注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：（必修第二冊(cè)）人教A版2019
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【解析】 因?yàn)閺?fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，
所以，故選：B.
2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【解析】 因?yàn)?，，?br>所以，則.故選：B
3．《2023年五一出游數(shù)據(jù)報(bào)告》顯示，濟(jì)南憑借超強(qiáng)周邊吸引力，榮登“五一”最強(qiáng)周邊游“吸金力”前十名榜單．其中，濟(jì)南天下第一泉風(fēng)景區(qū)接待游客100萬(wàn)人次，濟(jì)南動(dòng)物園接待游客30萬(wàn)人次，千佛山景區(qū)接待游客20萬(wàn)人次．現(xiàn)采用按比例分層抽樣的方法對(duì)三個(gè)景區(qū)的游客共抽取1500人進(jìn)行濟(jì)南旅游滿意度的調(diào)研，則濟(jì)南天下第一泉風(fēng)景區(qū)抽取游客（ ）
A．1000人B．300人C．200人D．100人
【答案】A
【解析】 依題意濟(jì)南天下第一泉風(fēng)景區(qū)應(yīng)抽取游客（人）.
故選：A
4．如圖，為平行四邊形對(duì)角線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 因?yàn)闉槠叫兴倪呅螌?duì)角線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，故選：C
5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】B
【解析】 對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B
6．如圖，某圓柱側(cè)面展開圖的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
v由斜二測(cè)畫法得，在原圖矩形ABCD中，，所以該圓柱的高為，底面半徑為，故該圓柱的體積為．故選：B
7．如圖，一架高空偵察飛機(jī)以的速度在海拔的高空沿水平方向飛行，在點(diǎn)處測(cè)得某山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過后在點(diǎn)處測(cè)得該山頂?shù)母┙菫椋酎c(diǎn)A，B，M在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，則該山頂?shù)暮０胃叨燃s為（ ）（，）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 依題意得，，
在中，米，，
由正弦定理得，得米，
又
所以該山頂?shù)暮０胃叨葹槊?
故選：B
8．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，事件“第一次向上一面的數(shù)字是2”，事件“第二次向上一面的數(shù)字是3”，事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，事件 “兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則（ ）
A．與相互獨(dú)立B．與相互獨(dú)立
C．與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立
【答案】D
【解析】 投擲這枚骰子兩次，共有個(gè)基本事件，
共個(gè)基本事件，則，
共個(gè)基本事件，則，
共個(gè)基本事件，則，
共個(gè)基本事件，則，
事件為不可能事件，則，
所以與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；
事件共個(gè)基本事件，則，
所以與不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；
事件共個(gè)基本事件，則，
所以與不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；
事件共個(gè)基本事件，則，
所以與相互獨(dú)立，故D正確.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：噸/公頃）數(shù)據(jù)為：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：噸/公頃）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（ ）
A．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)
B．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差
C．甲種樣本的分位數(shù)小于乙種樣本的分位數(shù)
D．甲乙兩種水稻近五年的總方差為
【答案】ACD
【解析】 對(duì)于A，，，正確；
對(duì)于B，因?yàn)榧?、乙平均值都為，所以?br>，
顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故甲種樣本的分位數(shù)為，
乙種樣本的分位數(shù)為，所以甲種樣本的分位數(shù)小于乙種樣本的分位數(shù)，正確；
對(duì)于D，甲乙兩種水稻近五年的總方差為0.072，
故甲乙兩種水稻近五年的總方差為
，
正確.
故選：ACD
10．在中，角的對(duì)邊分別為，為的外心，則（ ）
A．若有兩個(gè)解，則
B．的取值范圍為
C．的最大值為9
D．若為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】ABD
【解析】 對(duì)于A，由正弦定理，得，
有兩解的情形為，且，則，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理，得外接圓半徑，
由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，，
于是，故B正確；
對(duì)于C，法一：用投影向量求解：當(dāng)在上的投影向量的模最大，且與同向時(shí)，取得的最大值，此時(shí)，
設(shè)為的中點(diǎn)，則，
在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯(cuò)誤；

法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如下圖，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對(duì)圓心角為，
所以A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．

故選：ABD.
11．如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（ ）

A．B．平面平面
C．多面體為三棱臺(tái)D．直線與平面所成的角為
【答案】ABD
【解析】 對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，，平面，
所以平面，所以，A正確.
對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面?br>則平面，
又，平面，平面，
則平面，
又，平面，所以平面平面，B正確.
對(duì)于C，因?yàn)?，，則，
所以多面體不是三棱臺(tái)，C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，?br>所以平面，則為直線與平面所成的角.
因?yàn)?，所以?br>解得，，，
則，D正確.

故選：ABD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為 ．
【答案】
【解析】 ，同理，
，，
由向量夾角的范圍為，所以向量與的夾角為.
13．九宮格的起源可以追溯到遠(yuǎn)古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對(duì)應(yīng)著從1到9九個(gè)數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個(gè)數(shù)字的和（這個(gè)和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽(yáng)數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個(gè)頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機(jī)填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件”，則的值為 .
【答案】/
【解析】 由題意九宮格的中間位置填，位置填偶數(shù)，位置填奇數(shù)，
因?yàn)槊恳粰M行，每一豎列以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于，
所以、位置填或，
先從中任意選出一個(gè)數(shù)填入位置，則有個(gè)結(jié)果，
若填，
則填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含個(gè)結(jié)果；
所以總的結(jié)果個(gè)數(shù)為個(gè)
其中符合的情況有，，，，，共個(gè)，
所以.
14．已知正方體的棱長(zhǎng)均為2．以中點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】 取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，
由題意可得，，，
在平面內(nèi)取一點(diǎn)，使得，則，
且，所以以中點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線
是以為圓心，為半徑的圓弧，且，則，則圓弧的長(zhǎng)為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（本小題滿分13分）某地區(qū)對(duì)初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，將得分分成8組（滿分150分）：，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求第七組的頻率；
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地的500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(3)現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從的兩組中抽取5個(gè)人進(jìn)一步做調(diào)查問卷，再?gòu)倪@5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率．
【解】（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：
；
（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地500名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：
（分）；
（3）由頻率分步直方圖可知的頻數(shù)為的頻數(shù)為，所以兩組人數(shù)比值為，
按照分層抽樣抽取5人，則在分別抽取3人和2人，
記這組三人的編號(hào)為這組兩人的編號(hào)為，
故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：
設(shè)事件“從5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”
則，共6種情況．
故，
即從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為．
16．（本小題滿分15分）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，，且．
(1)求；
(2)若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長(zhǎng)．
【解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，且?br>所以，由正弦定理可得，因?yàn)椋?br>所以，又，所以.
（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，
又，，所以，
所以，在中
，
所以.
17．（本小題滿分15分）甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求第三局結(jié)束時(shí)甲獲勝的概率；
(2)求乙最終以分獲勝的概率．
【解】（1）設(shè)事件為“第三局結(jié)束甲獲勝”，
由題意知，甲每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．
若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．
故.
（2）由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，
設(shè)事件為“乙最終以分獲勝”．
若第二局結(jié)束乙獲勝，則乙兩局連勝，此時(shí)的概率．
若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．
此時(shí)的概率．
若第四局結(jié)束乙以分獲勝，則乙第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：
（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝），
（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝）．
此時(shí)的概率
故.
18．（本小題滿分17分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱交于點(diǎn)．

(1)請(qǐng)補(bǔ)全平面與棱柱的截面，并指出點(diǎn)的位置；
(2)求證：平面；
(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷三棱錐的體積是否為定值?若是，求出該定值及點(diǎn)到平面的距離；若不是，說明理由．
【解】（1）如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，

由為中點(diǎn)，則，又，
所以，所以四點(diǎn)共面，
故平面與棱柱的截面為．
（2）證明：因?yàn)樵谂c中，，
所以，又，
所以，
所以，
，且平面，
所以平面，
即平面；
（3）由（2）知平面，又平面，
所以，又，
所以，
又，且平面，
所以平面，
又，所以到平面的距離等于到平面的距離，
所以
，
所以三棱錐的體積為定值．
中，，
所以，
由，
可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
19．（本小題滿分17分）平面向量是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，它具有廣泛的工具性，平面向量的引入與運(yùn)用，大大拓展了數(shù)學(xué)分析和幾何學(xué)的領(lǐng)域，使得許多問題的求解和理解更加簡(jiǎn)單和直觀，在實(shí)際應(yīng)用中，平面向量在工程、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，平面向量可以方便地描述幾何問題，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，描述幾何變換，表述物體的運(yùn)動(dòng)和速度等，因此熟練掌握平面向量的性質(zhì)與運(yùn)用，對(duì)于提高數(shù)學(xué)和物理學(xué)的理解和能力，具有非常重要的意義，平面向量的大小可以由模來刻畫，其方向可以由以軸的非負(fù)半軸為始邊，所在射線為終邊的角來刻畫.設(shè)，則.另外，將向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后得到向量.如果將的坐標(biāo)寫成（其中，那么.根據(jù)以上材料，回答下面問題:
(1)若，求向量的坐標(biāo);
(2)用向量法證明余弦定理;
(3)如圖，點(diǎn)和分別為等腰直角和等腰直角的直角頂點(diǎn)，連接DE，求DE的中點(diǎn)坐標(biāo).
【解】（1），則，
.
（2）設(shè)，，
，
所以，
同理可得，
（3）設(shè)，又，則，
由，
，
，
得，
所以DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
5

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