專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(七)　求銳角三角函數(shù)值的三種常用方法(練方法)
1. (2023山東泰安新泰月考,12,★★☆)如圖,在△ABC中,∠A=30°,E為AC上一點, 且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB于F,連結(jié)FC,則tan∠CFB的值為?(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. ?　　　　D. ?
解析　C　如圖,作CD⊥AB,垂足為D,則EF∥CD,?∵AE∶EC=3∶1,∴設(shè)EC=x,AE=3x,∵sin A=sin 30°=EF∶AE=1∶2,∴EF=?x,∵cs A=cs 30°=AF∶AE=?,∴AF=?x.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD,?=?=3,∴?=?=?,FD=?=?x,∴CD=?EF=2x,∴tan∠CFB=?=?.故選C.
2. [易錯題](2023云南文山丘北一模,16,★★☆)在Rt△ABC中,若AB=2AC,則cs B=　　　????.
3. (★☆☆)如圖,在正方形ABCD中,M是AD的中點,BE=3AE,試求sin∠ECM的 值.?解析　設(shè)AE=x,則BE=3AE=3x,∴AB=AE+BE=x+3x=4x,∵四邊形ABCD為正方 形,∴AB=BC=CD=AD=4x,∵M是AD的中點,∴AM=DM=2x,∴EC=?=5x,EM=?=?x,CM=?=2?x,∴EM2+CM2=CE2,
4. (★★☆)已知a,b,c是△ABC的三邊長,a,b,c滿足等式b2=(c +a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.解析　∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∵5b-4c=0,∴?=?,設(shè)b=4k,則c=5k,∴a=?=?=3k,∴sin A+sin B=?+?=?+?=?+?=?.
5. (2023江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)期中,5,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果 BD=9,DC=5,cs B=?,E為AC的中點,那么sin∠EDC的值為?(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. ?　　　　D. ?
解析　C　在Rt△ABD中,cs B=?=?,BD=9,∴AB=15,由勾股定理得AD=?=?=12,在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=?=?=13,∵E為AC的中點,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴sin∠EDC=sin C=?=?.故選C.
6. (★☆☆)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,若AD∶CD=4∶3,則 tan B=　　　????.? `
7. (2023內(nèi)蒙古烏蘭察布集寧模擬,18,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC= 8.若∠BPC=?∠BAC,則tan∠BPC=　　　????.?
?解析　如圖,過點A作AE⊥BC于點E,?∵AB=AC=5,∴BE=?BC=?×8=4,∠BAE=?∠BAC,∵∠BPC=?∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE=?=?=3,∴tan∠BPC=tan∠BAE=?=?.
8. (2023江蘇揚州邗江一模,17,★★☆)如圖所示的是由邊長均為1的小正方形組 成的網(wǎng)格,A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格的格點上,線段AB,CD相交于點E,則tan ∠DEB=　　　????.?
解析　如圖,過點D作DF∥AB,連結(jié)CF.?∵DF∥AB,∴∠DEB=∠FDC.∵DF=?=?=2?,CD=?=?=2 , CF=?=?=4?,(2?)2+(4?)2=(2?)2,∴DF2+CF2=CD2,∴∠DFC=90°.在Rt△CDF中,tan∠FDC=?=?=2,∴tan∠DEB=tan∠FDC=2.
9. (2023湖北黃岡浠水二模,13,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 的中點,連結(jié)CD,過點B作CD的垂線,交CD的延長線于點E.若AC=30,cs A=?,則cs∠DBE=　　　????.?
?解析　如圖,過點C作CF⊥AB,垂足為F,?在Rt△ABC中,AC=30,cs A=?,∴AB=?=?=50,∴BC=?=?=40,∵D是AB的中點,∴CD=?AB=25,∵△ABC的面積=?AB·CF=?AC·CB,∴AB·CF=AC·CB,∴50CF=30×40,∴CF=24,在Rt△CDF中,cs∠DCF= ?=?,∵BE⊥CE,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°,∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cs∠DBE=cs∠DCF=?.
10. (2023江蘇常州期末,16,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中 點,CE⊥AD,垂足為E,連結(jié)BE.若tan∠CAD=?,則sin∠BED=　　　????.?
?解析　∵CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°,∵∠CDE=∠ADC,∴△CDE∽△ADC,∴?=?,∴CD2=DE·AD,∵D是BC的中點,∴BD=CD,∴BD2=DE·AD,∴?=?,又∵∠ADB=∠BDE,∴△BDE∽△ADB,∴∠BED=∠ABC.∵tan∠CAD=?,∴?=?,∵D是BC的中點,∴CB=2CD,∴?=?,設(shè)AC=4x,則CB=3x,∴AB=?=5x,∴sin∠BED=sin∠ABC=?=?=?.
方法三　構(gòu)造直角三角形法
11. (2022山東濟寧泗水二模,9,★★☆)如圖,延長Rt△BAD的斜邊BD到點C,使 DC=?BD,連結(jié)AC,若tan∠ADB=?,則tan∠CAD的值為?(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. ?　　　　D. ?
解析　B　如圖,過點C作CE⊥AD,交AD的延長線于E,?在Rt△BAD中,tan∠ADB=?,∴?=?,∴可設(shè)AB=3a,AD=4a,則BD=?=?=5a,∵CE⊥AD,BA⊥AD,∴BA∥CE,∴△BAD∽△CED,∴?=?=?,∵DC=?BD,∴DE=?AD=2a,CE=?AB=?a,
∴AE=AD+DE=6a,∴tan∠CAD=?=?=?.故選B.
12. (2023浙江紹興嵊州期末,8,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6, AC=8,點D是AC上一點,且?=?,則sin∠DBC的值為?(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. ?　　　　D. ?
解析　B　如圖,過D作DE⊥BC,垂足為E,?∵?=?,∴AD=3CD,∵AC=AD+CD,∴8=3CD+CD,∴CD=2,∴AD=6,∵AB=6,∠BAC=90°,∴BD=?=6?.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC=?=10,∵sin C=?=?,∴?=?,∴DE=?,∴sin∠DBC=?=?=?.故選B.
13. (2022遼寧沈陽皇姑期中,15,★★☆)如圖所示的是由6個形狀、大小完全相 同的菱形組成的網(wǎng)格,菱形的頂點稱為格點,已知菱形的一個角(如∠O)為60°,點 A、B、C都在格點上,則sin∠ABC的值是　　　????.?
解析　如圖,連結(jié)EA,EC,?設(shè)組成網(wǎng)格的小菱形的邊長為a,由題意可得∠AEF=30°,∠CEF=60°,易得AE=2 cs 30°·a=?a,EC=a,∠AEC=90°,∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°,∴∠ECB=180°,∴E、C、B三點共線,在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AE=?a,BE=2CE=2a,∴AB=?=?a,∴sin∠ABC=?=?=?.
14. (2022上海浦東新區(qū)期中,21,★★☆)如圖,在△ABC中,CD是邊AB上的高,AE 是BC邊上的中線,已知AD=8,BD=4,cs∠ABC=?.(1)求CD的長.(2)求tan∠EAB的值.?

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