【核心素養(yǎng)】
與不等式、方程等問題結(jié)合，考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
1.冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).
2.常見的5種冪函數(shù)的圖象
冪函數(shù)圖象的要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．
根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．
3.常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)
4.冪函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論
對(duì)于形如 (其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)：
(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
(2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
(3)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)．
【?？碱}型剖析】
題型一 冪函數(shù)的概念
例1. （2022·上海·高考真題）下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵? ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0
【詳解】
對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br>對(duì)選項(xiàng)，則有：
故答案選：
例2．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
利用冪函數(shù)的性質(zhì)逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋皇荝，所以不成立；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；
當(dāng)或時(shí)，滿足函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，
故選：A.
例3. （2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)A（4，2），則f（）=___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
點(diǎn)坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式，求得，然后計(jì)算函數(shù)值．
【詳解】
點(diǎn)A（4，2）代入冪函數(shù)解得，，
故答案為：．
【特別警示】
形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項(xiàng)．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，
題型二： 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，即可得出p、q的取值情況.
【詳解】
因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，則有0，
又因p、q互質(zhì)，則q為奇數(shù)，所以只有選項(xiàng)D正確.
故選：D
例5.（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)的部分圖象，已知取，，，這四個(gè)值，則與曲線，，，相對(duì)應(yīng)的依次為（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征及圖象的變化速度可判斷出圖象.
【詳解】
方法一：因?yàn)榍€，過點(diǎn)，，且在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，
所以，即為2，，
根據(jù)圖象的增長速度可知，曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為；
，過點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)為減函數(shù)，所以，即為，-2，
根據(jù)圖象的變化速度可知，曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.
方法二：取，分別代人，，，，
可求得，，，，比較可得，
所以與曲線，，，相對(duì)應(yīng)的依次為，，，.
故選：A.
例6.【多選題】（2020·福建福州·高三階段練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則冪函數(shù)在定義域上是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)所給條件結(jié)合冪函數(shù)的意義，求出冪函數(shù)的解析式再探討其性質(zhì)即可得解.
【詳解】
因是冪函數(shù)，設(shè)，而其圖象過點(diǎn)，
即，解得，于是得，且定義域?yàn)镽，
顯然是R上增函數(shù)，C正確；
，則為R上奇函數(shù)．A正確．
故選：AC
例7.【多選題】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的有（ ）
A．B．
C．y＝x2－1D．y＝x3
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域和與的關(guān)系判斷函數(shù)的奇偶性，從而排除選項(xiàng)D；選項(xiàng)A中的函數(shù)通過去掉絕對(duì)值判斷函數(shù)的單調(diào)性；選項(xiàng)C中的函數(shù)通過冪函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性.
【詳解】
選項(xiàng)A：令， 則，所以是偶函數(shù)，
又時(shí)，，在上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：令，則，所以是偶函數(shù)，
并且在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；
選項(xiàng)C：令f(x)＝x2－1，則f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故C正確；
選項(xiàng)D：令f(x)＝x3，則f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：BC.
【規(guī)律方法】
冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．
題型三：冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用
例8.（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，
故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
例9．【多選題】（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）若a＞b＞0＞c，則( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用作差法可判斷AB，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷C，根據(jù)基本不等式可判斷D.
【詳解】
A：，
∵，，
，，故A正確；
B：，
∵，∴，
，故B正確；
C：時(shí)，在單調(diào)遞減，∵，故C錯(cuò)誤；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等號(hào)取不到，故，故D正確.
故選：ABD.
例10．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】
解：因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，又，
所以，解得，
因?yàn)橛煽赏瞥觯蔁o法推出，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
例11.（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)與的部分圖象如圖所示，直線，與，的圖象分別交于A?B?C?D四點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
把用函數(shù)值表示后變形可得．
【詳解】
由得，即，
所以，
故選：B．
例12.（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象即可求解結(jié)論．
【詳解】
函數(shù)過定點(diǎn)，
如圖：
結(jié)合圖象可得：，
即，
故答案為：，．
例13.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
【解析】
【分析】
根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)即可寫出符合要求的解析式.
【詳解】
由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，
結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.
故答案為：（答案不唯一）
例14. （2022·北京通州·一模）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，能夠使是奇函數(shù)的一組整數(shù)m，n的值依次是__________．
【答案】1，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)在上的單調(diào)性得到，再根據(jù)是奇函數(shù)可以得到冪函數(shù)和冪函數(shù)都是奇函數(shù)，從而可得的很多組值.
【詳解】
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以冪函數(shù)和冪函數(shù)都是奇函數(shù)，所以可以是，可以是.
故答案為：1，（答案不唯一）.
【總結(jié)提升】
1.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較冪值大小的方法步驟．
第一步，據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；
第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1，a>1，α>0時(shí)，aα>1；0

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