例1 如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交于點C.點P是拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為點H，交直線BC于點E.
(1)求拋物線的解析式；
(1)將A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得 解得 ∴拋物線解析式為y＝－x2＋6x－5 ；
(2)如圖②，設(shè)點M是拋物線對稱軸上一點，點N是平面內(nèi)一點，是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
【思維教練】要求使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是矩形的點M的坐標(biāo)，已知點M是拋物線對稱軸上一點，設(shè)點M的坐標(biāo)，分別求出BC，BM，CM的長，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)分別討論∠CBM，∠BCM，∠CMB為直角的情況，利用勾股定理列方程求解．
(2)存在．易得拋物線對稱軸為直線x＝3，∵點M是對稱軸上一點，設(shè)點M的坐標(biāo)為(3，m), 易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2，①如解圖①，連接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34,
若∠CBM＝90°， 則BC2＋BM2＝CM2, 即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34, 解得m＝2, 此時點M的坐標(biāo)為(3，2);
②如解圖②， 若∠BCM＝90°. 則BC2＋CM2＝BM2, 即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2, 解得m＝－8, 此時點M的坐標(biāo)為(3，－8);
③如解圖③④，若∠BMC＝90°. 則BM2＋CM2＝BC2, 即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50, 解得m＝1或m＝－6，此時點M的坐標(biāo)為(3，1)或(3，－6). 綜上所述，滿足條件的點M坐標(biāo)為(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)；
(3)如圖③，點Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，當(dāng)以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形時，請求出此時點Q的坐標(biāo)．
【思維教練】設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，－x2＋6x－5)，則點E的坐標(biāo)為(x，x－5)，共分為四種情況討論：①當(dāng)PH＝HE，QH＝HB時，四邊形PQEB是菱形；②當(dāng)點P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形；③當(dāng)點P與點A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB時，四邊形PEQB是菱形；④當(dāng)點P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．
如解圖⑤ ∵PE⊥QB，∴當(dāng)PH＝HE，QH＝HB時，四邊形PQEB是菱形．此時yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)，解得x1＝2，x2＝5(不合題意，舍去)，∴QH＝HB＝3，∴點Q的坐標(biāo)為(－1，0)；
如解圖⑥，當(dāng)點P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形． ∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝ BH＝ (5－x)，∴－x2＋5x＝ (5－x)，解得x1＝5(不合題意，舍去)，x2＝ .當(dāng)x＝ 時，BQ＝PE＝ ，∴點Q的坐標(biāo)為(5， )；
如解圖⑦，當(dāng)點P與點A重合時，PB＝PE. ∴當(dāng)PB＝PE＝EQ＝QB時，四邊形PEQB是菱形．易得Q的坐標(biāo)為(5，－4)；
如解圖⑧，當(dāng)點P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形． ∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x，BE＝ BH＝ (5－x)，∴x2－5x＝ (5－x)，解得x1＝5(不合題意，舍去)，x2＝－ .當(dāng)x＝－ 時，QB＝PE＝ ，∴點Q的坐標(biāo)為(5， )．
綜上所述，存在點Q，使得以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形．此時點Q的坐標(biāo)為(－1，0)，(5， )，(5，－4)或(5， )．
(4)如圖④，點M是拋物線的頂點，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P、Q(點P在點Q左側(cè))，使得以B，M，P，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【思維教練】由BM為定邊，可分以BM為正方形的邊或以BM為正方形的對角線來確定點P.
【解法提示】當(dāng)MB為正方形的邊時，①當(dāng)點P在點M的左側(cè)時，如解圖⑨，∵點M為拋物線的頂點，∴M點坐標(biāo)為(3，4)，∵B(5，0)，∴BM＝ ，∴BM＝PM＝ ，設(shè)P1(m，n)，過點P1作P1N1⊥x軸于點N1，
②當(dāng)點P在點M右側(cè)時，如解圖⑨，∵點P2與點P1關(guān)于直線BM對稱，∴P2(3×2＋1，4×2－2)，即P2(7，6)；當(dāng)MB為正方形的對角線時，∵點P在點Q左側(cè)，∴點P只能在點M的左側(cè)，如解圖⑨，∵BM＝ ，∴P3B＝PM＝ ，
設(shè)P3(m，n)，∴P3B＝ ，P3M＝ ，解得m＝2n，∵點P3與點Q3關(guān)于直線MB對稱，∴Q3(5＋n，5－m)， ，∴3n＝3，n＝1，∴m＝2n＝2，∴P3(2，1)，綜上所述，存在點P，使得以B，M，P，Q為頂點的四邊形為正方形，此時點P的坐標(biāo)為(－1，2)，(7，6)，(2，1)．
1. (2023撫本鐵遼葫定心卷)如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c(a≠0)交 x軸于點A(4，0)、B，交 y軸于點C(0，4)．(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖①，點E是OA的中點，點D是線段BE上一點(不與點B、E重合)，過點D作x軸的垂線，交直線CE于點M，交拋物線于點N，若直線MN到y(tǒng)軸的距離為 ，求點M與點N之間的距離；
將x＝ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .∴M( ，1)，N( )，∴MN＝ ；當(dāng)D(－ ，0)時，點M、N的橫坐標(biāo)為－ ，將x＝－ 代入y＝－2x＋4中，得y＝7，將x＝－ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .
∴M(－ ，7)，N(－ ， )，∴MN＝7－ ＝ .∴點M與點N之間的距離為 或 ；
(3)如圖②，點F在拋物線的對稱軸上且在x軸上方，點G在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以點B、C、F、G為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點F的坐標(biāo)．
要使以點B、C、F、G為頂點的四邊形為菱形，分兩種情況討論，當(dāng)BC為菱形的邊時，①當(dāng)BC＝BF時，即20＝9＋m2 ，解得m1＝ ，m2＝－ (不符合題意，舍去)，∴點F的坐標(biāo)為(1， )；②當(dāng)BC＝CF時，即20＝1＋(m－4)2，解得m3＝4＋ ，m4＝4－ (不符合題意，舍去)，∴點F的坐標(biāo)為(1，4＋ )；
當(dāng)BC為菱形的對角線時，則點F在線段BC的垂直平分線上．∴BF＝CF，即9＋m2＝1＋(m－4)2，解得m＝1.∴點F的坐標(biāo)為(1，1)，綜上所述，點F的坐標(biāo)為(1， )或(1，4＋ )或(1，1)．
2. 如圖，已知拋物線y＝ax2－2ax＋b與x軸交于點A(－2，0)和點B，與y軸交于點C(0，4)．(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是第四象限拋物線上一點，連接AC、AP，當(dāng)∠PAB＝2∠ACO時，求點P的坐標(biāo)；
(2)如解圖，在OB上取一點R，使OR＝OA＝2，連接CR，
則∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，過點A作AK⊥CR于點K，設(shè)直線AP交y軸于點H，
∵A(－2，0)，C(0，4)，∴AR＝4，OC＝4，AC＝CR＝ ∴S△ACR＝ AR·OC＝ CR·AK，即 ×4×4＝ 解得AK＝ ，∴CK＝ ，∴tan∠ACK＝
∵∠PAB＝2∠ACO＝∠ACK，∴tan∠ACK＝tan∠PAB.在Rt△AOH中，OH＝OA·tan∠PAB＝ .∴H(0， )．由點A、H的坐標(biāo)得直線AP的解析式為y＝ .聯(lián)立 解得 或 (舍去)， ∴點P的坐標(biāo)為( )；
(3)點M是拋物線的對稱軸上一動點，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
當(dāng)以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形時，需分以BC為邊和BC為對角線兩種情況討論．①當(dāng)BC為邊時，以M、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形，則分以MC為斜邊和以MB為斜邊，當(dāng)以MC為斜邊時，BC2＋BM2＝CM2，即32＋9＋m2＝m2－8m＋17，解得m＝－3，∴點M的坐標(biāo)為(1，－3)．由xC＋xM＝xB＋xN，得xN＝－3，同理可得yN＝1，∴點N的坐標(biāo)為(－3，1)；
當(dāng)以MB為斜邊時，BC2＋CM2＝BM2，即32＋m2－8m＋17＝m2＋9，解得m＝5，∴M(1，5)．由xB＋xM＝xC＋xN，得xN＝5，同理可得yN＝1，∴點N的坐標(biāo)為(5，1)；②當(dāng)以BC為對角線時，以M、B、C為頂點的三角形是以BC為斜邊的直角三角形，則BM2＋CM2＝BC2，即9＋m2＋m2－8m＋17＝32，解得m1＝2＋ ，m2＝2－ ，∴點M的坐標(biāo)為(1，2＋ )或(1，2－ )，
由xB＋xC＝xM＋xN，得xN＝3，同理可得yN＝2－ 或2＋ ，∴點N的坐標(biāo)為(3，2－ )或(3，2＋ )．綜上所述，存在點N使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形，滿足條件的點N的坐標(biāo)為(－3，1)或(5，1)或(3，2－ )或(3，2＋ )．
3. 直線y＝－x＋3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點A，B，與x軸的另一個交點為C.(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖①，點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DE∥y軸交AB于點E，DF⊥AB于點F，F(xiàn)G⊥x軸于點G，當(dāng)DE＝FG時，求點D的坐標(biāo)；
由(1)可知拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，直線AB的解析式為y＝－x＋3，設(shè)D(m，－m2＋2m＋3)，∵DE∥y軸，∴E(m，－m＋3)，∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，ME＝－m＋3，
(2)如解圖，延長DE交x軸于點M，則DM⊥x軸
∵B(0，3)，A(3，0)∴OB＝OA＝3，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵DM⊥x軸，DF⊥AB，∴∠DEF＝∠AEM＝45°，∴DE＝ EF，AF＝ FG，∵DE＝FG，∴AF＝2EF，∴AE＝EF，∵FG⊥x軸，∴FG∥ME，∴ ∴FG＝2ME，∴DE＝2ME，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，∴m＝2或m＝3(舍去)，∴D(2，3)；
(3)如圖②，在(2)的條件下，直線CD與AB相交于點M，點H在拋物線上，過點H作HK∥y軸，交直線CD于點K.P是平面內(nèi)一點，當(dāng)以點M，H，K，P為頂點的四邊形是正方形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
聯(lián)立直線CD與直線AB的解析式得 解得 ∴點M的坐標(biāo)為(1，2)．①當(dāng)MK為正方形邊時，則MH⊥MK時，H點在AB上，K點在CD上．∵H點在拋物線上，∴H(3，0)或H(0，3)；當(dāng)H(3，0)時，MH＝ ，∴KH＝4，∴K(3，4)∴HK的中點為(3，2)，則MP的中點為(3，2)；∴P(5，2)；
當(dāng)H(0，3)時，MH＝ ，∴KH＝2，∴K(0，1)，∴HK的中點為(0，2)，則M的中點為(0，2)∴P(－1，2)；②當(dāng)MK為正方形的對角線時，如解圖②，則MH⊥HK，PM∥KH，∵HK∥y軸， ∴PM∥y軸，MH⊥y軸，∴∠PMK＝∠OBA＝45°，MH∥x軸，∴點H的縱坐標(biāo)為2，∴－x2＋2x＋3＝2，解得x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1，即點H的橫坐標(biāo)為為 ＋1或－ ＋1，∴MH＝ ，

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