1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq \f(2b2,a).
(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
(5)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
考點(diǎn)1 雙曲線的定義及應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
[典例]
1.(2023·濱州質(zhì)檢)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
2.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________.
[舉一反三]
1.(2023·揚(yáng)州、鹽城、南通聯(lián)考)已知雙曲線C的離心率為eq \r(3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面積為eq \r(2)，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A．1 B．2 C．3 D．6
2.已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
3.(2023·廣州模擬)過雙曲線x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)F1作一條直線l交雙曲線左支于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝10，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是________.
考點(diǎn)2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
[名師點(diǎn)睛]
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．
[典例]
1.(2023·北京)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(eq \r(2)，eq \r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
2.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，eq \r(2))，且漸近線方程是y＝±eq \f(1,3)x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
[舉一反三]
1.(2023·佛山調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長(zhǎng)為2eq \r(2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
2.與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2，1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是________.
3.已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦點(diǎn)為(5，0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
考點(diǎn)3 雙曲線的幾何性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
2.雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[典例]
1.(2023·杭州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B.2x±eq \r(7)y＝0
C.eq \r(3)x±2y＝0 D.2x±eq \r(3)y＝0
2.(2023·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
3.(2023·濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
[舉一反三]
1.(2023·濟(jì)南模擬)已知雙曲線eq \f(x2,m＋1)－eq \f(y2,m)＝1(m>0)的漸近線方程為x±eq \r(3)y＝0，則m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．2
2.(2023·石家莊模擬)已知點(diǎn)F是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(1，1＋eq \r(2)) D.(2，1＋eq \r(2))
3.(2023·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為( )
A.4 B.8 C.16 D.32
4.(多選)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \f(2\r(3),3)，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則( )
A.漸近線方程為y＝±eq \r(3)x
B.漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
5.(2023·湖北七市(州)聯(lián)考)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若雙曲線存在一點(diǎn)P使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b，實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
第52講 雙曲線
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq \f(2b2,a).
(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
(5)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
考點(diǎn)1 雙曲線的定義及應(yīng)用
[名師點(diǎn)睛]
在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
[典例]
1.(2023·濱州質(zhì)檢)eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≥2)
答案 C
解析 eq \r(x2＋（y－3）2)的幾何意義為點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F1(0，3)的距離，eq \r(x2＋（y＋3）2)的幾何意義為點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F2(0，－3)的距離，則eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F1(0，3)的距離與到點(diǎn)F2(0，－3)的距離的差為4，且4＜|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，則eq \r(x2＋（y－3）2)－eq \r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲線方程為eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1(y≤－2).
2.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________.
答案 2eq \r(3)
解析 不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
[舉一反三]
1.(2023·揚(yáng)州、鹽城、南通聯(lián)考)已知雙曲線C的離心率為eq \r(3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面積為eq \r(2)，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 B
解析 由題意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，
又離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)a，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq \f(－2a2,6a2)＝－eq \f(1,3)，
sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(2),3)，
所以＝eq \f(1,2)·a·3a·eq \f(2\r(2),3)＝eq \r(2)a2＝eq \r(2)，
所以a＝1，實(shí)軸長(zhǎng)2a＝2.
2.已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
答案 9
解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，
所以當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時(shí)滿足|PF|＋|PA|最?。?br>由雙曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時(shí)，
滿足|PF1|＋|PA|最小，
|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．
又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.
3.(2023·廣州模擬)過雙曲線x2－eq \f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)F1作一條直線l交雙曲線左支于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝10，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是________.
答案 24
解析 由題意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，
∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.
∴△PF2Q的周長(zhǎng)是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
考點(diǎn)2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
[名師點(diǎn)睛]
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．
[典例]
1.(2023·北京)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(eq \r(2)，eq \r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝2，則c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，則雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
將點(diǎn)(eq \r(2)，eq \r(3))的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得eq \f(2,a2)－eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此，雙曲線的方程為x2－eq \f(y2,3)＝1.
2.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，eq \r(2))，且漸近線方程是y＝±eq \f(1,3)x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
答案 y2－eq \f(x2,9)＝1
解析 設(shè)雙曲線的方程是y2－eq \f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(3，eq \r(2))，
所以λ＝2－eq \f(9,9)＝1，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2－eq \f(x2,9)＝1.
[舉一反三]
1.(2023·佛山調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長(zhǎng)為2eq \r(2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 由題意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，
由雙曲線的定義可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.
又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，
∴a＝1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq \f(y2,2)＝1.
2.與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2，1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是________.
答案 eq \f(x2,2)－y2＝1
解析 法一 橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±eq \r(3)，0).設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)P(2，1)，所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.
法二 設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(10)的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦點(diǎn)為(5，0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 由題意得eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
考點(diǎn)3 雙曲線的幾何性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
2.雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
[典例]
1.(2023·杭州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是( )
A.eq \r(3)x±y＝0 B.2x±eq \r(7)y＝0
C.eq \r(3)x±2y＝0 D.2x±eq \r(3)y＝0
答案 C
解析 ∵F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)P在雙曲線右支上，
∴由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理的推論可得
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(1,2)＝eq \f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),2)x，
即eq \r(3)x±2y＝0.
2.(2023·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs 60°)＝eq \r(7)m，
所以C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
3.(2023·濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案 A
解析 在△PF1F2中，
sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，
又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝eq \f(c,a)1，所以10，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 不妨設(shè)D位于第一象限，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，分別與x＝a聯(lián)立，可得D(a，b)，E(a，－b)，則|DE|＝2b.
∴S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2eq \r(2)時(shí)，等號(hào)成立.
∴c2的最小值為16，∴c的最小值為4，
∴C的焦距的最小值為2×4＝8.
4.(多選)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \f(2\r(3),3)，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則( )
A.漸近線方程為y＝±eq \r(3)x
B.漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
答案 BC
解析 由題意可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3)，設(shè)c＝2t，a＝eq \r(3)t，t＞0，則b＝eq \r(c2－a2)＝t，
所以圓A的圓心為(eq \r(3)t，0)，半徑長(zhǎng)為t，
雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
即y＝±eq \f(\r(3),3)x，
圓心A到漸近線的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)×\r(3)t)),\r(1＋\f(1,3)))＝eq \f(\r(3),2)t，
所以弦長(zhǎng)|MN|＝2eq \r(t2－d2)＝2eq \r(t2－\f(3,4)t2)＝t＝b，
可得△MNA是邊長(zhǎng)為b的等邊三角形，即有∠MAN＝60°.故選BC.
5.(2023·湖北七市(州)聯(lián)考)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若雙曲線存在一點(diǎn)P使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.
答案 (1，1＋eq \r(2))
解析 在△PF1F2中，由正弦定理知
eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)，又eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，
∴eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，
所以P在雙曲線右支上，設(shè)P(x0，y0)，如圖，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝eq \f(2a2,c－a).
由雙曲線幾何性質(zhì)知|PF2|＞c－a，
則eq \f(2a2,c－a)＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋eq \r(2).
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b，實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

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