1．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
2．如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個動點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（ ）
A．5B．7C．D．
3．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接．若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖 ，在平行四邊形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 點(diǎn)、分別是邊CD、上的動點(diǎn)．連接、 ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，連接．則的最大值與最小值的差為（ ）
A．2B．C．D．
5．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（ ）
A．6B．8C．D．
6．如圖，中，，，D為邊上一動點(diǎn)，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：，且，那么四邊形周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，過點(diǎn)A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M、N，連接MN，則MN的最小值為（ ）
A．B．3C．2D．2
9．如圖，在平行四邊形ABCD紙片中，∠BAD=45°，AB=10．將紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A＇落在BC邊上，折痕EF交AB、AD、AA＇分別于點(diǎn)E、F、G． 繼續(xù)折疊紙片，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C＇落在A＇F上．連接GC＇，則GC＇的最小值為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在中，，，，為上的動點(diǎn)，連接以、為邊作平行四邊形，則長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，PB+PQ的最小值為（ ）
A．4B．3C．2D．4
12．如圖，矩形中，，，點(diǎn)，，，分別在矩形各邊上，且四邊形為平行四邊形，則平行四邊形周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
13．如圖，的頂點(diǎn)A，D分別在直角的兩邊OM，ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合），的對角線AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OP，若，則的周長最小值是（ ）．
A．20B．25C．10D．15
14．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
15．如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（ ）
A．B．2C．4D．
16．如圖，已知?OABC的頂點(diǎn)A，C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
17．如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是折線上的一個動點(diǎn)(不與、重合)．則的面積的最大值是( )
A．B．1C．D．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且∠BAO＝30°， M、N是該直線上的兩個動點(diǎn)，且MN＝2，連接OM、ON，則△MON周長的最小值為 （ ）
A．2＋3B．2＋2C．2＋2D．5＋
19．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在動直線y＝mx﹣3m+4（m為常數(shù)且）上，AB＝5，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形面積的最大值是（ ）
A．24B．25C．26D．30
20．如圖，在等腰和等腰，，，為的中點(diǎn)，則線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
21．如圖四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P為AB邊上的一動點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，則對角線PQ的長的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
22．一個大平行四邊形按如圖方式分割成九個小平行四邊形且只有標(biāo)號為①和②的兩個小平行四邊形為菱形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個小平行四邊形中n個小平行四邊形的周長，就一定能算出這個大平行四邊形的長，則n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
23．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為，則C的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
24．如圖，已知的頂點(diǎn)A、C分別在直線和上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
第II卷（非選擇題）
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二、填空題(共0分)
25．如圖，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為____．
26．如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__．
27．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為_____
28．如圖，在中，，，，點(diǎn)E在上，，點(diǎn)P是邊上的一動點(diǎn)，連接，則的最小值是________．
29．如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．
30．如圖，在中，點(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)、是直線和上兩動點(diǎn)，，且點(diǎn)到直線和的距離分別是1和4，則對角線長度的最小值是_____．
專題21 平行四邊形中的最值小題特訓(xùn)30道
1．如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
答案：B
分析：設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)，得，當(dāng)P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作于，
在中，，
∴，
∴，
∵四邊形PAQC是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
當(dāng)P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，
∴PQ的最小值為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì)．
2．如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個動點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（ ）
A．5B．7C．D．
答案：A
分析：由折疊可得，當(dāng) 三點(diǎn)共線時，的長度最小，根據(jù)勾股定理分別求出的長度，即可求長度的最小值．
【詳解】解：如圖：連接，作，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M(jìn)是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
∵折疊，
∴，
∴當(dāng) 三點(diǎn)共線時，的長度最小，
∴此時，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求的長度．
3．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接．若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：連接，利用三角形中位線定理，可知，求出的最小值即可解決問題．
【詳解】解：連接，如圖所示：
四邊形是菱形，
，
，分別為，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
當(dāng)時，最小，得到最小值，
則，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．
4．如圖 ，在平行四邊形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 點(diǎn)、分別是邊CD、上的動點(diǎn)．連接、 ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，連接．則的最大值與最小值的差為（ ）
A．2B．C．D．
答案：C
分析：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等邊三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵點(diǎn)G在BC上，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，
∴AG的最大值為，最小值為，
∴EF的最大值為，最小值為，
∴EF的最大值與最小值的差為：
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．
5．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（ ）
A．6B．8C．D．
答案：D
分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，此時CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
設(shè)，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
則，即，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
6．如圖，中，，，D為邊上一動點(diǎn)，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
答案：C
分析：首先根據(jù)已知得出最小時，的位置，進(jìn)而利用三角形面積求出的長，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：當(dāng)為邊時，．
當(dāng)為對角線時，如圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)于點(diǎn)時，此時最小，
，，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，，，
．
，
的最小值為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形面積和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：，且，那么四邊形周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：如圖，把向上平移一個單位得：，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn) 連接，交直線于 連接，則此時四邊形的周長最短，再利用勾股定理可得： ，利用從而可得答案．
【詳解】解：如圖，把向上平移一個單位得：，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn) 連接，交直線于 連接，
，
由
四邊形是平行四邊形，

所以此時：四邊形的周長最短，






故選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形與坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
8．在平行四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，過點(diǎn)A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M、N，連接MN，則MN的最小值為（ ）
A．B．3C．2D．2
答案：B
分析：由平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求FC，AN，EN，AE的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴，∠BCF＝30°，
∴四邊形AFCN是平行四邊形，BFBC＝2，CFBF＝2，
∴AN＝CF＝2，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴ENAN，AEEN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴，
∴當(dāng)MN⊥EN時，MN有最小值為3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在平行四邊形ABCD紙片中，∠BAD=45°，AB=10．將紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A＇落在BC邊上，折痕EF交AB、AD、AA＇分別于點(diǎn)E、F、G． 繼續(xù)折疊紙片，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C＇落在A＇F上．連接GC＇，則GC＇的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：如圖，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分線和中位線的性質(zhì)求得的長度，根據(jù)垂線段最短，即可求解．
【詳解】解：如圖，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴為等腰直角三角形，
由題意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，當(dāng)、兩點(diǎn)重合時，
即的最小值為
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．
10．如圖，在中，，，，為上的動點(diǎn)，連接以、為邊作平行四邊形，則長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由勾股定理可去，由平行四邊形的性質(zhì)可得，由平行線之間的距離和垂線段最短可得當(dāng)時，有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，
，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
當(dāng)時，有最小值，
有最小值為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，平行線之間的距離，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
11．如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，PB+PQ的最小值為（ ）
A．4B．3C．2D．4
答案：C
分析：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長即為PB+PQ的最小值．
【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等邊三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，
作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF， 交AC于點(diǎn)P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，
∴∠F＝∠AGF＝30°，
∴∠FGB＝90°，
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長即為PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，
∴BF＝4，
，
∴BP+PQ的最小值為2．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)P，Q的位置是解答此題的關(guān)鍵．
12．如圖，矩形中，，，點(diǎn)，，，分別在矩形各邊上，且四邊形為平行四邊形，則平行四邊形周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E＇，連接FE＇，GE＇，當(dāng)G、F、E＇共線時，平行四邊形EFGH周長最小，過G作GG＇⊥AB于G＇，證明△AHE≌△CFG（AAS）得AE=CG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和對稱性質(zhì)可證得G＇E＇=AB=8，GG＇=BC=4，由勾股定理求得GE＇的長即可解答．
【詳解】解：∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴平行四邊形EFGH的周長為2（GF+EF），
作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E＇，連接FE＇，GE＇，則EF=FE＇，BE=BE＇，
∴GF+EF=GF+FE＇≥GE＇，
∴當(dāng)G、F、E＇共線時，平行四邊形EFGH周長最小，最小值為2GE＇，
過G作GG＇⊥AB于G＇，則四邊形BCGG＇是矩形，
則GG＇=BC=4，CG=BG＇，
∵HE∥GF，EF=FE＇，
∴∠AEH=∠E＇=∠FGC，
在△AHE和△CFG中，
，
∴△AHE≌△CFG（AAS），
∴AE=CG，
∴G＇E＇=BE＇+BG＇=BE+AE=AB=8，
在Rt△GG′E′中，GG＇=4，G＇E＇=8，
∴，
∴平行四邊形EFGH周長最小值為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、最短路徑問題等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
13．如圖，的頂點(diǎn)A，D分別在直角的兩邊OM，ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合），的對角線AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OP，若，則的周長最小值是（ ）．
A．20B．25C．10D．15
答案：A
分析：由平行四邊形的性質(zhì)可得AP=PC，由三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可得PH=，OH=AD，利用三角形三邊關(guān)系得出AB+AD≥2OP=10，即可求解．
【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接PH,OH,
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴.AP=PC，
∵點(diǎn)H是AD中點(diǎn)，∠AOD=90°，
∴.PH=，OH=AD，
∴OH+PH≥OP，
∴AB+AD≥2OP=10，
∴平行四邊形ABCD的周長最小值為2（AB+AD）=20，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（ ）
A．B．6C．4D．
答案：D
分析：點(diǎn)的運(yùn)動軌跡以E為圓心，以AE的長為半徑的圓，則當(dāng)點(diǎn)落在DE上時，取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：點(diǎn)的運(yùn)動軌跡以E為圓心，以AE的長為半徑的圓，則當(dāng)點(diǎn)落在DE上時，取最小值，如圖所示：
∵AB=4，E是AB邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE=2，
由沿所在直線折疊得到，
∴，
在平行四邊形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的綜合應(yīng)用，勾股定理，含30°角的直角三角形，確定點(diǎn)的位置，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（ ）
A．B．2C．4D．
答案：A
分析：過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，根據(jù)，，，運(yùn)用勾股定理的逆定理，證明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根據(jù)平移性質(zhì)證明四邊形ADEC是平行四邊形，得到CE∥AD，根據(jù)當(dāng)DE⊥AB時， DE最小，此時，根據(jù)∠DEC=∠ECG=90°，證明四邊形EDGC是矩形，得到DE=CG，運(yùn)用面積法得到，求出，得到DE的最小值為．
【詳解】過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，
則∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴CE∥AD，
當(dāng)DE⊥AB時， DE最小，
此時，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四邊形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值為．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四邊形，三角形面積，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，垂線段最短的性質(zhì)．
16．如圖，已知?OABC的頂點(diǎn)A，C分別在直線x＝1和x＝4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：過點(diǎn)B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E．則OB＝．由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A＝BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF＝∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以O(shè)E的長固定不變，當(dāng)BE最小時，OB取得最小值，從而可求．
【詳解】解：過點(diǎn)B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，直線x＝1與OC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)F，直線x＝4與AB交于點(diǎn)N，如圖：
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，
∵直線x＝1與直線x＝4均垂直于x軸，
∴AMCN，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的長不變，所以當(dāng)BE最小時（即B點(diǎn)在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝5．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
17．如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是折線上的一個動點(diǎn)(不與、重合)．則的面積的最大值是( )
A．B．1C．D．
答案：D
分析：分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當(dāng)E在CD上時，△ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，△ABE的面積最大，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論．
【詳解】解：分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，E與C重合時，△ABE的面積最大，如圖1，
過A作AF⊥BC于F，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF=，
∴此時△ABE的最大面積為：×4×=2；
②當(dāng)E在CD上時，如圖2，此時，△ABE的面積=S?ABCD=×4×=2；
③當(dāng)E在AD上時，E與D重合時，△ABE的面積最大，此時，△ABE的面積=2，
綜上，△ABE的面積的最大值是2；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，并運(yùn)用分類討論的思想解決問題．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且∠BAO＝30°， M、N是該直線上的兩個動點(diǎn)，且MN＝2，連接OM、ON，則△MON周長的最小值為 （ ）
A．2＋3B．2＋2C．2＋2D．5＋
答案：B
【詳解】解：如圖作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)O’，作且，連接O’C交AB于點(diǎn)D，連接ON，MO，
∴四邊形MNOC為平行四邊形，
∴，，
∴，
在中，，即，
當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)D的位置時，即當(dāng)O’、M、C三點(diǎn)共線，取得最小值，
∵，，
設(shè)，則，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對稱及平行線、平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，角的直角三角形性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．
19．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在動直線y＝mx﹣3m+4（m為常數(shù)且）上，AB＝5，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形面積的最大值是（ ）
A．24B．25C．26D．30
答案：B
分析：由直線關(guān)系式確定出直線過定點(diǎn)（3，4），平行四邊形面積最大轉(zhuǎn)化為求△ABO的最大面積．
【詳解】解：∵直線AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4，
∴AB過定點(diǎn)M（3，4），
∴OM＝5，
作OH⊥AB于H，
∴OH≤5，
∴S△ABO最大＝，
∴以點(diǎn)O、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形面積的最大值是25，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)性質(zhì)，動點(diǎn)平行四邊形面積最值問題，解題的關(guān)鍵是把求平行四邊形面積最大轉(zhuǎn)化為求△ABO的最大面積．
20．如圖，在等腰和等腰，，，為的中點(diǎn)，則線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：取AB的中點(diǎn)G，接DG，CG，過C作于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【詳解】解：取AB得中點(diǎn)G，連接DG，CG，過點(diǎn)C作交AB延長線與H．
∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，
∴AD = ED，AG=BG，
∴DG是的中位線，
∴DG=BE，
∵AB=BC=BE=2，
∴DG=1，BG=1，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴HG= BG +BH=2，
在中，
，
∵，
∴，
∴當(dāng)且僅當(dāng)D、G、C三點(diǎn)共線時，線段CD取最小值為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)解題的鍵是根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答．
21．如圖四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P為AB邊上的一動點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，則對角線PQ的長的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
分析：過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，如圖，根據(jù)AAS易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，可得AD＝HC，進(jìn)而可求得BH的長，則可得當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為BH的長．
【詳解】解：過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，如圖，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，∠A=∠CHQ=90°，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，
∴當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短等知識，屬于?？碱}型，正確作出輔助線、熟練掌握上述知識、明確當(dāng)PQ⊥AB時，PQ的長最小是解題的關(guān)鍵．
22．一個大平行四邊形按如圖方式分割成九個小平行四邊形且只有標(biāo)號為①和②的兩個小平行四邊形為菱形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個小平行四邊形中n個小平行四邊形的周長，就一定能算出這個大平行四邊形的長，則n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
分析：設(shè)菱形①的邊長為a，菱形②的周長為b，平行四邊形③的周長為c．由題意易知大平行四邊形的周長＝a+b+c，由此即可判斷．
【詳解】如圖所示：
設(shè)菱形①的邊長為a，菱形②的周長為b，平行四邊形③的周長為c．
由題意易知大平行四邊形的周長＝a+b+c，
∴知道九個小平行四邊形中小平行四邊形①②③的周長，就一定能算出這個大平行四邊形的周長，
∴n的最小值為3．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
23．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為，則C的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
分析：由軸對稱的性質(zhì)可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三邊關(guān)系可知A′C≥BC-BA′，則可求得答案．
【詳解】解：∵平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），
∴AB= ＝，BC=3，
∵若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為A'，
∴BA′=BA=，
在△BA′C中，由三角形三邊關(guān)系可知A′C≥BC-BA′，
∴A′C≥3-，即A′C的最小值為3-，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四這形及軸對稱的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到A′C≥BC-BA′是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，已知的頂點(diǎn)A、C分別在直線和上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：B
分析：當(dāng)B在x軸上時，對角線OB長度最小，由題意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS證明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)B在x軸上時，對角線OB長度最小，如圖所示：
直線x＝1與x軸交于點(diǎn)D，直線x＝4與x軸交于點(diǎn)E，
根據(jù)題意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案為5.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.
25．如圖，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為____．
答案：．
【詳解】試題分析：首先菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，從而可知BF=DF，則EF+BF=EF+DF，當(dāng)點(diǎn)D、F、E共線時，EF+BF有最小值．
解：∵?ABCD中，AB=AD，
∴四邊形ABCD為菱形．
∴點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于AC對稱．
∴BF=DF．
連接DE．
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=1．
∴=
又∵∠DAB=60°，
∴cs∠DAE=．
∴△ADE為直角三角形．
∴DE===，
故答案為．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是最短路徑、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)和判定，由軸對稱圖形的性質(zhì)將EF+FB的最小值轉(zhuǎn)化為DF+EF的最小值是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__．
答案：1．
【詳解】試題分析：先延長EP交BC于點(diǎn)F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，最后根據(jù)，判斷ab的最大值即可．
試題解析：延長EP交BC于點(diǎn)F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則
CF=CP=b，，∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四邊形CDEP是平行四邊形，∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，又∵≥0，∴2ab≤，∴ab≤1，即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為1．
考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；最值問題．
27．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為_____
答案：
【詳解】試題分析：根據(jù)菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線段長度的問題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．
∵E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線．
作E關(guān)BD的對稱點(diǎn)E′，
連接CE′，PE，
則PE=PE′，
此時，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即為PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE為正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
考點(diǎn)：軸對稱---最短路徑問題，菱形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理
點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，是中考中比較常見的知識點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.
28．如圖，在中，，，，點(diǎn)E在上，，點(diǎn)P是邊上的一動點(diǎn)，連接，則的最小值是________．
答案：
分析：過點(diǎn)A作直線的對稱點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)P，此時有最小值，最小值為的長，過點(diǎn)E作直線的垂線，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)A作直線的對稱點(diǎn)F，連接，連接交于點(diǎn)P，此時有最小值，最小值為的長，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于直線對稱，
∴，，則，
∴是等邊三角形，
∵在中，，
∴，
過點(diǎn)E作直線的垂線，垂足為點(diǎn)G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
29．如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．
答案： 平行四邊形 ##
分析：根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求解；當(dāng)PQ是AQ和BC間距離時PQ取得最小值，計算四邊形APCQ的周長即可．
【詳解】解：如圖，∵AQBC，CQAP，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．
當(dāng)PQ⊥BC時，PQ取得最小值，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，
∴AC=2，∠ACB=45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC=，
∴PQ=，
∴QC=，
∴四邊形APCQ的周長為：2PC+2QC=2×+2×=，
故答案為：平行四邊形；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂線段最短的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．
30．如圖，在中，點(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)、是直線和上兩動點(diǎn)，，且點(diǎn)到直線和的距離分別是1和4，則對角線長度的最小值是_____．
答案：5
分析：過點(diǎn)D作DM⊥l1于點(diǎn)M，延長DM交l2于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥l2于點(diǎn)N，連接MN，設(shè)CD與l1交于點(diǎn)E，AB與l2交于點(diǎn)F，證明△ADE≌△CBF（AAS），可得BN=DM=1，根據(jù)垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短可得，當(dāng)MN⊥l1時，MN最短，此時BD的長度是最小值，最小值為DM+BN+MH的長，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥l1于點(diǎn)M，延長DM交l2于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥l2于點(diǎn)N，連接MN，設(shè)CD與l1交于點(diǎn)E，AB與l2交于點(diǎn)F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED=∠DCF，
∵點(diǎn)D是定點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線l1和l2的距離分別是1和4，
∴DM=1，DH=4，
∴MH=DH-DM=4-1=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，
∴∠BFC=∠DCF，
∴∠AED=∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN=DM=1，
根據(jù)垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短可得，
當(dāng)MN⊥l1時，MN最短，BD的長度有最小值，最小值為DM+BN+MH的長，
∴對角線BD長度的最小值是1+3+1=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短．

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