【核心素養(yǎng)】
1.考查雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點(diǎn)三角形，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
2.考查雙曲線幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)，結(jié)合幾何量的計(jì)算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3.考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．
【知識點(diǎn)展示】
（一）雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1．雙曲線的定義
滿足以下三個條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線
(1)在平面內(nèi)；
(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為一定值；
(3)這一定值一定要小于兩定點(diǎn)的距離．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（二）雙曲線的幾何性質(zhì)
雙曲線的幾何性質(zhì)
（三）常用結(jié)論
1.等軸雙曲線及性質(zhì)
(1)等軸雙曲線：實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等軸雙曲線?離心率e＝eq \r(2)?兩條漸近線y＝±x相互垂直．
2．雙曲線中的幾個常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為eq \f (2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.
(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq \f (b2,a2).
(5)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則Seq \s\d5(△PF1F2)＝b2·eq \f (1,tan \f (θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
【常考題型剖析】
題型一：雙曲線的定義及其應(yīng)用
例1.（2020·浙江省高考真題）已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（ ）
A．B．C．D．
例2.（2017·上?！じ呖颊骖}）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為、，為該雙曲線上的一點(diǎn)，若，則________
【總結(jié)提升】
1.雙曲線定義的主要應(yīng)用
(1)判定平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程．
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
2.用定義法求雙曲線方程，應(yīng)依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線．
3．與雙曲線兩焦點(diǎn)有關(guān)的問題常利用定義求解．
4．如果題設(shè)條件涉及動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解．
題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例3.（2021·北京高考真題）雙曲線過點(diǎn)，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
例4. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例5.【多選題】（2020·海南·高考真題）已知曲線.（ ）
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為
C．若mn0，則C是兩條直線
【規(guī)律方法】
1．求雙曲線方程的思路
(1)如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，有兩種方法來解決：
一是分類討論，注意考慮要全面；二是注意巧設(shè)雙曲線： = 1 \* GB3 ①雙曲線過兩點(diǎn)可設(shè)為， = 2 \* GB3 ②與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.
2．利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下：
(1)定位置：根據(jù)條件判定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，不能確定時應(yīng)分類討論．
(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)不定時，亦可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m·n0時，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．
(2)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程：與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)；與雙曲線eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)．
題型三：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用
例6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達(dá)到了頂峰，它藍(lán)白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
例7.（2021·長豐北城衡安學(xué)校高二月考（理））如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線1(a>0，b>0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長為（ ）
A．2πB．3πC．2πD．4π
【總結(jié)提升】
解答實(shí)際應(yīng)用問題時，要注意先將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，條件中有兩定點(diǎn)，某點(diǎn)與這兩定點(diǎn)的距離存在某種聯(lián)系，解題時先畫出圖形，分析其關(guān)系，看是否與橢圓、雙曲線的定義有關(guān)，再確定解題思路、步驟．
題型四 已知雙曲線的方程，研究其幾何性質(zhì)
例8.（2018·浙江·高考真題）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
例9.（2021·全國高考真題（文））雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為________．
例10.（2020·北京·高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．
例11.（2021·全國·高考真題（理））已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
例12.（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.
【總結(jié)提升】
1.已知雙曲線方程討論其幾何性質(zhì)，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出對應(yīng)的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定義找出其焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程．
2．畫雙曲線圖形，要先畫雙曲線的兩條漸近線(即以2a、2b為兩鄰邊的矩形對角線)和兩個頂點(diǎn)，然后根據(jù)雙曲線的變化趨勢，就可畫出雙曲線的草圖．
3．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq \r(2).
4．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a、b、c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.
5．等軸雙曲線的離心率與漸近線關(guān)系
雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq \r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)．
6．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長b
7．漸近線與離心率
的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．
8.與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路
(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解．
(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系，如借助雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，方程中Δ≥0等來解決．
題型五 由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的方程
例11. （2022·天津·高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
例12.（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
例13.（2018·天津高考真題（文））已知雙曲線 的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且 則雙曲線的方程為( )
A．B．
C．D．
【規(guī)律總結(jié)】
1.由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法，同樣需要經(jīng)歷“定位→定式→定量”三個步驟．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，從而直接求得．
2．根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程．漸近線為y＝eq \f(n,m)x的雙曲線方程可設(shè)為：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m(m≠0)；與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
題型六 求雙曲線的離心率(或范圍)
例13.（2019·全國·高考真題（文））設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為（ ）
A．B．
C．2D．
例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三開學(xué)考試）雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于另一點(diǎn)，當(dāng)時滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例15.（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．
例16.（2020·全國·高考真題（文））設(shè)雙曲線C： (a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_________．
【規(guī)律提升】
1.在解析幾何中，求“范圍”問題，一般可從以下幾個方面考慮：①與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式來完成；②通過判別式Δ求解；③利用點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部形成的不等關(guān)系求解；④利用解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如a，eq \r(a)，|a|等非負(fù)性求解．
2.求雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān) 系，結(jié)合c2＝a2＋b2和eq \f(c,a)＝e得到關(guān)于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e時，經(jīng)常用到的結(jié)論：雙曲線上一點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)距離的最小值為c－a.雙曲線的離心率常以雙曲線的漸近線為載體進(jìn)行命題，注意二者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．
3.與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略
(1)雙曲線的離心率e＝eq \f(c,a)是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式，并且需注意e＞1.
(2)雙曲線的漸近線是令，即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)漸近線的斜率也是一個比值，可類比離心率的求法解答．注意應(yīng)用.
題型七：與雙曲線有關(guān)的綜合問題
例17.（2022·江西·豐城九中高三開學(xué)考試（文））已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例18.（2018·全國·高考真題（理））已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=（ ）
A．B．3C．D．4
例19.（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于______.
例20.（2020·全國·高考真題（理））已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.
例21. （2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
例22. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)．若，則________________．
例23．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)，分別是雙曲線的左、右兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（）與的右支交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，且它的虛軸的端點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，求面積的值.
【總結(jié)提升】
雙曲線的綜合問題常常涉及雙曲線的離心率、漸近線、范圍與性質(zhì)，與圓、橢圓、拋物線、向量、三角函數(shù)、不等式等知識交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．
(1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立聯(lián)系求解．
(2)當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解．
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
實(shí)虛軸
線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長．
a、b、c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解+真題測試專題7.4數(shù)列求和(知識點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解+真題測試專題7.4數(shù)列求和(知識點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
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