1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A. B. C. D.
1.【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，
所以.
故選：A
2．設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則（ ）
A. B. C. D. 3
2.【答案】B
【解析】若，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使，
，
∴，
∵與是兩個(gè)不共線向量，
∴，且，解得，
故選：B.
3．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．若，則（ ）
A. B. C. D.
3.【答案】D
【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>設(shè)，則，，
由余弦定理可得.
故選：D.
4．已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 若，且，則B. 若，，，則
C. 若，且，則D. 若，，，則
4.【答案】C
【解析】若，且，則與可能平行，可能相交，可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，，，則與可能平行，可能相交，可能異面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
兩條平行直線，其中一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直，C選項(xiàng)正確；
若，，，則與可能平行可能相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：C
5．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（ ）.
A. A與B對(duì)立B. A與B互斥
C. D. A與B相互獨(dú)立
5.【答案】D
【解析】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），
顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生，
所以，事件，事件既不互斥也不對(duì)立，故AB錯(cuò)誤.
又因?yàn)?，而，?br>所以，，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
6．如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，且圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（ ）

A. B. C. D.
6.【答案】B
【解析】根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖，

所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即，
分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，
因?yàn)?，則四邊形為矩形，且，
因?yàn)椋?，?br>所以，，所以，，且，
因?yàn)?，則，
所以，圓臺(tái)，圓錐的高均為，
所以，該工業(yè)部件的體積為
.
故選：B.
7．若，且，，則（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】C
【解析】因?yàn)?，則，則，
所以，
而，則，
所以.
故選：C
8．八卦是中國古代的基本哲學(xué)概念，八卦文化是中華文化的核心精髓，八卦圖與太極圖（圖1）的輪廓分別為正八邊形ABCDEFGH和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)，魚眼（黑白兩點(diǎn)）、是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若，圓的半徑為6，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，的最大值為（ ）

A. 39B. 48C. 57D. 60
8.【答案】A
【解析】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎诉呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角為，
所以，
所以，
又因?yàn)椋?
所以，，
由題意知，P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，且P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以設(shè)，則，
所以
，（），
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)為復(fù)數(shù)，且，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
9.【答案】BD
【解析】對(duì)于A，若，，則，此時(shí)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，又，，即，B正確；
對(duì)于C，若，則，若為虛數(shù)，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，，則，
，，
，
，
，D正確.
故選：BD.
10．已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，且該三角形有兩解，則
C. 若，則為等腰三角形
D. 若，則銳角三角形
10.【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以，由正弦定理，可知，故A正確；
如圖，

，，且該三角形有兩解，所以，即，
故B正確；
由正弦定理可得，，即，所以，因?yàn)?，所以或?br>即或，所以三角形為等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?br>，且，
所以，即為銳角，所以為銳角三角形，故D正確.
故選：ABD
11．已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 平面B. 球的表面積為
C. 的最小值為D. 與平面所成角的最大值為60°
11.【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，如圖1，
由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長線必交于一點(diǎn)，故共面，
又面面，而面面，面面，故，即；
由平面幾何易得，即；
所以四邊形是平行四邊形，故，
而面，面，故平面，故A正確；
.
對(duì)于B，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，則，
在等腰梯形中，易得，即，
為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，
即，即，又，
解得，即與重合，故，
故球的表面積為，故B錯(cuò)誤；
.
對(duì)于C，由圖2易得，，，面，
故面，
不妨設(shè)落在圖3處，過作，則面，故，
故在中，（勾股邊小于斜邊）；同理，，
所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；
再看圖4，由可知，
故，故C正確，
.
對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，面，面，故面面，
在面內(nèi)過作交于，如圖5，
則面，面面，故面，故為與平面所成角，
在中，，故當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，即取得最大值，
顯然，動(dòng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值，即取得最大值，且，
在中，，，，故為正三角形，即，即與平面所成角的最大值為，故D正確.
故選：ACD.
第二部分（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是______.
12.【答案】 5，,6
【解析】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，
則中位數(shù) ，眾數(shù)為，
由題意知，解得，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則這組數(shù)據(jù)的方差是，
因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；
故答案為：5，,6
13．中，角、、的對(duì)邊分別是、、，角的平分線交邊于點(diǎn)．若，，且，則中最長的邊為______
13.【答案】
【解析】因?yàn)?，由，即?br>整理可得，
由余弦定理可得，
所以，，即，解得或（舍）.
所以，，即，解得或，
因?yàn)椋手凶铋L的邊為，
故答案為：
14．在正四棱柱中，已知，，則點(diǎn)到平面的距離為______；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長度為______.
14.【答案】 ①. ②.
【解析】空1：由題意可得：，
因?yàn)槠矫?，平面，可得?br>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,
因?yàn)?，則，解得，
即點(diǎn)到平面的距離為；
空2：由題意可知：球A僅與平面、平面、平面和平面相交，
因?yàn)?，此時(shí)球A與平面的交線為半徑為2的圓的，
則交線的長度為；
設(shè)球A與棱的交點(diǎn)為，即，可得，
則，
且為銳角，則，即，
所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，
則交線的長度為；
同理可得：球A與平面的交線的長度；
可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，
則交線的長度為；
所以球面與該棱柱表面的交線的總長度為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
某商場(chǎng)為了制定合理的停車收費(fèi)政策，需要了解顧客的停車時(shí)長（單位：分鐘）.現(xiàn)隨機(jī)抽取了該商場(chǎng)到訪顧客的100輛車進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）若某天該商場(chǎng)到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該天停車時(shí)長在區(qū)間上的車輛數(shù)；
（2）為了吸引顧客，該商場(chǎng)準(zhǔn)備給停車時(shí)長較短的車輛提供免費(fèi)停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費(fèi)停車時(shí)長標(biāo)準(zhǔn)的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.
15.【答案】（1）50 （2）免費(fèi)停車時(shí)長為分鐘
【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設(shè)的頻率為，
可列等式為，
，
所以樣本中停車時(shí)長在區(qū)間上的頻率為，
估計(jì)該天停車時(shí)長在區(qū)間上的車輛數(shù)是50；
（2）設(shè)免費(fèi)停車時(shí)間長不超過分鐘，又因?yàn)榈念l率為，
并且的頻率為，所以位于之間，
則滿足，
，
確定免費(fèi)停車時(shí)長為分鐘.
（15分）
在中，角的對(duì)邊分別為．
（1）求；
（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．
16.【答案】（1） （2）
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理，得，
即，即.
因?yàn)樵谥?，?br>所以.
又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)榈拿娣e為，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化簡(jiǎn)得，所以，即，
所以的周長為.
17．（15分）
每年的月日為國際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競(jìng)賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競(jìng)賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競(jìng)賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競(jìng)賽中是否勝出互不影響.
（1）若，求甲恰好勝出一輪的概率；
（2）若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為.
（i）求，，的值；
（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.
17.【答案】（1） （2）（i），；（ii）
【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“甲在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“乙在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
“乙在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，
則，，，相互獨(dú)立，
且，，，.
設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件，
則，，互斥.
當(dāng)時(shí)，
.
所以當(dāng)，甲恰好勝出一輪的概率為.
（2）由（1）知，（i）記事件為“甲、乙各勝出一輪”，
事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，
所以，.
因?yàn)榧?、乙兩人在每輪?jìng)賽中是否勝出互不影響，
所以
，
，
則，解得或（舍去）.
綜上，，.
（ii）設(shè)事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，
于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，
且，，
所以，，
所以.
故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.
18．（17分）
如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
18.【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）如圖，由題意，是底面的直徑，，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，
則，而平面平面，
則，
又，平面，平面
平面，
又平面平面平面；
（2）在平面中，過作，垂足為，
在平面中，過作，垂足為，
連接，
∵平面平面，，
又，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面
則平面，可得為二面角的平面角．
由已知可得，，，
，，
，
又，得．
在中，，
∴．
即二面角的余弦值為．
（17分）
已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?點(diǎn)（其中?為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，求的值；
（2）如圖，設(shè)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，，其中，，，，求當(dāng)時(shí)，求的值（用含?的式子表示）
（3）若，，求的最小值
19.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因?yàn)?
而點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
所以，
所以，
所以.
（2）由題意得，
，
所以，
事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)，，且，
有，
，
所以
所以，
（3）當(dāng)時(shí)，線段上存在一點(diǎn)，
使得，，
且存在點(diǎn)，，
則，
，
所以，
即線段上存在一點(diǎn)，到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，
如圖所示：
作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，
則最小值為.

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