注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊占30%，必修第二冊占70%.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知向量，若，則（ ）
A.10 B. C. D.
2.已知集合，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3.函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是一條直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（ ）
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知，則（ ）
A. B. C. D.
6.小明在手工課上用硬紙板做了一個圓錐形容器，若該圓錐形容器的軸截面是邊長為分米的等邊三角形，忽略硬紙板的厚度，則該圓錐形容器的容積是（ ）
A.立方分米 B.立方分米
C.立方分米 D.立方分米
7.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將8瓶該種飲料裝一箱，其中有2瓶能夠中獎.現(xiàn)從一箱該飲料中隨機抽取2瓶，則下列兩個事件是互斥但不對立的是（ ）
A.“至少1瓶中獎”與“2瓶都中獎”
B.“至多1瓶中獎”與“2瓶都中獎”
C.“恰有1瓶中獎”與“2瓶都不中獎”
D.“恰有1瓶中獎”與“至多1瓶中獎”
8.已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.的實部是
B.
C.的共軛復(fù)數(shù)是
D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于在第一象限
10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B.
C.的圖象關(guān)于點對稱
D.不等式的解集是
11.有一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個正交的正四面體組合而成（如圖1），也可由正方體切割而成（如圖2）.在如圖2所示的“蒺藜形多面體”中，若，則（ ）
A.該幾何體的表面積為
B.該幾何體的體積為4
C.直線與直線所成的角為
D.二面角的余弦值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.生活質(zhì)量指數(shù)是用于衡量人們生活質(zhì)量水平的一種指標(biāo)體系.某機構(gòu)對某地進行生活質(zhì)量指數(shù)調(diào)查，得到該地15個地區(qū)的生活質(zhì)量指數(shù)為，則這15個地區(qū)的生活質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)是__________.
13.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為了測量兩地之間的距離，在同一水平面上選取地，測得在的東偏北方向上，且距離地3千米，測得在的北偏東方向上，且距離地2千米，則兩地之間的距離是__________千米.
14.已知是的重心，的面積是，則的最小值是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知某校初二年級有1200名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測試中，該年級所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)吭趦?nèi).現(xiàn)從該校初二年級的學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求的值；
（2）估計該校初二年級學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試的平均分（各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點值作代表）；
（3）記這次測試數(shù)學(xué)成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù).
16.（15分）
如圖，在四棱錐中，，四邊形是正方形，是的中點.
（1）證明：平面.
（2）證明：平面平面.
17.（15分）
已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的值域.
18.（17分）
2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過初次選撥后有甲?乙?丙三名同學(xué)成功進入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學(xué)同時解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學(xué)成功解出這道題的概率是，甲?丙兩名同學(xué)都解答錯誤的概率是，乙?丙兩名同學(xué)都成功解出的概率是，且這三名同學(xué)能否成功解出該題相互獨立.
（1）求乙?丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率；
（2）求這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率.
19.（17分）
是直線外一點，點在直線上（點與兩點均不重合），我們稱如下操作為“由點對施以視角運算”：若點在線段上，記；若點在線段外，記
（1）若在正方體的棱的延長線上，且，由對施以視角運算，求的值；
（2）若在正方體的棱上，且，由對施以視角運算，得到，求的值；
（3）若是邊的等分點，由對施以視角運算，證明：.
2024年春季期高一年級期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試題參考答案
1.A 由題意可得，解得.
2.C 由題意可得.因為，所以.
3.D 由題意可得解得或.
4.B 由，得；由，得或.
故“”是“”的充分不必要條件.
5.C 因為，所以，所以，則.
6.A 設(shè)該圓錐形容器的底面圓半徑為，高為，則分米，分米，則該圓錐形容器的容積是立方分米.
7.C “至少1瓶中獎”與“2瓶都中獎”可以同時發(fā)生，則“至少1瓶中獎”與“2瓶都中獎”不是互斥事件.“至多1瓶中獎”與“2瓶都中獎”是對立事件.“恰有1瓶中獎”與“2瓶都不中獎”是互斥但不對立事件.“恰有1瓶中獎”與“至多1瓶中獎”可以同時發(fā)生，則“恰有1瓶中獎”與“至多1瓶中獎”不是互斥事件.
8.C 當(dāng)是上的單調(diào)遞增函數(shù)時，解得當(dāng)是上的單調(diào)遞減函數(shù)時，解得.綜上，的取值范圍是.
9.BD 因為，所以的實部是在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于在第一象限.
10.BC 由圖可知，則.因為點在的圖象上，所以，所以，解得，因為，所以，則A錯誤.因為點在的圖象上，所以，解得，則B正確.因為，所以的圖象關(guān)于點
對稱，則C正確.由，即，即，得，解得，所以不等式的解集是，則D錯誤.
11.ABC 因為，所以.該幾何體的表面積為，A正確.該幾何體的體積為，B正確.
因為，所以直線與直線所成的角即直線與直線的夾角，其大小為.故直線與直線所成的角為，C正確.
設(shè)的中點為，連接（圖略），即為二面角的平面角.，D錯誤.
12.79 因為，則這15個地區(qū)的生活質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)是.
13. 由題意可得.在中，由余弦定理可得，則千米.
14. 如圖，取的中點，連接.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.因為是的重心，所以在線段上，且.因為的面積是，所以，解得.因為是的中點，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則.因為是的中點，所以，所以.
15.解：（1）由頻率分布直方圖可得，
解得.
（2）由題意，估計平均分分.
（3）由頻率分布直方圖可知這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為，
則該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.15，故估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為.
16.證明：（1）記，連接.
因為四邊形是正方形，所以是的中點.
因為是的中點，所以.
因為平面平面，所以平面.
（2）連接.
因為四邊形是正方形，所以是的中點.
因為，所以.
因為四邊形是正方形，所以.
因為平面，且，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
17.解：由題意可得
（1）令，
解得，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因為，所以.
當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為
當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為.
故在區(qū)間上的值域為.
18.解：設(shè)甲?乙?丙三名同學(xué)各自成功解出該道題分別為事件.
（1）因為，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙?丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率分別為和.
（2）設(shè)這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題為事件，
則
，
所以這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題的概率為.
19.（1）解：如圖1，
因為，所以.
由正方體的定義可知，則，
故
.
因為，所以，
則.
（2）解：如圖2，設(shè)，
則.
因為，
所以
則，解得，
故.
（3）證明：如圖3，
因為是的等分點，所以
.
在中，由正弦定理可得，
則.
在中，同理可得.
因為，所以，
則.
同理可得.
故.

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