探究1 (已知三個頂點位置)：點D是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，請找出點D，使得以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．(1)當(dāng)以AB為對角線時，AC＝________，AD＝________；在圖①中畫出所有滿足條件的點D的示意圖(保留作圖痕跡).
(1)滿足條件的點D1的如解圖①；
(2)當(dāng)以BC為對角線時，AB＝________，AC＝________；在圖①中畫出所有滿足條件的點D的示意圖(保留作圖痕跡).
(2)滿足條件的點D2的如解圖；
(3)當(dāng)以AC為對角線時，AB＝________，AD＝________；在圖①中畫出所有滿足條件的點D的示意圖(保留作圖痕跡).
(3)滿足條件的點D3的如解圖；
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
【作圖依據(jù)】_________________________________________
探究2(已知兩個頂點位置，其余兩點在函數(shù)圖象上)：點P是拋物線上一點，點Q是拋物線對稱軸上一點，請找出點P、Q，使得以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．
(1)當(dāng)以AC為邊時，四邊形APQC或四邊形AQPC是平行四邊形，此時AC＝________，AP＝________．在圖②中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡).
(1)滿足條件的點P如解圖；
(2)當(dāng)以AC為對角線時，四邊形APCQ是平行四邊形，此時AP＝________，AQ＝________；在圖②中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡).
(2)滿足條件的點P如解圖.
【方法總結(jié)】二次函數(shù)中平行四邊形的存在性一般要分情況討論：常以已知線段為_______或______討論；以探究1為例，已知AB為對角線時，作圖方法為：_______________________________，所找點即為__________________的交點；若已知AB為邊時，作圖方法為：__________________________________________________________________，所找點即為______________________的交點．
分別過點A、C作BC，AC的平行線
分別過點A、C作BC，AB的平行線，或分別過點B、C作AC、AB的平行線
(1)求拋物線的表達式;
【思維教練】點A、B、C為定點，要使以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，則需分當(dāng)AC為邊或?qū)蔷€時進行討論．
(2)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(2)存在，點P在坐標(biāo)為(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)；
【解法提示】如解圖①，當(dāng)AC為邊時，四邊形ABPC為平行四邊形，則CP＝AB＝4，此時點P的坐標(biāo)為(4，5)；四邊形APBC為平行四邊形，則AP＝BC，|xP|＝AO ＋OB ＝6，yp＝－yc＝－5，此時點P的坐標(biāo)為(－6，－5)；當(dāng)AC為對角線時，四邊形ABCP為平行四邊形，CP＝AB＝4，此時點P的坐標(biāo)為(－4，5)．綜上可知，點P的坐標(biāo)為(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)．
【思維教練】由GH∥x軸，AB在x軸上．可知AB∥GH，從而只需GH＝AB即可得到以A、B、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形．
(3)設(shè)點 G是拋物線上一點，過點 G作 GH∥x軸交對稱軸 l于點 H，是否存在點 G，使得以 A、B、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點 G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
當(dāng)g＝1時，g2＋6g＋5＝12，此時點G的坐標(biāo)為G1(1，12)；當(dāng)g＝－7時，g2＋6g＋5＝12，此時點G的坐標(biāo)為G2(－7，12)．綜上所述，滿足條件的點G的坐標(biāo)為(1，12)或(－7，12)；
(4)設(shè)點 K是拋物線上一點，過 K作 KJ∥y軸，交直線 AC于點 J，是否存在點 K，使得以 M、E、K、J為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點 K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
【思維教練】根據(jù)點K、J分別為拋物線和直線AC上的點，設(shè)出點K、J坐標(biāo)，由KJ∥ME，從而只需KJ＝ME即可得到平行四邊形，再根據(jù)K、J點坐標(biāo)及其相對位置，求出點K坐標(biāo)．
(4)存在；如解圖③，設(shè)點K的坐標(biāo)為(e，e2＋6e＋5)，
∵KJ∥y軸，交直線AC于點J，易得直線AC的解析式為y＝x＋5，∴設(shè)點J的坐標(biāo)為(e，e＋5)，∵M(－3，－4)，E(－3，2)，∴ME＝6，∵ME∥y軸，KJ∥y軸，∴KJ∥ME，∴要使得以M、E、K、J為頂點的四邊形為平行四邊形，則KJ＝ME＝6，
①當(dāng)點K在點J的下方時，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，則－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3(舍去)，則K1(－2，－3)；②當(dāng)點K在點J的上方時，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，則e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，則K2(－6，5)，K3(1，12)，綜上所述，滿足條件的點K的坐標(biāo)為(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)；
(5)設(shè)點 N是拋物線上一點，點Q是x軸上一點，是否存在點N，使得以A、E、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思維教練】由AE為定邊，可分AE為平行四邊形一邊及AE為平行四邊形對角線兩種情況分別確定點N.
①如解圖④，當(dāng)AE為平行四邊形的一條邊時，QN∥AE，且NQ＝AE，則∠NQT＝∠EAD，∵NT⊥x軸，ED⊥x軸，∴∠NTQ＝∠EDA＝90°，∴△QNT≌△AED，又∵AC，DM相交于點E，∴E(－3，2)，∴NT＝ED＝2，
(5)存在；過點N作NT⊥x軸，交x軸于點T，
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ x2＋bx＋c經(jīng)過點A(－4，0)，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2，6)．
(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；
(2)求直線AB的函數(shù)解析式及sin∠ABO的值；
(2)∵A(－4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，
(3)連接OC，若過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1∶2的兩部分，請求出點P的坐標(biāo)；
(3)過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1∶2的兩部分，過P作PQ⊥x軸于點Q，過點C作CH⊥x軸于點H，分兩種情況：
①當(dāng)S△AOP∶S△COP＝1∶2時，如解圖①∵S△AOP∶S△COP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝1∶3，∴PQ∶CH＝1∶3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，∴x＝－2，∴P(－2，2)；
∵S△COP∶S△AOP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝2∶3，∴PQ∶CH＝2∶3，
②當(dāng)S△COP∶S△AOP＝1∶2時，如解圖，過點C作CH⊥x軸于點H.
∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，∴x＝0，∴P(0，4)；綜上所述，過點O的直線交線段AC于點P，將三角形AOC的面積分成1∶2的兩部分，則點P坐標(biāo)為(－2，2)或(0，4)；
(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解法提示】設(shè)N(m，n)，分三種情況：
①以AN、CO為對角線，此時AN中點與CO中點重合，∵A(－4，0)，O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中點為( ， )，OC中點為( ， )，∴ 解得∴N(6，6)，
解得∴N(－2，6)，
②以AC、NO為對角線，此時AC中點與NO中點重合，同理可得：
③以AO、CN為對角線，此時AO中點與CN中點重合，同理可得： 解得∴N(－6，－6)，綜上所述，存在點H，使得以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的坐標(biāo)為(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
(4)存在；以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標(biāo)為(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
2. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C連接AC.其中OC＝OB，tan∠CAO＝3.(1)求拋物線的解析式；
解：(1)∵拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋3，令x＝0得y＝3，∴點C坐標(biāo)為(0，3)，∵OC＝OB＝3，∴點B坐標(biāo)為(3，0)，
(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，點Q為線段PB的中點，求△CPQ面積的最大時P點坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿射線CB方向平移 個單位得新拋物線y′，點M為新拋物線y′的頂點，點D為新拋物線y′上任意一點，點N為x軸上一點．當(dāng)以M、N、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．
∵ ， ,∴xN＝7，或 ，∴xN＝5，∴點N坐標(biāo)為(7，0)或(5，0)，或 ， ，得yD＝－1，
3. 如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖象與x軸交于點A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點C，P為線段AB上一動點，將射線PB繞P點逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后與二次函數(shù)圖象交于點Q.(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的表達式；
(2)當(dāng)點P在二次函數(shù)對稱軸上時，求此時PQ的長；
(2)如解圖①，過點Q作QE⊥x軸于點E，作直線y＝x＋1交y軸于點F，
則F(0，1)，且該直線過點A(－1，0)，∵OA＝OF，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，∴PQ∥AF，設(shè)直線PQ的解析式為直線y＝x＋c，
(3)求線段PQ的最大值；
(4)二次函數(shù)對稱軸上是否存在點D，使P、Q、B、D四點能構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
如解圖④，PQ為以P，Q，B，D四點為頂點的四邊形的對角線時，DQ∥PB，DQ＝PB.設(shè)P(r，0)(－1≤r≤4)，設(shè)直線PQ的解析式為y＝x＋d，則r＋d＝0，即d＝－r，∴直線PQ的解析式為y＝x－r，由 ，解得 或 (不符合題意，舍去)，∴Q( )，
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，∴Rt△PDG≌Rt△BQE，∴PG＝BE，∴ ，解得r1＝ ，r2＝ (不符合題意，舍去)，∴y＝ ＝ ，

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