數(shù)學(xué)-2023年高考考前押題密卷（江蘇卷） 數(shù)學(xué)·全解全析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．設(shè)全集，，，則如圖所示的陰影部分所表示的集合是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得圖中陰影部分表示的集合是．∵，∴．又因為，∴．故選：C．2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B3．已知函數(shù)，圖像上每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．4．“”是“圓：與圓：有公切線”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.5．冬末春初，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱，某公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于，則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱．根據(jù)下列連續(xù)7天體溫高于人數(shù)的統(tǒng)計量，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（    ）①中位數(shù)是3，眾數(shù)為2；②均值小于1，中位數(shù)為1；③均值為3，眾數(shù)為4；④均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等知識確定正確答案.【解析】任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于的人數(shù)為2，2，2，3，3，4，6，則滿足中位數(shù)是3，眾數(shù)為2，但第7天是6人高于5人，故①錯誤；任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于的人數(shù)為0，1，2，4，4，4，6，則滿足均值是3，眾數(shù)為4，但第7天是6人高于5人，故③錯誤；對于②，將個數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，所以，由于是自然數(shù)，且，所以都不超過，②正確.對于④，將個數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，由于是自然數(shù)，若自然數(shù)大于，則，矛盾，所以都不超過，④正確.綜上所述，正確的為②④.故選:D 6．袋子中有大小相同的個白球和個紅球，從中任取個球，已知個球中有白球，則恰好拿到個紅球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求總的取球方法，再求恰好取到兩個紅球的方法，利用古典概率可得答案.【解析】因為取到的3個球中有白球，所以共有種方法，3個球中恰好有兩個紅球的取法共有種，設(shè)事件“取到的3個球中有白球，且恰好有2個紅球”，則.故選：A. 7．已知雙曲線的上、下焦點分別為，，過的直線交雙曲線上支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，．在中，由余弦定理得，即．在中，由余弦定理得，化簡得，因為，所以，所以，所以，∴雙曲線的離心率，故選：D．8．已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（    ）A．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 B．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增C．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 D．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增【答案】D【詳解】數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為，由題意，得，時，，有，，數(shù)列單調(diào)遞增，A選項錯誤；時，，，若數(shù)列單調(diào)遞增，則， 即，由，需要，故B選項錯誤；時，，解得，時，，由，若數(shù)列單調(diào)遞減，則， 即，而 不能滿足恒成立，C選項錯誤；時，，解得或，由AB選項的解析可知，數(shù)列單調(diào)遞增，D選項正確.故選：D  二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（    ）A．是偶函數(shù)B．若命題“，”是假命題，則C．設(shè)，，則“，且”是“”的必要不充分條件D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項；根據(jù)特稱命題的的真假判斷選項；根據(jù)必要不充分條件的判斷即可判斷選項；根據(jù)等式的性質(zhì)判斷選項.【解析】對于，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項正確；對于，若命題“，”是假命題，則恒成立，所以，解得，故選項正確；對于，若，且，則成立，反之不一定成立，例如：滿足，但是，故“，且”是“”充分不必要條件，故選錯誤；對于，若，則，當(dāng)時方程有解，所以，，故選項正確；故選：.  10．如圖，在平行四邊形中，，，，沿對角線將△折起到△的位置，使得平面平面，下列說法正確的有（    ）A．三棱錐四個面都是直角三角形 B．平面平面C．與所成角的余弦值為 D．點到平面的距離為【答案】ABD【分析】先根據(jù)勾股定理判斷，再由面面垂直得線線垂直，可判斷A、B，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可計算線線角判斷C，應(yīng)用向量法求點面距離可判斷D.【解析】△中，，，由余弦定理得，故，所以，因為平面平面，平面平面，面，所以平面，平面，則；同理平面，因為平面，所以平面平面，A、B正確；以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，，所以，即與所成角的余弦值為，C錯誤；由上知：，若為面的法向量，所以，令，則，而，則到平面的距離為，D正確.故選：ABD.11．設(shè)橢圓，，為橢圓上一點，，點關(guān)于軸對稱，直線分別與軸交于兩點，則（    ）A．的最大值為B．直線的斜率乘積為定值C．若軸上存在點，使得，則的坐標(biāo)為或D．直線過定點【答案】BCD【分析】利用兩點間距離公式表示出，結(jié)合可得關(guān)于的二次函數(shù)的形式，通過討論與二次函數(shù)對稱軸的位置關(guān)系，可求得的最大值，知A錯誤；利用斜率公式表示出，化簡可得定值，知B正確；假設(shè)存在，可得，求得橫坐標(biāo)后，代入化簡知C正確；表示出直線后，根據(jù)直線過定點的求法可知D正確.【解析】對于A，在橢圓上，，，，由題意知：，的對稱軸為，若，即時，，；當(dāng)，即時，，；綜上所述：A錯誤；對于B，關(guān)于軸對稱，，，，，B正確；對于C，假設(shè)存在點，使得，，則∽，；直線，直線，，，，即或，C正確；對于D，，，，直線，即，直線過定點，D正確.故選：BCD．【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用的問題，解題基本思路是能夠利用表示出所需的點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式、斜率公式、三角形相似關(guān)系等知識化簡所求量，從而確定選項的正誤.  12．已知，分別是定義在R上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，，，且是奇函數(shù)，則（    ）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．【答案】ABC【詳解】因為，所以（a為常數(shù)），所以．因為，所以．令，得，解得，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，故選項正確．因為，且，所以．所以，即是偶函數(shù)．因為是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，因為是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點對稱，則選項正確．因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，則是周期為4的函數(shù)．因為，所以，所以，，則．因為是奇函數(shù)，所以，所以，則選項正確．因為，所以，所以，，，，所以，所以，則選項錯誤．故選：.  三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在展開式中，含的項的系數(shù)是__________．【答案】20【詳解】的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故在展開式中，含的項的系數(shù)為20．故答案為：2014．如圖，無人機在離地面的高的A處，觀測到山頂M處的仰角為，山腳C處的俯角為，已知，則山的高度為___________.【答案】 m【分析】根據(jù)題中條件，先得到m，，在中，根據(jù)正弦定理，即可得出結(jié)果.【解析】在中，，由圖知，即，在中，由正弦定理得，∵，∴m，在中，.故答案為： m 15．已知函數(shù)的定義域，在上單調(diào)遞減，且對任意的，有，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【詳解】令，得，令，得，則，令，，得，所以是偶函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.原不等式可化為.因為，，且在上單調(diào)遞增，所以，即，即.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為： 16．三棱錐中，，，點E為CD中點，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．【答案】     ##     ##【詳解】設(shè)平面，垂足為，如圖，過作于點，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故答案為：，. 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)記 與 的面積分別記為和，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，，，，，............................4分∴  ；.......................................6分（2）設(shè)，，∴，∴，∴，① ， 當(dāng)且僅當(dāng)，時取最大值 ；綜上， ， 的最大值是 ......................10分 18.（12分）對于數(shù)列，，的前n項和，在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于此類“等差×等比數(shù)列”，也可以使用“裂項相消法”求解，以下是她的思考過程：①為什么可以裂項相消？是因為此數(shù)列的第n，n＋1項有一定關(guān)系，即第n項的后一部分與第n＋1項的前一部分和為零②不妨將，也轉(zhuǎn)化成第n，n＋1項有一定關(guān)系的數(shù)列，因為系數(shù)不確定，所以運用待定系數(shù)法可得，通過化簡左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對應(yīng)相等即可確定系數(shù)③將數(shù)列，表示成形式，然后運用“裂項相消法”即可！聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚了她的創(chuàng)新意識，但也同時強調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯位相減法”掌握．(1)請你幫助小周同學(xué)，用“錯位相減法”求的前n項和；(2)請你參考小周同學(xué)的思考過程，運用“裂項相消法”求的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為所以①則②.............................4分所以①-②得：所以；.............................................................................6分（2）因為，設(shè)，比較系數(shù)得：，得，所以，......................8分所以....12分19.（12分）某校組織羽毛球比賽，每場比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為.(1)在一場比賽中，求甲以3：1獲勝的概率；(2)設(shè)一場比賽的總局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】(1)甲以3：1獲勝的有3種情況，甲在第一、二局獲勝，或者第一、三局獲勝，或者第二、三局獲勝，將3種情況的概率計算出即可求解；(2)先求出隨機變量的可能取值，然后求出其相應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可.【解析】（1）令事件為甲在第i局獲勝，，2，3.甲連勝兩局的概率，所以.................................................2分故在一場比賽中，甲以3∶1獲勝的概率為：...............4分（2）X可能的值為3，4，5.，，，.......................................8分所以的分布列：X345 所以........................12分 20．（12分）如圖1，在梯形中，，，，，，線段的垂直平分線與交于點，與交于點，現(xiàn)將四邊形沿折起，使，分別到點，的位置，得到幾何體，如圖2所示．(1)判斷線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．【答案】(1)存在，點為線段的中點(2)．【詳解】（1）當(dāng)點為線段的中點時，平面平面．證明如下：由題易知，，，因為點為線段的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形，....................4所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．因為平面，平面，，所以平面平面．......................................................6分（2）因為，，所以，所以，又，，所以，，兩兩垂直．故以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，得，取，得．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．........................................10分設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，所以平面與平面所成角的正弦值為．.........................12分21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)如圖過拋物線的焦點F作斜率為的直線交拋物線于A，B兩點（點A在x軸下方），直線交橢圓于另一點Q.記，的面積分別記為，當(dāng)恰好平分時，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由橢圓離心率和經(jīng)過點可得答案；（2）設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，且A，F，B共線得，從而，，，可求出直線的斜率為.當(dāng)平分時，利用，求出，從而的值，由此直線，由于，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，再利用，可得答案.【解析】（1）由于橢圓的離心率為，則，所以，故設(shè)，由于橢圓經(jīng)過點，從而，故橢圓的方程為.由于點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，故，從而拋物線...........................................4分（2）由于，設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，由于，則，，由于，，且A，F，B共線得，故，從而，，從而，，.....................6分由于，則直線的斜率為，當(dāng)平分時，則，即，即即，從而或，從而或，由于，故，由此直線.由于，考慮到，從而，從而，聯(lián)立，即，從而，則，..................10分從而，由此，，從而，從而.................................................................12分22.（12分）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若恰有兩個不同的零點，，且，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況：若，若，討論的單調(diào)性，進而可得答案．（2）由（1）可知若有兩個不同的零點，則，且極大值，，即，當(dāng)時，又，且，兩式相減可得，不妨設(shè)，則且，，進而可得，要證，即證，即可得出答案．【詳解】（1）解：，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，下面判斷與的大小關(guān)系，令，則，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以當(dāng)且時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)且時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．..........4分（2）證明：由可知若有兩個不同的零點，則，且極大值，，由不等式可得，所以，所以當(dāng)時，恒成立，又，且，兩式相減可得，不妨設(shè)，則且，所以，即，所以，，設(shè)，，所以，即，所以，由可得，...........................10分要證，需要證，只要證，即，即，即證，由可證，所以即證．.....................12分【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是：由時，函數(shù)有兩個零點，由，且，兩式相減可得，設(shè)，，構(gòu)造，進而得到，將，轉(zhuǎn)化為證明而得解.  
 
 

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