華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(六)“一線三等角”模型的兩種類型練課件

這是一份華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(六)“一線三等角”模型的兩種類型練課件，共18頁。
專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(六)　“一線三等角”模型的兩種類型(練模型)
類型一　同側(cè)型類型解讀 已知∠A=∠CPD=∠B,當點P在線段AB上時,易證:△ACP∽△BPD.?　?????　?????
1. (★☆☆)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=10,點E是AB的中點,連結(jié)DE,CE, 若∠A=∠B=∠DEC,則?的值為(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. ?　　　　D. ?
解析　C　∵∠A=∠DEC,∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠ADE,∴∠BEC=∠ADE,∵∠A=∠B,∴△DAE∽△EBC,∴?=?,∵AD=4,AB=10,點E是AB的中點,∴AE=BE=5,∴?=?=?.
2. (2023湖北武漢江岸月考,9,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8,點D是 BC邊上的一個動點,點E在AC上,點D在運動過程中始終保持∠1=∠B.當EA=ED 時,EC的長為(　????)?A. ?　　　　B. ?　　　　C. 3　　　　D. ?
解析　B　∵AB=AC,∠1=∠B,∴∠B=∠C=∠1,∵EA=ED,∴∠1=∠DAE,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC,∴?=?,∵AB=AC=6,BC=8,∴CD=?=?=?,∴BD=BC-CD=?,∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC,∴∠BAD=∠EDC,又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴?=?,∴CE=?=?=?.
3. (2023上海浦東新區(qū)期末,17,★★☆)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,E是 腰AB的中點,CE⊥DE,AD=5,BC=11,則DC=　　　????.?
解析　∵四邊形ABCD是直角梯形且AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,∵CE⊥DE,∴∠DEC=90°,∴∠AED+∠BEC=90°,又∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∴△ADE∽△BEC,∴?=?,∵E是AB的中點,∴AE=BE,∴AE2=AD·BC,又∵AD=5,BC=11,∴AE=BE=?,在Rt△ADE中,DE=?=4?,在Rt△BCE中,CE=?=4?,在Rt△DEC中,CD=?=16.
4. (2022浙江杭州濱江一模,16,★★☆)如圖,點E是矩形ABCD邊BC上一點,沿AE 折疊,點B恰好落在CD邊上的點F處.設(shè)?=x(x>1).(1)若點F恰為CD邊的中點,則x=　　????.(2)設(shè)?=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是　　　　　????.?
解析????(1)∵點F為CD邊的中點,∴DC=2DF.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠B=∠C=∠D=90°,∴∠FEC+∠EFC=90°,由折疊得BE=EF,AB=AF,∠B=∠AFE =90°,∴AF=AB=DC=2DF,∠EFC+∠AFD=90°,∴∠AFD=∠FEC,∴△AFD∽△FEC,∴?=?=2,∴?=2,∴x=2.(2)由(1)得AB=AF=DC=DF+CF,?=?,∴?=?,∴x=?,∴x=1+?,∴x=1+?,∴y=?.
5. (2023河南安陽殷都期末,23,★★☆)如圖,已知等腰△ABC,AC=BC=10 cm,AB =16 cm,∠MDN的頂點D在線段AB上移動(D與A,B不重合),邊DM始終經(jīng)過點C, DN與BC交于點E,且∠MDN=∠A.(1)求證:△ACD∽△BDE.(2)求BE最長時AD的長度.(3)在∠MDN移動過程中,求當△CDE為等腰三角形時AD的長度.?
類型二　異側(cè)型類型解讀已知∠MAC=∠CPD=∠ABD,點P在線段AB(或BA)的延長線上時,易證:△ACP∽△BPD.???????????
解析????(1)證明:∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠MDN+∠BDE,∠MDN=∠A,∴∠ACD=∠BDE,∴△ACD∽△BDE.(2)∵△ACD∽△BDE,∴?=?,設(shè)AD=x cm,則?=?,∴BE=?cm,∴x=8時,BE最長,即BE最長時AD的長度為8 cm.(3)當DC=DE時,∵△ACD∽△BDE,∴?=?=?=1,∴AC=BD=10 cm,∴AD=6 cm.
當CD=CE時,∠CDE=∠CED,∵∠CDE=∠A=∠B,∠CED=∠B+∠EDB,∴∠CDE與∠CED不可能相等;當CE=DE時,∠CDE=∠DCE,∵∠CDE=∠A=∠B,∴∠DCE=∠B,∴DC=DB,∵△ACD∽△BDE,∴?=?=?,∴?=?=?,∴BD=? cm,∴AD=? cm.綜上所述,當△CDE為等腰三角形時,AD的長度為6 cm或? cm.
6. (2023吉林長春東北師大附中月考,22,★★☆)已知等邊△ABC,P為直線AC上 一點,連結(jié)BP,作∠BPN=60°,交線段BC的延長線于點N.若CN=1.5,BC=2,求PA的 長.?解析　∵∠PBA=180°-∠PAB-∠BPA=60°-∠BPA,∠PBA=60°-∠CPN,∴∠BPA =∠CPN,∵∠PAB=180°-∠BAC=120°,∠PCN=180°-∠ACB=120°,∴△BAP∽△ PCN,∴?=?,∴PA·PC=AB·CN=3,即PA·(PA+AC)=PA·(PA+2)=3,解得PA=1或PA=-3(舍去),∴PA=1.
7. (2024四川眉山仁壽期末,21,★☆☆)如圖,已知正方形ABCD,M為BC上一點,F 是AM的中點,過F作AM的垂線,交DC于點N,交AD的延長線于點E.????(1)求證:△ABM∽△EFA.(2)若AB=12,BM=5,求AE的長.?