（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：（必修第二冊(cè)）人教B版2019
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（ ）
A．1，1B．1，C．，D．，
【答案】A
【解析】，所以數(shù)的實(shí)部和虛部分別是1,1，故選A.
2．已知向量，，，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】由得，解得，故選B
3．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，作平面直角坐標(biāo)系，
使與重合，在軸上，且，在軸上，且，

過(guò)作∥，且，連接，則直角梯形為原平面圖形，
其面積為，故選C.
4．已知向量，則在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
因此在方向上的投影為，
故選：D．
5．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積×（弦×矢＋矢）．弧田如圖，由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓弧為，半徑為4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約為（ ）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

A．4平方米B．5平方米
C．8平方米D．9平方米
【答案】D
【解析】依題意，圓弧所對(duì)圓心角為，
所以，“矢”等于，“弦”等于，
所以弧田面積約為平方米.
故選：D
6．已知，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br>即，所以，
則，解得，故選：B
7．已知，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由方程，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以的可能取值為，，，，，，…，
因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，所以，
解得，即的取值范圍是.
故選：B.
8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，取的中點(diǎn)．
直三棱柱中，，，
四邊形是平行四邊形，有，
因?yàn)槿庵牡酌媸侵苯侨切?，，所以，?br>，分別是，的外接圓圓心．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>所以為的外接球的球心．
連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為1，即，
，則，，可得，，
所以三棱柱的表面積，
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)
D．若，則的最大值為
【答案】ABC
【解析】設(shè)，
則，
，
得，
，
所以，故A正確，
設(shè)對(duì)應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，
所以恒成立，所以B正確，
因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以為虛數(shù)，則也為虛數(shù)，故C正確；
設(shè)，由，則在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示以為圓心，1為半徑的圓，則，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．
D．若方程在上有且只有5個(gè)根，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由，得，即，又，
，故A正確；
對(duì)于C，又的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，
，即得，，又，，
所以，故C正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，而?br>故直線不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，
解得或，，
方程在上有5個(gè)根，從小到大依次為：，
而第7個(gè)根為，所以，故D正確.
故選：ACD.
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有（ ）

A．
B．
C．直線與平面所成角的最大值是
D．的最小值為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由正方體性質(zhì)，易得,,
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)與重合，則此時(shí)與夾角為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，如圖連接交于，

因?yàn)槠矫?，平面，所?
因?yàn)?平面,
所以平面，即平面，
所以為直線與平面所成角，所以.
所以當(dāng)最小時(shí)最大，即時(shí)，最小.
由，可得，
此時(shí)，故的最大值為，
直線與平面所成角的最大值是，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，將平面與平面沿翻折到同一個(gè)平面內(nèi)

由題意，，
從而，故為平行四邊形.
又，故為矩形.
從而當(dāng)為與交點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，故D正確.
故選:ACD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知命題：若為第一象限角，且，則.能說(shuō)明命題為假命題的一組的值可以是 ， .
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，且?br>取，則且在第一象限，
此時(shí)，
故命題為假命題，滿足題意，
所以的值可以是，
13．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，底面半徑為，高為，B是母線SA上一點(diǎn)，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路；當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，則公路上坡路段長(zhǎng)為 千米．
【答案】
【解析】由題意，半徑為，山高為，則母線,
底面圓周長(zhǎng)，所以展開(kāi)圖的圓心角，
如圖，是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合題意，,
由點(diǎn)S向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)S和線段上的點(diǎn)連線的最小值，
即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，
則，即，得
上坡路段長(zhǎng)度為.
14．如圖，這個(gè)優(yōu)美圖形由一個(gè)正方形和以各邊為直徑的四個(gè)半圓組成，若正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立坐標(biāo)系.
因，
而表示在方向上的投影向量的數(shù)量，
由圖不難發(fā)現(xiàn)，設(shè)過(guò)正方形的中心作與軸平行的直線與左右兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)，
則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，投影向量的數(shù)量最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，投影向量的數(shù)量最小.
易得，則的最大值為6，最小值為，
故.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（本小題滿分13分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且向量滿足.
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高.
【解】（1）因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，所以?br>又，解得；
（2）因?yàn)?，所以?br>即
化簡(jiǎn)得，解得或(舍去)，
由的面積，又，
故，解得.
16．（本小題滿分15分）已知向量，（，），，且的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式，并求在區(qū)間上的值域；
(2)若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求a的取值范圍．
【解】（1）由向量，
則，
由函數(shù)的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得的周期，則，
于是，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，
所以，在區(qū)間上的值域?yàn)?
（2）由（1）知，
令，解得，
即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
因此，即，
解得，顯然，且，
解得，則或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是等邊三角形，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).
(1)求證：平面;
(2)求證：平面平面;
【解】（1）取中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，
又，
則，因此四邊形為平行四邊形，
于是，
而平面，平面，
所以平面；
（2）過(guò)作于點(diǎn)，連接，
由，得≌，
則，即，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，是等邊三角形，
所以，
從而，
所以，
又因?yàn)?，平面，平面?br>則平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面.
18．（本小題滿分17分）位于大連森林動(dòng)物園的“大連浪漫之星”摩天輪享有“大連觀光新地標(biāo)，浪漫打卡新高度”的美稱.如圖，摩天輪的輪徑（直徑）為70米，座艙距離地面的最大高度可達(dá)80米，摩天輪的圓周上均勻地安裝著30個(gè)座艙，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要18分鐘.如圖，想要觀光的乘客需先從地面上樓梯至乘降點(diǎn)，在乘降點(diǎn)處進(jìn)入座艙后開(kāi)始觀光，再次回到乘降點(diǎn)時(shí)觀光結(jié)束.本題中座艙都被視為圓周上的點(diǎn)，每個(gè)座艙高度忽略不計(jì).
(1)甲乙兩名游客分別坐在兩個(gè)不同的座艙內(nèi)，他們之間間隔4個(gè)座艙，求劣弧的弧長(zhǎng)（單位：米）；
(2)設(shè)游客從乘降點(diǎn)處進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)分鐘后距離地面的高度為米，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；
(3)若游客在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺(jué)效果，請(qǐng)問(wèn)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周能有多長(zhǎng)時(shí)間使（1）中的甲，乙兩位游客都有最佳視覺(jué)效果.
【解】（1）依題意，摩天輪的圓周上均勻地安裝著30個(gè)座艙，則兩個(gè)相鄰座艙所對(duì)的圓心角為，
由甲?乙之間間隔4個(gè)座艙，得劣弧所對(duì)的圓心角為，弧長(zhǎng)，
所以劣弧的弧長(zhǎng)為米.
（2）以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以過(guò)的水平線和豎直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
不妨設(shè)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)分鐘后距離地面的高度，
依題意，，
則，，
由轉(zhuǎn)一周需要18分鐘，得周期，解得，
則，由，得，解得，
因此，
所以.
（3）由在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺(jué)效果，得，
即，則，即，解得，
則分鐘，于是有6分鐘的時(shí)間使游客甲有最佳視覺(jué)效果，
而劣弧所對(duì)的圓心角為，則甲乙相隔的時(shí)間，有，解得分鐘，
因此當(dāng)甲剛開(kāi)始有最佳視覺(jué)效果時(shí)，乙需3分鐘后才有視覺(jué)效果，
所以甲乙都有最佳視覺(jué)效果的時(shí)間為分鐘.
19．（本小題滿分17分）對(duì)于數(shù)集，其中，.定義向量集.若對(duì)于任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì).定義向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性質(zhì)，則稱為“向量伴隨數(shù)集”.
(1)已知數(shù)集，請(qǐng)你寫出數(shù)集對(duì)應(yīng)的向量集，并驗(yàn)證是否具有性質(zhì)；
(2)已知數(shù)集，請(qǐng)你寫出數(shù)集對(duì)應(yīng)的向量集，并驗(yàn)證是否具有性質(zhì)；
(3)若，且具有性質(zhì)，寫出的值（不需要寫出解析過(guò)程），并說(shuō)明是否為“向量伴隨數(shù)集”.
【解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>，
，
即對(duì)任意，存在，使得，所以具有性質(zhì).
（2）因?yàn)?，則

因?yàn)椋?br>，，
，，
即對(duì)任意，存在，使得，所以具有性質(zhì).
（3）因?yàn)?，設(shè)數(shù)集對(duì)應(yīng)的向量集，
則，
選?。ǎ?，則中與垂直的元素必有形式，
則，又，
當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，
所以，則，解得或（舍去），
所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)具有性質(zhì)；
此時(shí)，
則子集

若取，，由，故，
即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴隨數(shù)集”.

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