公理2的三條推論：
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；
推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.
二．直線與直線的位置關(guān)系
共面直線： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；
平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；
異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。（既不平行，也不相交）
三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：
在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 ． 符號 a α
相交——有且只有一個公共點 符號 a∩α= A
平行——沒有公共點 符號 a∥α
說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示
平面與平面的位置關(guān)系有二種情況：
平面相交：
平面平行：
題型一：文字、圖形、符號三種語言的轉(zhuǎn)換
例1（1）．如圖所示，用符號語言可表示為（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
舉一反三
1．根據(jù)下圖，填入相應(yīng)的符號：
A________平面，
A________平面，
________平面，
平面平面__________．
2．用集合符號表示下列語句，并畫出相應(yīng)的圖形：
(1)點A在直線a上，直線a在平面內(nèi)；
(2)直線a經(jīng)過平面外的一點A；
(3)直線a既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．
題型二：平面的畫法及表示
例2畫“三個平面兩兩相交”的直觀圖．
舉一反三
1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是向四周_________的．
平面的畫法與表示
（1）平面的畫法
（2）平面的表示方法
①用希臘字母等表示平面，如平面、平面、平面等．
②用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面．
③用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂，點的大寫英文字母表示，如平面，平面．
（3）點、直線、平面之間的基本位置的符號表示
2.如圖，試根據(jù)下列要求，把被遮擋的部分畫為虛線．
(1)AB被平面遮擋；
(2)AB沒有被平面遮擋．
題型三：直線與直線的位置關(guān)系
例3:1.填空題
（1）如果、是異面直線，直線與、都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有_______個；
（2）若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一個平面的位置關(guān)系是________；
（3）已知兩條相交直線、，且平面，則與的位置關(guān)系是__________．
2．判斷正誤．
（1）兩條直線無公共點，則這兩條直線平行．( )
（2）兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．( )
（3）過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線．( )
（4）和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．( )
舉一反三
1．在三棱錐中，與是異面直線的是( )
A． B． C． D．
2．空間中點與直線的位置關(guān)系
點在直線上和點在直線外．
異面直線的定義和畫法
（1）定義：____________的兩條直線叫做異面直線．
（2）畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個____________來襯托，如圖①②．
空間中直線與直線的位置關(guān)系
空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
題型四：直線與平面的位置關(guān)系
例4.（1）空間中直線與平面的位置關(guān)系
（2）．對于平面外一直線，下列說法正確的是（ ）
A．內(nèi)的所有直線都與異面B．內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直
C．內(nèi)沒有直線與相交D．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
舉一反三
1．（多選題）下列敘述正確的是（ ）
A．若直線與平面相交，則直線上所有點都在平面上
B．若直線與平面平行，則無公共點
C．若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)
D．若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行
E．若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交
2．如圖，在長方體的六個表面中，指出在哪些平面內(nèi)，與哪些平面相交，與哪些平面平行．
題型五：平面與平面的位置關(guān)系
例5.已知是兩個不同的平面，直線，則“中任意一條直線均不與l相交”是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
舉一反三
1空間中平面與平面的位置關(guān)系
2．直線a和兩條異面直線b，c都相交，畫出每兩條相交直線所確定的平面，并標上字母．
題型六：多點共線
例6.如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且
(1)求證：四點共面；
(2)設(shè)與交于點，求證：三點共線.
舉一反三
1,如圖，是正方體的棱的延長線上的一點，，是棱，的中點，試分別畫出：
(1)過點，，的平面與正方體表面的交線；
(2)過點，，的平面與正方體表面的交線.
題型七：多線共點
例7如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：
(1)E?F?G?H四點共面；
(2)EG與HF的交點在直線AC上.
舉一反三
已知正方體中，G，H分別是，的中點，求證：，，延長后相交于一點.
題型八：多線共面
例8如圖，已知A，B，C，D是空間四點，且點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．
舉一反三
1．已知a，b，c是空間三條直線，且，c與a，b都相交．求證：直線a，b，c在同一平面內(nèi)．
鞏固提升
一、單選題
1．以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
③首尾依次相接的四條線段必共面．
A．0B．1C．2D．3
2．下列說法中正確的是（ ）
A．空間三點可以確定一個平面
B．梯形一定是平面圖形
C．若A，B，C，D既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合
D．兩組對邊都相等的四邊形是平面圖形
3．正方體中，分別是的中點.那么過三點的截面圖形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
4．下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．四條首尾相連的線段確定一個平面
C．兩條異面直線確定一個平面
D．兩條相交直線確定一個平面
5．已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面
6．下列推理錯誤的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
二、多選題
7．下列敘述正確的是（ ）
A．若直線與平面相交，則直線上所有點都在平面上
B．若直線與平面平行，則無公共點
C．若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)
D．若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行
E．若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交
8．設(shè)是給定的平面，，是不在內(nèi)的任意兩點，則（ ）
A．一定存在過直線的平面與平面垂直
B．在內(nèi)一定存在直線與直線平行
C．在內(nèi)一定存在直線與直線相交
D．在內(nèi)一定存在直線與直線垂直
三、填空題
9．如圖，在邊長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則平面截該正方體所得截面的面積為__________.
10．空間中兩條直線的位置關(guān)系有___________.
解答題
1．如圖，在正方體中，對角線與平面交于點O，AC與BD交于點M，E為AB的中點，F(xiàn)為的中點．求證：
(1)，O，M三點共線；
(2)E，C，，F(xiàn)四點共面．
2．在三棱錐中，分別是線段的中點，分別是線段上的點，且.求證:
（1）四邊形是梯形；
（2）三條直線相交于同一點.
公理1
公理2
公理3
圖形語言
文字語言
如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).
過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號語言
作用
判斷線在面內(nèi)
確定一個平面
證明多點共線
畫法
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形來表示平面
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成______________
當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成____________
圖示
文字語言
符號語言
點A在直線l上
_______________
點A在直線l外
_______________
點A在平面內(nèi)
_______________
點A在平面外
_______________
直線l在平面內(nèi)
_______________
直線l在平面外
_______________
平面，相交于l
_______________
位置關(guān)系
圖形語言
符號語言
公共點
直線在平面內(nèi)
___________
有__________個公共點
直線與平面相交
___________
有__________個公共點
直線與平面平行
___________
沒有公共點
位置關(guān)系
圖形表示
符號語言
公共點
兩個平面平行
__________
沒有公共點
兩個平面相交
__________
有一條公共直線
8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
一. 平面基本性質(zhì)即三條公理
公理2的三條推論：
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；
推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.
二．直線與直線的位置關(guān)系
共面直線： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；
平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；
異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。（既不平行，也不相交）
三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：
在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 ． 符號 a α
相交——有且只有一個公共點 符號 a∩α= A
平行——沒有公共點 符號 a∥α
說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示
平面與平面的位置關(guān)系有二種情況：
平面相交：
平面平行：
題型一：文字、圖形、符號三種語言的轉(zhuǎn)換
例1（1）．如圖所示，用符號語言可表示為（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
【分析】
由圖可知兩平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點，從而可得答案
【詳解】
由圖可知平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點，所以用符號語言可表示為，，，
故選：A
舉一反三
1．根據(jù)下圖，填入相應(yīng)的符號：
A________平面，
A________平面，
________平面，
平面平面__________．
【答案】
2．用集合符號表示下列語句，并畫出相應(yīng)的圖形：
(1)點A在直線a上，直線a在平面內(nèi)；
(2)直線a經(jīng)過平面外的一點A；
(3)直線a既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．
【答案】(1)集合符合表示為：，圖形見解析；
(2)集合符合表示為：，圖形見解析；
(3)集合符合表示為：，圖形見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，寫出集合表示，結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，作出圖象即可
（2）根據(jù)題意，寫出集合表示，結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，作出圖象即可
（3）根據(jù)題意，寫出集合表示，結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，作出圖象即可
(1)
集合符合表示為：，
(2)
集合符合表示為：，
(3)
集合符合表示為：
題型二：平面的畫法及表示
例2畫“三個平面兩兩相交”的直觀圖．
【答案】圖形見解析
【解析】
【分析】
取正方體中兩兩相交的三個平面即可．
【詳解】
解：解：如下圖中的平面、、，這三個平面兩兩相交．
舉一反三
1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是向四周_________的．
平面的畫法與表示
（1）平面的畫法
（2）平面的表示方法
①用希臘字母等表示平面，如平面、平面、平面等．
②用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面．
③用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂，點的大寫英文字母表示，如平面，平面．
（3）點、直線、平面之間的基本位置的符號表示
【答案】 無限延展 橫向 豎向
2.如圖，試根據(jù)下列要求，把被遮擋的部分畫為虛線．
(1)AB被平面遮擋；
(2)AB沒有被平面遮擋．
【答案】(1)圖象見解析
(2)圖象見解析
【解析】
【分析】
（1）平面遮擋的部分畫成虛線；
（2）平面沒有遮擋的部分畫成實線，但被平面遮擋的部分畫成虛線；
(1)
(2)
題型三：直線與直線的位置關(guān)系
例3:1.填空題
（1）如果、是異面直線，直線與、都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有_______個；
（2）若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一個平面的位置關(guān)系是________；
（3）已知兩條相交直線、，且平面，則與的位置關(guān)系是__________．
【答案】 直線平行于平面或直線在平面內(nèi) 或與相交
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)兩相交直線可確定一個平面可得解；
（2）利用圖形可判斷直線與平面的位置關(guān)系；
（3）利用圖形可判斷與的位置關(guān)系.
【詳解】
（1）因為、是異面直線，直線與、都相交，則與、與可分別確定一個平面，
故這三條直線中的兩條所確定的平面共有2個；
（2）若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線在這個平面內(nèi)或這條直線與平面平行，如下圖所示：
已知，，則（如圖1），（如圖2）.
（3）已知兩條相交直線、，且平面，如下圖所示：
如圖3所示，可知，如圖4所示，與相交.
故答案為：（1）；（2）直線與平面平行或直線在平面內(nèi)；（3）或與相交.
2．判斷正誤．
（1）兩條直線無公共點，則這兩條直線平行．( )
（2）兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．( )
（3）過平面外一點與平面內(nèi)一點的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線．( )
（4）和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．( )
【答案】 × √ × ×
【解析】
【詳解】
（1）可以平行、異面，故錯誤；
（2）空間直線位置關(guān)系有三種：平行、相交、異面，故正確；
（3）可以是異面、相交，故錯誤；
（4）可以是異面、相交，故錯誤.
舉一反三
1．在三棱錐中，與是異面直線的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
根據(jù)異面直線的定義可知：在三棱錐中，與是異面直線的是
故選：C
2．空間中點與直線的位置關(guān)系
點在直線上和點在直線外．
異面直線的定義和畫法
（1）定義：____________的兩條直線叫做異面直線．
（2）畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個____________來襯托，如圖①②．
空間中直線與直線的位置關(guān)系
空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
[微提醒]異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
【答案】 不同在任何一個平面 平面，一個，沒有，任何一個平面，公共點
題型四：直線與平面的位置關(guān)系
例4.（1）空間中直線與平面的位置關(guān)系
【答案】 無數(shù)個 一個 //
（2）．對于平面外一直線，下列說法正確的是（ ）
A．內(nèi)的所有直線都與異面B．內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直
C．內(nèi)沒有直線與相交D．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
【答案】B
【解析】
【分析】
對于ACD，由直線與平面相交的性質(zhì)進行判斷，對于B，分直線與平面相交和平行兩種情況分析判斷即可
【詳解】
對于A，當直線與平面相交時，在平面內(nèi)過交點的直線與直線相交，所以A錯誤，
對于B，當直線與平面相交時，則在平面內(nèi)與直線的射影垂直的直線，與直線垂直，這樣的直線有無數(shù)條，當直線與平面平行時，則在內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直，所以B正確，
對于C，當直線與平面相交時，在平面內(nèi)過交點的直線與直線相交，所以C錯誤，
對于D，當直線與平面相交時，在平面內(nèi)沒有直線與平行，所以D錯誤，
故選：B
舉一反三
1．（多選題）下列敘述正確的是（ ）
A．若直線與平面相交，則直線上所有點都在平面上
B．若直線與平面平行，則無公共點
C．若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)
D．若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行
E．若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交
【答案】BCE
【解析】
【分析】
依據(jù)直線與平面位置關(guān)系的定義去判斷直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行的相關(guān)說法的正確性即可.
【詳解】
選項A：若直線與平面相交，則直線與平面有且只有一個公共點.說法錯誤；
選項B：若直線與平面平行，則直線與平面無公共點.說法正確；
選項C：若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi).說法正確；
選項D：若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行或相交. 說法錯誤；
選項E：若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交. 說法正確；
故選：BCE
2．如圖，在長方體的六個表面中，指出在哪些平面內(nèi)，與哪些平面相交，與哪些平面平行．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)長方體的圖像直接可判斷.
【詳解】
由圖可知平面，平面，
與平面、平面相交，
平面，平面
題型五：平面與平面的位置關(guān)系
例5.已知是兩個不同的平面，直線，則“中任意一條直線均不與l相交”是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)充分性和必要性的定義判斷即可.
【詳解】
中任意一條直線均不與l相交不能推出；
可以推出中任意一條直線均不與l相交，
故“中任意一條直線均不與l相交”是的必要不充分條件.
故選：B.
舉一反三
1空間中平面與平面的位置關(guān)系
【答案】 //
2．直線a和兩條異面直線b，c都相交，畫出每兩條相交直線所確定的平面，并標上字母．
【答案】圖形見解析.
【解析】
【分析】
直接根據(jù)題意，即可畫出圖形.
【詳解】
根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：
題型六：多點共線
例6.如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且
(1)求證：四點共面；
(2)設(shè)與交于點，求證：三點共線.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；
（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結(jié)論.
(1)
連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
為平面與平面的一個公共點.
又平面平面，即三點共線.
舉一反三
1,如圖，是正方體的棱的延長線上的一點，，是棱，的中點，試分別畫出：
(1)過點，，的平面與正方體表面的交線；
(2)過點，，的平面與正方體表面的交線.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）連接，交于點，連接，交于點，從而可得到過點，，的平面為平面；
（2）根據(jù)基本性質(zhì)三：若兩個不重合平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，即可作出平面與正方體表面的交線；
(1)
連接，交于點，連接，交于點，連接，則過點，，的平面為平面，
過點，，的平面與正方體表面的交線分別為：，，，.
(2)
延長，交的延長線于點Q，延長，交的延長線于點，連接交于點，連接交于點，連接，
則過點，，的平面為平面，
過點，，的平面與正方體表面的交線分別為：，，，，.
題型七：多線共點
例7如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：
(1)E?F?G?H四點共面；
(2)EG與HF的交點在直線AC上.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）證明出即可；（2）證明出EFHG為梯形，得到EG與FH必相交，設(shè)交點為M，再結(jié)合點，線與面的關(guān)系進行證明.
(1)
∵，
∴.
∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，
∴，且
∴，
∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.
(2)
∵G，H不是BC，CD的中點，
∴
∴由（1）知，故EFHG為梯形.
∴EG與FH必相交，設(shè)交點為M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE與HF的交點在直線AC上.
舉一反三
已知正方體中，G，H分別是，的中點，求證：，，延長后相交于一點.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
由題意易得G，H，B，D四點共面，延長，后必交于點P，利用點線、點面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷P與的位置關(guān)系，即可證結(jié)論.
【詳解】
∵，，
∴，又，
∴.
∴G，H，B，D四點共面，且四邊形為梯形.
延長，后必交于點P，如圖.
由，平面，
∴平面，同理平面.
∴P在面和面的交線上，又面面，
∴.
∴，，延長后相交于一點.
題型八：多線共面
例8如圖，已知A，B，C，D是空間四點，且點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．
【答案】證明過程見解析.
【解析】
【分析】
運用平面基本事實進行證明即可.
【詳解】
因為點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．
所以點A，B，D確定唯一的一個平面，設(shè)為，
所以，因為，所以，因為，
所以，即直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．
舉一反三
1．已知a，b，c是空間三條直線，且，c與a，b都相交．求證：直線a，b，c在同一平面內(nèi)．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)，可確定一個平面，再證明即可.
【詳解】
，確定一個平面.
設(shè)，
∴，
，
，即，
∴直線在同一平面內(nèi).
鞏固提升
一、單選題
1．以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
③首尾依次相接的四條線段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面的基本性質(zhì)知①中若有三點共線則必四點共面，②中只能得到兩個平面有交線，不能得到兩面重合③可由空間四邊形知結(jié)論錯誤.
【詳解】
①正確，若四點中有三點共線，則可以推出四點共面，這與四點不共面矛盾；
②不正確，共面不具有傳遞性；
③不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內(nèi),
故選：B
2．下列說法中正確的是（ ）
A．空間三點可以確定一個平面
B．梯形一定是平面圖形
C．若A，B，C，D既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合
D．兩組對邊都相等的四邊形是平面圖形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面的基本性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
對于A，當三個點在同一直線上時，不能確定一個平面，故A不正確；
對于B，梯形是一組對邊平行且不相等，因此一定是平面圖形，故B正確；
對于C，當在一條直線上時，平面和平面也可能相交，故C不正確；
對于D，當四邊形的對邊所在直線是異面直線時，四邊形不是平面圖形，故D不正確，
故選：B．
3．正方體中，分別是的中點.那么過三點的截面圖形是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【解析】
【分析】
過三個點，根據(jù)線面關(guān)系作出圖像即可判斷截面為正六邊形.
【詳解】
如圖所示，設(shè)正方體棱長為2a，取BC中點為F，
延長PR、DA交于E，則AE＝a，連接EF交AB與G，則G為AB中點，
延長GF、DC交于H，則CH＝a，連接HQ交與I，則I是中點，
由此得到了截面PRGFIQ為正六邊形.
故選：D.
4．下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．四條首尾相連的線段確定一個平面
C．兩條異面直線確定一個平面
D．兩條相交直線確定一個平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷各選項的正誤.
【詳解】
A：不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
B：如空間四邊形，四條首尾相連的線段不在一個平面，故B錯誤；
C：兩條異面直線就不在一個平面內(nèi)，故C錯誤；
D：兩條相交直線確定一個平面，正確.
故選：D.
5．已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用直線和平面的位置關(guān)系和異面直線的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【詳解】
已知，為不同的平面，，，為不同的直線，
對于A：若，，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故A錯誤；
對于B：若與是異面直線，與是異面直線，則與也可能是異面直線或平行直線，故B錯誤；
對于C：若，不同在平面內(nèi)，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故C錯誤；
對于D：根據(jù)異面直線的定義，若，不同在任何一個平面內(nèi)，則與是異面直線，故D正確．
故選：D
6．下列推理錯誤的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)公理1，判斷A，C，D，根據(jù)公理2，判斷B，
【詳解】
由 ，，，根據(jù)公理1可得，A對，
由，根據(jù)公理1可得，D對，
由，可得或，C錯，
由，，，根據(jù)公理2可得，B對，
故選：C
二、多選題
7．下列敘述正確的是（ ）
A．若直線與平面相交，則直線上所有點都在平面上
B．若直線與平面平行，則無公共點
C．若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)
D．若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行
E．若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交
【答案】BCE
【解析】
【分析】
依據(jù)直線與平面位置關(guān)系的定義去判斷直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行的相關(guān)說法的正確性即可.
【詳解】
選項A：若直線與平面相交，則直線與平面有且只有一個公共點.說法錯誤；
選項B：若直線與平面平行，則直線與平面無公共點.說法正確；
選項C：若直線上兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi).說法正確；
選項D：若直線與平面平行，則過直線的平面與這個平面相互平行或相交. 說法錯誤；
選項E：若直線與平面有且只有一個公共點，則直線與平面相交. 說法正確；
故選：BCE
8．設(shè)是給定的平面，，是不在內(nèi)的任意兩點，則（ ）
A．一定存在過直線的平面與平面垂直
B．在內(nèi)一定存在直線與直線平行
C．在內(nèi)一定存在直線與直線相交
D．在內(nèi)一定存在直線與直線垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)空間中的線面關(guān)系、面面關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】
對于A，當直線AB與垂直時，過AB的所有平面都與垂直；
當直線AB與不垂直時（無論相交還是平行），設(shè)A，B在平面內(nèi)的射影為點和，
則直線和平行，且它們都垂直于平面，直線和所在的平面與垂直，正確；
對于B，當與相交時，內(nèi)不存在直線與平行，否則直線AB與平行，故B錯誤；
對于C，當與平行時，內(nèi)所有直線與都沒有交點，故C錯誤；
對于D，選項A中確定的平面與平面的交線記為m，則平面內(nèi)所有與m垂直的直線都與平面垂直，于是也和直線AB垂直，故D正確．
故選：AD．
三、填空題
9．如圖，在邊長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則平面截該正方體所得截面的面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
連接、、，分析可知平面截正方體所得截面為梯形，計算出梯形的面積，即可得解.
【詳解】
連接、、，如下圖所示：
在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，
所以，，
、分別為、的中點，則且，，
因為平面平面，平面平面，設(shè)平面平面，則，
因為為平面與平面的一個公共點，且，，故直線與直線重合，
且，故梯形為截面截正方體所得截面，
過點、在平面內(nèi)作，，垂足點分別為、，
因為，同理可得，則梯形為等腰梯形，
因為，，，則，
所以，，
在平面內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，
所以，，則，，
因此，截面面積為.
故答案為：.
10．空間中兩條直線的位置關(guān)系有___________.
【答案】平行、相交、異面
【解析】
【分析】
根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系即可作答.
【詳解】
空間中兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交、異面.
故答案為：平行、相交、異面.
解答題
1．如圖，在正方體中，對角線與平面交于點O，AC與BD交于點M，E為AB的中點，F(xiàn)為的中點．求證：
(1)，O，M三點共線；
(2)E，C，，F(xiàn)四點共面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意得平面，又可證平面，根據(jù)基本事實，即可得證
（2）根據(jù)平行的傳遞性，可證，根據(jù)基本事實的推論，即可得證.
(1)
由題意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事實3可得，點在平面和平面的交線上，
所以三點共線
(2)
連接EF、、，
因為E、F分別為AB、的中點，
所以，
又正方體，
所以，
所以，
因為兩平行直線可確定一個平面，
所以E，C，，F(xiàn)四點共面.
2．在三棱錐中，分別是線段的中點，分別是線段上的點，且.求證:
（1）四邊形是梯形；
（2）三條直線相交于同一點.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由中位線性質(zhì)和平行線分線段成比例可證得且，由此可得結(jié)論；
（2）設(shè)，可證得平面，平面，則，由此可得結(jié)論.
【詳解】
（1）分別是邊的中點，，，
由得：，且，
且，四邊形是梯形.
（2）由（1）知：相交，設(shè)，
，平面，平面，同理可得：平面，
又平面平面，，和的交點在直線上，
三條直線相交于同一點.
公理1
公理2
公理3
圖形語言
文字語言
如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).
過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號語言
作用
判斷線在面內(nèi)
確定一個平面
證明多點共線
畫法
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形來表示平面
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成______________
當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成____________
圖示
文字語言
符號語言
點A在直線l上
_______________
點A在直線l外
_______________
點A在平面內(nèi)
_______________
點A在平面外
_______________
直線l在平面內(nèi)
_______________
直線l在平面外
_______________
平面，相交于l
_______________
位置關(guān)系
圖形語言
符號語言
公共點
直線在平面內(nèi)
___________
有__________個公共點
直線與平面相交
___________
有__________個公共點
直線與平面平行
___________
沒有公共點
位置關(guān)系
圖形表示
符號語言
公共點
兩個平面平行
__________
沒有公共點
兩個平面相交
__________
有一條公共直線

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8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

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