知識(shí)點(diǎn)一、平面的基本概念
1.平面的概念：
“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象.幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；
(2)“平面”無厚薄之分；
(3)“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．
2.平面的畫法：
通常畫平行四邊形表示平面．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；
(2)兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；
3.平面的表示法：
(1)用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面、平面等；
(2)用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面；
(3)用表示平面的平行四邊形的相對兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面或者平面；
4.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：
(1)點(diǎn)A在直線a上，記作；點(diǎn)A在直線a外，記作；
(2)點(diǎn)A在平面上，記作；點(diǎn)A在平面外，記作；
(3)直線在平面內(nèi)，記作；直線不在平面內(nèi)，記作．
知識(shí)點(diǎn)二、平面的基本性質(zhì)
平面的基本性質(zhì)即書中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ).
1.公理1：
(1)文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；
(2)符號(hào)語言表述：，，，；
(3)圖形語言表述：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”．
2.公理2：
(1)文字語言表述：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；
(2)符號(hào)語言表述：、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使得，，；
(3)圖形語言表述：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個(gè)平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．
“有且只有一個(gè)”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個(gè)”說明“唯一”，所以“有且只有一個(gè)”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．
(4)公理2的推論：
①過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；
②過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；
③過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.
(5)作用：確定一個(gè)平面的依據(jù).
3.公理3：
(1)文字語言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；
(2)符號(hào)語言表述：且；
(3)圖形語言表述：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
公理3的作用是判定兩個(gè)平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù).
知識(shí)點(diǎn)三、點(diǎn)線共面的證明
所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題．
1．證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：
（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2及其推論）．
2．證明點(diǎn)線共面的常用方法：
（1）證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；
（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)．
知識(shí)點(diǎn)四、證明三點(diǎn)共線問題
所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同—條直線上．
1．證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．也就說一個(gè)點(diǎn)若是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．
對于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上．
2．證明三點(diǎn)共線的常用方法
方法1：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上．
方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上．
知識(shí)點(diǎn)五、證明三線共點(diǎn)問題
所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．
1．證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．
2．證明三線共點(diǎn)的思路：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題．
知識(shí)點(diǎn)六、異面直線
1．定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.
2．畫法:
3.兩異面直線所成角的常用方法
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．
知識(shí)點(diǎn)七、空間兩條直線的位置關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)八、直線與平面的位置關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)九、平面與平面的位置關(guān)系
【經(jīng)典例題】
題型一 平面的概念及其表示
例1．（2022·全國·高一）如圖所示，用符號(hào)語言可表示為（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
解題技巧（三種語言轉(zhuǎn)換的注意事項(xiàng)）
(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示.
(2)符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.
(3)由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意把被遮擋的部分畫成虛線.
例2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用符號(hào)表示下列語句：
(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)；
(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；
(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且直線l在平面外；
(4)直線l經(jīng)過平面外一點(diǎn)M．
例3．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）將下列符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：
(1)A?α， a?α.
(2)α∩β＝a， P?α且P?β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
題型二 平面的確定
例4．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．過三點(diǎn)確定一個(gè)圓
B．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域
C．三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面
D．四邊形一定是平面圖形
例5．（2022·全國·高一）以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
③首尾依次相接的四條線段必共面．
A．0B．1C．2D．3
例6．（2022·全國·高一）下列說法中正確的是（ ）
A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
B．梯形一定是平面圖形
C．若A，B，C，D既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合
D．兩組對邊都相等的四邊形是平面圖形
例7．（2022·全國·高一）下列命題正確的是（ ）
①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；
②圓上三點(diǎn)確定一個(gè)平面；
③圓心與圓上的兩點(diǎn)確定一個(gè)平面；
④兩條平行直線確定一個(gè)平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
例8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）三個(gè)平面可以把空間分成n個(gè)部分，在下列選項(xiàng)中，n的值正確的有（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
題型三 點(diǎn)線共面
例9．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．
求證：，，，四點(diǎn)共面；
解題技巧 (證明點(diǎn)線共面問題的常用方法)
(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).
(2)重合法:先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi),另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合.
例10．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.
（1）由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；
（2）由點(diǎn)A，，確定的平面為平面.
例11．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，，，．求證：直線，，在同一平面內(nèi)．
題型四 三點(diǎn)共線
例12．（2021·山東鄒城·高一期中）已知正方體，，分別是棱，的中點(diǎn)．
（Ⅰ）畫出平面與平面的交線，并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)為直線與平面的交點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線．
例13．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點(diǎn)，AC，BD交于M點(diǎn)，求證：C1，O，M三點(diǎn)共線．
題型五 三線共點(diǎn)問題
例14．（2022·全國·高一）如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且有.試判定直線的位置關(guān)系.
解題技巧（證明多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)的常用方法）
(1)證明三線共點(diǎn)常用的方法:
先證明兩條直線相交于一點(diǎn),然后證明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi),第三條線是這兩個(gè)平面的交線,于是該點(diǎn)在第三條直線上,從而得到三線共點(diǎn).也可以先證明a,b相交于一點(diǎn)A,b與c相交于一點(diǎn)B,再證明A,B是同一點(diǎn),從而得到a,b,c三線共點(diǎn).
(2)類比線共點(diǎn)的證明方法,可得到三點(diǎn)共線的證明方法:
①首先找出兩個(gè)平面的交線,然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3,可推知這些點(diǎn)都在交線上,即三點(diǎn)共線.
②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在這條直線上.
例15．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，分別是線段上的點(diǎn)，且.求證:
（1）四邊形是梯形；
（2）三條直線相交于同一點(diǎn).
題型六 截面問題
例16．（2022·全國·高一）已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點(diǎn)，作出過，，三點(diǎn)的截面.
例17．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，M是的中點(diǎn)，試作出平面與平面ABCD的交線．
例18.（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長為分別是的中點(diǎn)，設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)．
（1）畫出過三點(diǎn)的平面與平面的交線，以及與平面的交線；
（2）求的長．
題型七 直線與直線的位置關(guān)系
例19．（2022·全國·高一）已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面
解題技巧（判定兩直線異面的常用方法）
(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);
(2)排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交)的情況.
例20．（2022·全國·高一）如圖，點(diǎn)P在平面ABC外，點(diǎn)F在BC的延長線上，E在線段PA上，則直線AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______對異面直線．
例21．（2021·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：① ②與成 ③與是異面直線 ④，其中正確的是_________．
例22.（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線與是異面直線的一個(gè)圖是________．（填序號(hào)）

① ② ③ ④
例23．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）填空題
（1）如果、是異面直線，直線與、都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有_______個(gè)；
（2）若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系是________；
（3）已知兩條相交直線、，且平面，則與的位置關(guān)系是__________．
題型八 異面直線所成的角
例24．（2021·黑龍江·綏化市第二中學(xué)高一期末）空間四邊形的對角線分別為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．1
解題技巧（兩異面直線所成角的常用方法）
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．
例25.（2021·浙江浙江·高一期末）在正方體中，則異面直線AC與的所成角為（ ）
A．B．C．D．
例26．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在四面體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角等于（ ）．
A．B．C．D．
題型九 直線與平面的位置關(guān)系
例27．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：
（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是________；
（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．
解題技巧 (直線與平面位置關(guān)系的解題思路)
解決此類問題首先要搞清楚直線與平面各種位置關(guān)系的特征,利用其定義作出判斷,要有畫圖意識(shí),并借助空間想象能力進(jìn)行細(xì)致的分析.
例28．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，若P為棱的中點(diǎn)，直線與平面ABCD是否相交？為什么？直線呢？
例29．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？
（1）AM所在的直線與平面ABCD；
（2）CN所在的直線與平面ABCD；
（3）AM所在的直線與平面CDD1C1；
（4）CN所在的直線與平面A1B1C1D1.
題型十 平面與平面的位置關(guān)系
例30.（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在四棱臺(tái)中，平面與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行
C．不確定D．異面
解題技巧（平面與平面位置關(guān)系的解題思路）
判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系,要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識(shí),結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題,作出判斷.常借助長方體模型進(jìn)行判斷.
例31．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn).求證:平面ACC1A1與平面BEF相交.
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·陜西西安·高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．四條首尾相連的線段確定一個(gè)平面
C．兩條異面直線確定一個(gè)平面
D．兩條相交直線確定一個(gè)平面
2．（2022·全國·高一）如圖，已知正方體，空間中不存在平面經(jīng)過其包含的所有對象的是（ ）
A．A，D，B．AB，C．A，O，CD．AB，C，
3．（2021·上海交大附中高二期中）如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（ ）
A．三角形B．平面四邊形
C．平面五邊形D．平面六邊形
4．（2021·陜西陳倉·高一期末）用符號(hào)語言表示下列語句，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）點(diǎn)A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)：，．
（2）直線a經(jīng)過平面外的點(diǎn)A，且a不在平面內(nèi)：，，．
（3）平面與平面相交于直線l，且l經(jīng)過點(diǎn)P：，．
A．1B．2C．3D．0
5．（2021·湖北·高一期末）對于平面外一直線，下列說法正確的是（ ）
A．內(nèi)的所有直線都與異面B．內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直
C．內(nèi)沒有直線與相交D．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行
6．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）與平行 （2）與是異面直線
（3）與是異面直線 （4）與是異面直線
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
7．（2021·陜西·西安市第八十九中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，AB=CD，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，若AB與CD所成角的大小為60°，則MN與CD所成角的大小為（ ）
A．30°B．60°
C．30°或60°D．15°或60°
8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖正方體，棱長為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，為四邊形B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形
C．當(dāng)時(shí)，為六邊形D．當(dāng)時(shí)，的面積為
二、多選題
9．（2022·全國·高一）（多選）已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，，表示不同的平面，則下列推理正確的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，D．，，
10．（2021·湖南·長沙市第二十一中學(xué)高一期中）已知是兩條不重合直線，是兩個(gè)不重合平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則與是異面直線
B．若，，則直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線
C．若，，則
D．若，，則與一定相交.
11．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（ ）
A．不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線
B．若點(diǎn)共面，點(diǎn)共面，則共面
C．若直線共面，直線共面，則直線共面
D．依次首尾相接的四條線段必共面
12．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與平行
B．
C．與成60°
D．四條直線、、、中任意兩條都是異面直線
三、填空題
13．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.
14．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體中作截面，若的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)．則三點(diǎn)的位置關(guān)系是_______．
15．（2019·江蘇·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是___________(填序號(hào))
①若直線不在平面內(nèi)，則；
②若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則；.
③若直線與平面平行，則l與內(nèi)的任意一條直線都平行；
④若與平面平行，則與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)；
⑤平行于同一平面的兩直線可以相交.
16．（2021·浙江臺(tái)州·高一期末）已知直線與平面所成角為，若直線，則與所成角的最小值為__________.
四、解答題
17．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E， G分別為BC， AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求證：EF， GH， BD交于一點(diǎn)．
18．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，若P為棱的中點(diǎn)，判斷平面與平面ABCD是否相交．如果相交，作出這兩個(gè)平面的交線．
19．（2020·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）如圖，在長方體中，點(diǎn)?分別為棱?的中點(diǎn).
（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；
（2）確定直線與直線交點(diǎn)的位置，不需要說明理由.
20．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長線交于點(diǎn)K.
（1）求證：直線平面PQR；
（2）求證：點(diǎn)K在直線MN上.
21．（2021·安徽省臨泉第一中學(xué)高一期中）如圖所示，已知正方體中，分別為，的中點(diǎn)，，.求證：
（1）四點(diǎn)共面；
（2）若交平面于R點(diǎn)，則三點(diǎn)共線.
22．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中：
(1)求直線與的夾角；
(2)作出異面直線AC與所成的角；
(3)作出異面直線與所成的角，并求出該角的正切值．
位置關(guān)系
共面情況
有無公共點(diǎn)
相交
在同一平面內(nèi)
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
平行
在同一平面內(nèi)
沒有公共點(diǎn)
異面
不同在任何一個(gè)平面內(nèi)
沒有公共點(diǎn)
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線a在
平面α內(nèi)
有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
直線a與
平面α相交
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線a與
平面α平行
無公共點(diǎn)
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩平面
平行
無公共點(diǎn)
兩平面
相交
有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些點(diǎn)在一條直線上

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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