知識點1 命題及相關概念
知識點2 充分條件與必要條件
注意：（1）充分、必要條件的判斷討論的是“若，則”形式的命題．若不是，則首先將命題改寫成“若，則”的形式．
（2）不能將“若，則”與“”混為一談，只有“若，則”為真命題時，才有“”．
知識點3 充要條件
如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均是真命題，即既有，又有，記作.此時既是的充分條件，也是的必要條件．我們說是的充分必要條件，簡稱為充要條件．
如果是的充要條件，那么也是的充要條件，即如果，那么與互為充要條件．
注意：（1）從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件
①若，則稱是的充分條件，是的必要條件．
②若，則是的充要條件．
③若，且，則稱是的充分不必要條件．
④若，且，則稱是的必要不充分條件．
⑤若，且，則稱是的既不充分也不必要條件．
（2）“”的傳遞性
若是的充要條件，是的充要條件，即，，則有，即是的充要條件．
題型一命題的概念及真假
1．下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形以及菱形的性質即可判斷①②，根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷③，根據(jù)三角形全等的判斷即可判斷④，根據(jù)集合的關系即可判斷⑤.
【詳解】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;
對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，
對于③，方程的判別式為，故正確，
對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，
對于⑤，,故正確;
故選：C．
2．將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷真假．
(1)當a＞b時，有ac2＞bc2；
(2)實數(shù)的平方是非負實數(shù)；
(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除．
【答案】(1)若a＞b，則ac2＞bc2，是假命題
(2)若一個數(shù)是實數(shù)，則它的平方是非負實數(shù)，是真命題
(3)若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除，是真命題
【分析】（1）可以舉反例證明；
（2）實數(shù)的平方必為非負數(shù)；
（3）由，即可判斷.
【詳解】（1）若a＞b，則ac2＞bc2，當，則該命題不成立，故為假命題；
（2）若，則，該命題為真命題；
（3）若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除，
若一個數(shù)能被6整除，即6為該數(shù)的一個因數(shù)，由，
則也為該數(shù)的因數(shù)，故該命題正確.
3．(多選)下列語句是命題的是（ ）
A．3是15的約數(shù)B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2D．你準備考北京大學嗎?
【答案】ABC
【分析】根據(jù)命題的定義逐個判斷即可.
【詳解】對于A，3能整除15，為真，所以A是命題；
對于B，，為真，所以B是命題；
對于C，，所以“4不小于2”為真，所以C是命題；
對于D，“你準備考北京大學嗎?”是疑問句不是陳述句，且無法判斷真假，所以D不是命題.
故選：ABC.
4．下列語句中是命題的有________；是真命題的有________（填序號）.
①這里真熱鬧?。、谇笞C是無理數(shù)；③一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；④并非所有的人都喜歡蘋果；⑤若x＝2，則.
【答案】 ③④⑤ ④⑤
【分析】利用命題的意義，逐一判斷各個語句，并判斷命題真假作答.
【詳解】①是感嘆句，不是命題；②是祈使句，不是命題；
③是命題，一個數(shù)不是正數(shù)可能是負數(shù)，還可能為0，可以判斷該語句的真假，所以該命題為假命題；
④是命題，有的人喜歡蘋果，也有人不喜歡蘋果，所以可判斷該語句的真假，它是命題，并且是真命題；
⑤是命題，當時，，可以判斷該語句的真假，它是命題，并且是真命題．
故答案為：③④⑤；④⑤
5．以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)命題的定義進行判斷.
【詳解】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．
故選：B
6．下列命題中真命題有（ ）
①是一元二次方程；
②函數(shù)的圖象與x軸有一個交點；
③互相包含的兩個集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【答案】B
【分析】對于①，舉反例即可判斷；對于②，令，求解即可判斷；對于③，根據(jù)包含關系即可判斷；對于④，根據(jù)空集不是本身的真子集即可判斷.
【詳解】①中，當時，是一元一次方程，①錯誤；
②中，令，則，所以函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，②正確；
③中，互相包含的兩個集合相等，③正確；
④中，空集不是本身的真子集，④錯誤．
故選：B
題型二充分、必要條件的判定
7．明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風”，比喻一切都準備好了，只差最后一個重要的條件.你認為“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，結合題意即可下結論.
【詳解】“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.
故選：B.
8．不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.
【詳解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要條件.
故選：D
9．“”是“”的____(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”).
【答案】充分不必要條件
【分析】利用集合法求解.
【詳解】由解得：，記集合.
由解得：，記集合.
因為?，所以“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要條件
10．“”是“”的________條件，“”是“”的________條件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可作答.
【詳解】由于，
所以“”是“”的必要條件，“”是“”的充分條件．
故答案為：必要；充分
11．已知實數(shù)a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．
【詳解】為充要條件．
故選：C.
12．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】先判斷充分性是否滿足，再判斷必要性是否滿足，即可得答案.
【詳解】解：充分性：若，則可得有三種可能：①兩個都為正；②一個為正、一個為零；③一個為正、一個為負且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值，
所以或或，
故不是的充分條件；
必要性:若，則或，故或，
故“”不是“”的必要條件.
綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
13．設，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不允分也不必要條件
【答案】B
【分析】分別求解與，再根據(jù)充分性與必要性判斷即可.
【詳解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
14．已知A，，則“”是“”的__________條件．
【答案】充要
【分析】根據(jù)集合間的運算即可結合充要條件的定義進行求解.
【詳解】由可得,所以，
由得，進而，故“”是“”的充要條件，
故答案為：充要
15．“”是“不等式與同解”的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不滿足.
【詳解】取，，滿足，
所以即為，即為，
兩不等式的解集不同，故充分性不滿足；
不等式與不等式的解集相同，均為R，
但不滿足，故必要性不滿足.
所以“”是“不等式與同解”的既不充分又不必要條件.
故選：D.
16．(多選)下列命題是真命題的是（ ）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件
【答案】AC
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義逐項判斷即可.
【詳解】∵x＞3?x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要條件，∴A是真命題；
∵x＝2?x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要條件，∴B是假命題；
∵A∩B＝B?A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件，反之也成立，故也是充分條件，∴C是真命題；
∵ac＞bc，c

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