探究1：在拋物線對稱軸上找一點P使得△ACP為等腰三角形．
(1)若AC為等腰三角形的底邊時，AP＝PC；在圖①中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡)；
(2)若AC為等腰三角形的腰時，AC＝________或AC＝________；在圖②中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡)；
探究2：在拋物線上找一點E使得△BCE為等腰三角形．在圖③中畫出所有滿足條件的點E的示意圖(保留作圖痕跡).
【作圖依據(jù)】______________________________________________
線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．
【方法總結(jié)】等腰三角形的存在性一般要分情況討論：常以已知邊為______或______討論；以探究1為例，已知邊AC為底時，可以作已知邊的______________________，所找點即為＿＿＿＿______________的交點；若已知邊AC為腰時，作圖方法為：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找點即為____________________
三點共線時，不能構(gòu)成三角形，須忽略．
【思考】若動點在y軸上、x軸上時，確定動點位置有什么不同呢？
例2 如圖①，已知拋物線y＝－ x2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C，頂點為M，對稱軸與x軸交于點N.
(1)求拋物線的表達式及頂點M的坐標；
(2)如圖②，點P是拋物線上一點，當△PCO是以O(shè)C為底邊的等腰三角形時，請直接寫出點P的橫坐標；
【思維教練】由于點P在拋物線上，△PCO是以O(shè)C為底邊的等腰三角形，所以點P在OC的垂直平分線與拋物線的交點上．
【解法提示】如解圖①，作CO的垂直平分線交拋物線于點P和點P′，交CO于點D.連接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以O(shè)C為底的等腰三角形．
(3)如圖③，點E是x軸上一點，當△ACE是等腰三角形時，請直接寫出點E的坐標；
【思維教練】由于△ACE是等腰三角形，可分AC為底邊，AC為腰兩種情況分類討論．
(4)如圖④，對稱軸MN上一點是否存在點G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，請直接寫出點G的縱坐標；若不存在，請說明理由；
【思維教練】未明確說等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．
【解法提示】∵點G在對稱軸上，∴設(shè)點G的坐標為(1，m)，∵點C(0，2)，B(3，0)，∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，當△CGB是等腰三角形時，可分以下三種情況：
(5)如圖⑤，點D的坐標為(4，0)，動點Q從點A開始沿AC方向以每秒 個單位長度的速度運動，動點P從點C開始，沿CD方向以每秒 個單位長度的速度運動，當點Q到達終點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t，當△NPQ是等腰三角形時，請直接寫出t的值．
【思維教練】根據(jù)題意用含t的式子表示出QN，PQ，PN，由于不確定△NPQ的底和腰．所以分下列三種情況討論：①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．
如解圖②，過點Q作QG⊥x軸于點G，過點P作PH⊥x軸于點H，
1.(2023撫順新?lián)釁^(qū)一模)如圖，直線y＝－ x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，P為x軸上的動點，P與A，O不重合，PC∥OB交拋物線于C，交直線AB于D，連接BC.
(1)求拋物線的解析式；
(2)當∠BCD＝45°時，求點P的坐標；
(3)當△BCD為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．
①如解圖①，當BC＝BD時，過點B作BE⊥CD交CD于點E，
∴ m＝m2－4m，
2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－x＋c(a≠0)與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC.
(1)求該拋物線與直線AC的解析式；
(2)若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE.求△ACE面積的最大值及此時點E的坐標；
(2)如解圖①，作EG⊥x軸交直線AC于點G，作EH⊥AD于點H.
(3)將原拋物線沿射線AD方向平移2 個單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新拋物線與原拋物線交于點F，在直線AD上是否存在點P，使以點P、D、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3.如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c與x軸交于A，B(4，0)兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，4)，直線BC經(jīng)過B，C兩點，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接PB，PC.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)設(shè)點P的橫坐標為n，四邊形OBPC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
(2)如解圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F.
(3)在(2)的條件下，當S取最大值時，在PC的垂直平分線上是否存在一點M，使△BPM是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，∴PC∥x軸，PC＝2，∴PC的垂直平分線⊥x軸且為直線x＝1，∴點M的橫坐標為1，∴可設(shè)點M的坐標為(1，y)．
又∵B(4，0)，P(2，4)，∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y(tǒng)2－8y＋17，MB2＝(1－4)2＋y2＝y(tǒng)2＋9，PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.當△BPM是等腰三角形時，如解圖②，可分三種情況進行討論：①當PM＝MB，即PM2＝MB2時，y2－8y＋17＝y(tǒng)2＋9，解得y1＝1，∴此時點M的坐標為(1，1)；
4. 如圖，拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于A點，其中A、B、C三點構(gòu)成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝4 .
(1)求經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式；
(2)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，設(shè)所得△PAC的面積為S，求S等于多少時，相應(yīng)的點P有且只有2個？
如解圖①，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q，連接PC、PA.
∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，－2≤m＜0中m有一個值，此時有三個；當16＜S＜20時，－2≤m＜0中m只有一個值；當S＝16時，m＝4或m＝4－4 這兩個．故當S＝16時，相應(yīng)的點P有且只有兩個；
(3)在直線AC上是否存在一點Q，使△QBC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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