diǎn)，將四棱臺補(bǔ)成四棱錐，取的中點(diǎn)，連接，，由四邊形為平行四邊形，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；
（2）先證明平面，再以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，易得平面的一個(gè)法向量為，然后由求解.
【詳解】（1）證明：如圖所示：
分別延長線段，，，交于點(diǎn)，將四棱臺補(bǔ)成四棱錐.
∵，∴，∴，
取的中點(diǎn)，連接，，
∵，且，∴四邊形為平行四邊形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
（2）由于，所以，
又梯形面積為，
設(shè)到平面距離為，則，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以點(diǎn)C到平面的距離與點(diǎn)D到平面的距離相等，
而，所以平面.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
易得為等邊三角形，所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
得，，不妨取，
又平面的一個(gè)法向量為.
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
21．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解，即可求證，進(jìn)而根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，即可得線線垂直，
（2）根據(jù)體積公式，結(jié)合棱柱與棱錐的體積關(guān)系，結(jié)合等體積法可得，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求解法向量求解.
【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
所以．
又因?yàn)椋矫?
所以平面,平面．
所以．
由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．
又，所以，
所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>又，平面,所以平面．
取中點(diǎn)，連接，設(shè)．
設(shè)多面體的體積為，
則
．
解得．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
．
則平面的一個(gè)法向量．
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則即?。?br>所以．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
22．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)四邊形的外接圓半徑為，求得，利用等面積求得四邊形的面積，求出到平面的距離，可以求解體積；
（2）利用線面垂直，推出面面垂直，求解二面角.
【詳解】（1）如圖（1）所示，四棱錐中，，其余各條棱長均為1，
所以點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面四邊形的外接圓的圓心，
即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，如圖（2）所示,
根據(jù)四邊形的對稱性，可得為外接圓的直徑，,
所以，
設(shè)四邊形的半徑為，在直角中，可得，,
由等面積法，
又由點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面四邊形的外接圓的圓心，
所以底面四邊形,即，
所以;

（2）由,,
所以
即,
又平面,所以平面,
又平面,所以平面平面,
所以二面角為.
23．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面與線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線面、面面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量法求出二面角的余弦值，建立方程，結(jié)合三角恒等變換求出即可.
【詳解】（1）由已知得平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，又平面，故，
因?yàn)槭钦叫?，所以?br>，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，兩兩垂直，
以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
設(shè)，，
則，，，，
故，，
設(shè)平面的法向量為，則，
故，取，則，
所以
設(shè)平面的法向量為，，
故，取，則，
所以，
所以，
由已知得，
化簡得：，解得或（舍去）
故，即.
24．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意可得，平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）過作的垂線交延長線于點(diǎn)H，連接AH，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，設(shè)，在中由余弦定理得，利用勾股定理的逆定理可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，得，則，
所以，即.
由二面角的大小為，知平面平面，即平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）過作的垂線，交延長線于點(diǎn)H，連接AH，
由平面平面，平面平面，平面，
，所以平面，則為在底面內(nèi)的射影，
所以為直線與底面所成的角，即.
由，知且為鈍角三角形，
設(shè)，得，，
在中，，在中，，
由余弦定理得，有，
所以，過作，則底面，
所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，則，
所以，則，
故所求二面角的余弦值為.

25．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）法1：根據(jù)面面垂直得線面垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解線面夾角即可；法2：根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用等體積轉(zhuǎn)化求解到平面的距離，從而轉(zhuǎn)化求解直線與平面所成角得正弦值.
【詳解】（1）平面平面平面.
同理可得平面.
又平面，平面平面.
平面平面.
（2）法1：取中點(diǎn)，易知.
平面平面，平面平面，
又平面，
平面.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
從而，得.
又，設(shè)平面的法向量，
有，得，解得，取，故，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
法2：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.
從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.
過作交于，過作交于，
過作交于.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
從而平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，又，平面，
從而平面.
所以的長即為到平面的距離.
由，可得.
又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即.
又，可得.
在中，，所以，得.
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
26．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行；
（2）作出輔助線，得到，求出各邊長，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式求出答案.
【詳解】（1）取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE，
∵N為PC中點(diǎn)，
∴且，
又∵且，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
（2）連接，取AD中點(diǎn)F，連接，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以為等邊三角形?br>故⊥，
因?yàn)闉榈冗吶切危浴停?br>故為二面角的平面角，
因?yàn)槎娼菫?，故?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于平面的直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，，
，，，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量，
故，
令得，故，
設(shè)MN與平面PCD所成角為，
∴．
27．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）如圖過作，由相似三角形的判定定理與性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示出的坐標(biāo)，利用空間向量法求線面角建立關(guān)于的方程，解之即可求解.
【詳解】（1）過作，垂足為，由，
得，，得，
由，得，所以，
即，所以；
在中，，所以，
又平面，
所以平面平面，
所以平面平面；
（2）如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系；
得，
設(shè)，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
，
所以；
28．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）通過證明面，即可由線面垂直證明面面垂直；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得結(jié)果.
【詳解】（1）連接OP，如下所示：
在四邊形ABCD中△ABD?△BCD都是正三角形，
所以四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)O為BD中點(diǎn)；
因?yàn)椤鰽BD?△BDP都是正三角形，
所以
因?yàn)?，面，所以BD⊥平面APC，.
因?yàn)锽D平面BDP，
所以平面ACP⊥平面BDP.
（2）由題意可得，因?yàn)?，所以°?br>以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA，OB分別為x軸，y軸，
過點(diǎn)O與平面ABCD垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如下所示：
則，
所以
設(shè)平面ADP的法向量為，則有，得
取，得；
設(shè)直線BP與平面ADP所成角為θ，
則=，
所以直線BP與平面ADP所成角的正弦值為.
29．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意首先證明是二面角的平面角，其次利用幾何關(guān)系證明，從而即可得證.
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，結(jié)合公式即可運(yùn)算求解.
【詳解】（1）連接．
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面．
因?yàn)槠矫?，所以?br>所以是二面角的平面角．
因?yàn)?，所以?br>在中，．
在中，．
所以，
所以，即．
所以平面平面．
（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，
則，即.
取，得．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
30．(1)
(2)（i）曲線是橢圓，理由見解析；（ii）存在，點(diǎn)滿足或
【分析】（1）根據(jù)條件作出圖形，利用線面角的定義得到所求線面角，解出即可;
（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件建立方程，即可求解；
（ii）把轉(zhuǎn)化為，坐標(biāo)表示后，利用聯(lián)立直線方程和橢圓方程化簡后利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系式進(jìn)行化簡求解即可；也可以把條件轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?br>平面平面，
所以.
所以直線在內(nèi)的射影為直線，
所以直線與所成角為.
過作，垂足為.
因?yàn)槠椒郑?br>所以.
又，所以，所以
又，所以.
因?yàn)?，所以?br>所以直線與平面所成角為.
（2）（i）曲線是橢圓,理由如下：
由（1）可知，，
所以是的中點(diǎn),
設(shè)的中點(diǎn)為，所以.
又，所以.
在內(nèi)過作，所以
以為原點(diǎn)，所在的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，又，
則.
因?yàn)椋郑?br>所以，
化簡得，即，
所以曲線是橢圓.
（ii）方法一：設(shè).
在平面內(nèi)，因?yàn)榕c不重合，可設(shè)，
由得，所以.
由對稱性知，若存在定點(diǎn)滿足條件，
則必在平面與的交線上，故可設(shè).
若，則，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，上式恒成立，所以符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，即.
因?yàn)樯鲜綄τ谌我獾暮愠闪?，所?
綜上，存在點(diǎn)滿足，或時(shí)，符合題意.
方法二：設(shè)
在平面內(nèi)，因?yàn)榕c不重合，可設(shè)，由得，
所以.
由對稱性知，若存在定點(diǎn)滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設(shè).
當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)椋郑?br>所以.
所以當(dāng)時(shí)，符合題意.
當(dāng)與不重合時(shí)，過作，
垂足分別為.連接，
則因?yàn)?，所?
又，所以平面，
所以，同理
又，所以，所以，
所以RtRt，所以直線平分
又在軸上，所以在平面內(nèi)直線的傾斜角互補(bǔ)
在平面內(nèi)，設(shè)直線的斜率分別為，
則
，
對于任意的恒成立，所以.
綜上，存在點(diǎn)滿足，或時(shí)，符合題意.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題最后問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件，可以轉(zhuǎn)化為或者轉(zhuǎn)化為，繼而利用坐標(biāo)求解.

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