【例題講解】
閱讀下列材料，解答后面的問題：我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：……①（其中、、為三角形的三邊長，為面積）．而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”：……②（其中）
（1）若已知三角形的三邊長分別為，，，試分別運用公式①和公式②計算該三角形的面積；
（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試寫出推導(dǎo)過程．
【詳解】解：（1）由公式得①得
由②得，故
（2）可以，過程如下：，
【綜合解答】
1．已知三角形的三邊長分別為，，，求其面積，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出海倫公式（其中），我國南宋時期數(shù)學(xué)教秦九昭提出了秦九昭公式，若一個三角形的三邊長分別為2，2，3，請你選擇自己喜歡的公式計算這個三角形的面積．
2．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九昭及古希臘的幾何學(xué)家海倫對于問題：“已知三角形的三邊，如何求三角形的面積”進行了研究，并得到了海倫—秦九昭公式：如果一個三角形的三條邊分別為，記，那么三角形的面積為，請用此公式求解：在中，，，，求的面積.
3．設(shè)一個三角形的三邊分別為a，b，c，p=（a+b+c），則有下列面積公式：S=（海倫公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一個三角形的三邊長依次為3，5，6，任選以上一個公式求這個三角形的面積；
(2)一個三角形的三邊長依次為，，，任選以上一個公式求這個三角形的面積．
4．材料閱讀：
古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為，這一公式稱為海倫公式．
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式，被稱之為秦九韶公式．
(1)海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．如圖①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面積．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為____________．
5．閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積為．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，中國秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫-秦九韶公式” ．解答下列問題：如圖，在中，，，．
(1)的面積；
(2)過點A作，垂足為D，求線段AD的長．
6．秦九韶（1208年－1268年），字道古，漢族，生于普州安岳（今四川省安岳縣）人，祖籍魯郡（今河南范縣）．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家．他精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學(xué)，是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的世界著名數(shù)學(xué)家．他所提出的大衍求一術(shù)（中國剩余定理）和正負(fù)開方術(shù)及其名著《數(shù)書九章》，是中國數(shù)學(xué)史、乃至世界數(shù)學(xué)史上光彩奪目的一頁，對后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響．他寫的《數(shù)書九章》序堪稱一篇奇文．秦九韶的數(shù)學(xué)成果豐碩，其中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘幾何學(xué)家海倫的成果統(tǒng)稱海倫－秦九韶公式．如果一個三角形的三邊長分別是a、b、c，記，那么三角形的面積為：
(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，請用上面的公式計算△ABC的面積．
(2)如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E．求BE的長．
7．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)已知等腰的底邊，若恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
(3)閱讀材料：若三邊的長分別為，那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得： ，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．
8．請閱讀下面材料，并解決問題：
海倫——秦九韶公式
海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個利用三角形的三條邊長直接求三角形面積的公式：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形的三條邊長分別為a，b，c，記那么三角形的面積．這個公式稱為海倫公式．秦九韶（約1202－1261年），我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式．它填補了中國數(shù)學(xué)史中的一個空白，從中可以看出中國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．通過公式變形，可以發(fā)現(xiàn)海倫公式和秦九韶公式實質(zhì)是同一個公式，所以海倫公式也稱海倫—秦九韶公式．
問題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，請用海倫一秦九韶公式求△ABC的面積．
9．在《九章算術(shù)》中有求三角形面積的公式“底乘高的一半”，但是在實際丈量土地面積時，準(zhǔn)確測量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長來求面積．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—約1261）提出了“三斜求積術(shù)”，簡稱秦九韶公式．古希臘的幾何學(xué)家海倫（Hern，約公元50年）在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了利用三角形三邊長求面積的方法和證明，相傳這個公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我國稱這個公式為海倫—秦九韶公式．它的表述為：如果一個三角形三邊長分別為a、b、c，那么三角形的面積為．（公式里的p為半周長，即）
請利用海倫——秦九韶公式解決以下問題：
(1)三邊長分別為3、6、7的三角形面積為___________．
(2)四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求該四邊形的面積．
10．設(shè)一個三角形的三邊長為a，b，c，，則有下列面積公式：
（海倫公式），
（秦九韶公式）
請選擇合適的公式求下列三角形的面積：
(1)三角形的三邊長依次為a=5，b=6，c=7；
(2)三角形的邊長依次為a=，b=，c=．
11．[閱讀材料]
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，為三角形和多邊形的面積計算提供了新的方法和思路，在知道三角形三邊的長而不知道高的情況下使用秦九韶公式可以更簡便地求出面積，比如說在測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地求出答案，即三角形的三邊長分別為a、b、c，則其面積S＝（秦九韶公式），此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記p＝，則其面積S＝（海倫公式），雖然這兩個公式形式上有所不同，但它們本質(zhì)是等價的，計算各有優(yōu)劣，它填補了中國數(shù)學(xué)史中的一個空白，從中可以看出中國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．
[解決問題]
（1）當(dāng)三角形的三邊a＝7，b＝8，c＝9時，請你從上面兩個公式里，選擇合適的公式計算出三角形的面積．
（2）當(dāng)三角形的三邊a＝，b＝2，c＝3時，請你從上面兩個公式里，選擇合適的公式計算出三角形的面積．
12．設(shè)一個三角形的三邊長分別為，，，，則有下列面積公式：
（海倫公式），
（秦九韶公式）．
（1）一個三角形的三邊長依次為，，，利用兩個公式分別求這個三角形的面積；
（2）一個三角形的三邊長依次為、，，利用兩個公式分別求這個三角形的面積．
13．閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積S＝．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問題：
如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．
14．人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級下冊第16頁閱讀與思考給我們介紹了“海倫—秦九韶公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式：即如果一個三角形的三邊長分別為、、，記，那么這個三角形的面積為 ，如圖，在中，，，．
（1）求的面積；
（2）設(shè)邊上的高為，邊上的高為，邊上的高為，求的值．
15．綜合與實踐
問題情境
在學(xué)習(xí)了《勾股定理》和《實數(shù)》后，某班同學(xué)以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學(xué)活動.
操作發(fā)現(xiàn)
“畢達(dá)哥拉斯”小組的同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.如圖1是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.在圖1中畫出△ABC，其頂點A，B，C都是格點，同時構(gòu)造正方形BDEF，使它的頂點都在格點上，且它的邊DE，EF分別經(jīng)過點C、A，他們借助此圖求出了△ABC的面積.

（1）在圖1中，所畫的△ABC的三邊長分別是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面積為 .
實踐探究
（2）在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△DEF（頂點都在格點上），使DE=，DF=， EF=，并寫出△DEF的面積.
繼續(xù)探究
“秦九韶”小組的同學(xué)想到借助曾經(jīng)閱讀的數(shù)學(xué)資料： 已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積，對此問題中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進行過深入研究.古希臘的幾何學(xué)家海倫(Hern，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式：
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202 ~1261），給出了著名的秦九韶公式：

（3）一個三角形的三邊長依次為，，，請你從上述材料中選用適當(dāng)?shù)墓?求這個三角形的面積.（寫出計算過程）
16．已知△ABC三條邊的長度分別是，，，記△ABC的周長為C△ABC ．
(1)當(dāng)x＝2時，△ABC的最長邊的長度是 （請直接寫出答案）；
(2)請求出C△ABC（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡）；
(3)我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：
．其中三角形邊長分別為a、b、c，三角形的面積為S．若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時，請用秦九韶公式求出△ABC的面積．
專題06 海倫—秦九昭公式
【例題講解】
閱讀下列材料，解答后面的問題：我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：……①（其中、、為三角形的三邊長，為面積）．而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”：……②（其中）
（1）若已知三角形的三邊長分別為，，，試分別運用公式①和公式②計算該三角形的面積；
（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試寫出推導(dǎo)過程．
【詳解】解：（1）由公式得①得
由②得，故
（2）可以，過程如下：，
【綜合解答】
1．已知三角形的三邊長分別為，，，求其面積，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出海倫公式（其中），我國南宋時期數(shù)學(xué)教秦九昭提出了秦九昭公式，若一個三角形的三邊長分別為2，2，3，請你選擇自己喜歡的公式計算這個三角形的面積．
答案：
分析：根據(jù)題意可直接代入公式進行求解即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
2．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九昭及古希臘的幾何學(xué)家海倫對于問題：“已知三角形的三邊，如何求三角形的面積”進行了研究，并得到了海倫—秦九昭公式：如果一個三角形的三條邊分別為，記，那么三角形的面積為，請用此公式求解：在中，，，，求的面積.
答案：
分析：利用閱讀材料，先計算出p的值，然后根據(jù)海倫公式計算△ABC的面積；
【詳解】解：，，,
,
.
【點睛】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是代入后正確的運算，難度不大．
3．設(shè)一個三角形的三邊分別為a，b，c，p=（a+b+c），則有下列面積公式：S=（海倫公式）；S=（秦九韶公式）．
(1)一個三角形的三邊長依次為3，5，6，任選以上一個公式求這個三角形的面積；
(2)一個三角形的三邊長依次為，，，任選以上一個公式求這個三角形的面積．
答案：(1)2
(2)
分析：（1）先求出，再由海倫公式計算即可；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式計算即可．
【詳解】（1）∵一個三角形的三邊長依次為3，5，6，
∴，
由海倫公式得：；
（2）∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式得：．
【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用以及三角形面積公式；熟練掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．
4．材料閱讀：
古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為，這一公式稱為海倫公式．
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式，被稱之為秦九韶公式．
(1)海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．如圖①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面積．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為____________．
答案：(1)我同意這種說法．
(2)
分析：（1）分別代入公式求解，答案一樣就是一致的；
（2）利用角平分線的性質(zhì)與判定定理得點O到△ABC三邊的距離相等，設(shè)OD=x，再利用面積相等即可求解．
（1）
解：我同意這種說法．
驗證：利用海倫公式：p=×（5+6+7）=9．
△ABC的面積的面積為：；
利用秦九韶公式：
△ABC的面積的面積為
．
∵，
∴海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．且；
（2）
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，
∴點O分別到AB、BC及BC、AC的距離相等，
∴點O到AB、AC的距離相等，
∴O在∠BAC的平分線上，
∴O到三角形的三條邊的距離相等，距離為OD的長，設(shè)為x，
∴△ABC的面積等于：×（5+6+7）x=6，
解得：x=．
所以O(shè)D的長為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，角平分線的判定定理與性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是明白海倫公式與秦九韶公式的運用，代入數(shù)據(jù)即可．
5．閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積為．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，中國秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫-秦九韶公式” ．解答下列問題：如圖，在中，，，．
(1)的面積；
(2)過點A作，垂足為D，求線段AD的長．
答案：(1)
(2)
分析：（1）先求得三角形周長的一半，即的值，然后代入公式進行計算即可求解；
（2）根據(jù)三角形面積進行計算即可求解．
（1）
∵，，，∴，
∴的面積；
（2）
如圖，∵的面積，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了三角形面積公式，二次根式的應(yīng)用，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
6．秦九韶（1208年－1268年），字道古，漢族，生于普州安岳（今四川省安岳縣）人，祖籍魯郡（今河南范縣）．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家．他精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學(xué)，是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的世界著名數(shù)學(xué)家．他所提出的大衍求一術(shù)（中國剩余定理）和正負(fù)開方術(shù)及其名著《數(shù)書九章》，是中國數(shù)學(xué)史、乃至世界數(shù)學(xué)史上光彩奪目的一頁，對后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響．他寫的《數(shù)書九章》序堪稱一篇奇文．秦九韶的數(shù)學(xué)成果豐碩，其中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘幾何學(xué)家海倫的成果統(tǒng)稱海倫－秦九韶公式．如果一個三角形的三邊長分別是a、b、c，記，那么三角形的面積為：
(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，請用上面的公式計算△ABC的面積．
(2)如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E．求BE的長．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根據(jù)題目的指示，了解海倫-秦九昭公式，根據(jù)具體的數(shù)字先計算p的值，然后再代入公式，計算三角形的面積即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海倫-秦九韶公式求得△ABC的面積．再根據(jù)，即可求DE，根據(jù)勾股定理求出BE．
（1）
解：p＝，
∴；
（2）
解：如圖，過點E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足為F，H．
由角平分線的性質(zhì)可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海倫—秦九韶公式：
求得p=
△ABC的面積為：=．
∴，
即，
；
又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D
∴，
∴在Rt?BDE中， 由勾股定理得：
BE=．
【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉掌握海倫－秦九韶公式求三角形的面積．
7．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)已知等腰的底邊，若恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
(3)閱讀材料：若三邊的長分別為，那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得： ，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．
答案：(1)且
(2)
(3)
分析：（1）根據(jù)題意，計算一元二次方程根的判別式大于或等于0，根據(jù)一元二次方程的定義得出，即可求解；
（2）根據(jù)恰好是等腰的腰長，令，解一元二次方程求得，進而即可求解；
（3）由(2)知：的三邊長為，代入公式求得面積，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，且，
化簡得：，
解得：且；
（2）由題意知：恰好是等腰的腰長，
∴，
∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，
∴，
解得，
∴，
解得，
∵，
∴的周長為：；
（3）由(2)知：的三邊長為，
∴5，
∴，
過分別作，，，垂足分別為，
∵是△ABC角平分線的交點，
∴，
∴
，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
8．請閱讀下面材料，并解決問題：
海倫——秦九韶公式
海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個利用三角形的三條邊長直接求三角形面積的公式：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形的三條邊長分別為a，b，c，記那么三角形的面積．這個公式稱為海倫公式．秦九韶（約1202－1261年），我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式．它填補了中國數(shù)學(xué)史中的一個空白，從中可以看出中國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．通過公式變形，可以發(fā)現(xiàn)海倫公式和秦九韶公式實質(zhì)是同一個公式，所以海倫公式也稱海倫—秦九韶公式．
問題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，請用海倫一秦九韶公式求△ABC的面積．
答案：
分析：已知三角形ABC的三邊為整數(shù)，直接將其帶入海倫公式求面積即可.
【詳解】解：根據(jù)材料，得，，，
，
．
【點睛】本題題型屬于閱讀理解型，解題的關(guān)鍵是通過閱讀理解材料中所給的定義以及概念，再運用材料中的知識點解決對應(yīng)的問題即可．
9．在《九章算術(shù)》中有求三角形面積的公式“底乘高的一半”，但是在實際丈量土地面積時，準(zhǔn)確測量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長來求面積．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—約1261）提出了“三斜求積術(shù)”，簡稱秦九韶公式．古希臘的幾何學(xué)家海倫（Hern，約公元50年）在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了利用三角形三邊長求面積的方法和證明，相傳這個公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我國稱這個公式為海倫—秦九韶公式．它的表述為：如果一個三角形三邊長分別為a、b、c，那么三角形的面積為．（公式里的p為半周長，即）
請利用海倫——秦九韶公式解決以下問題：
(1)三邊長分別為3、6、7的三角形面積為___________．
(2)四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求該四邊形的面積．
答案：(1)
(2)
分析：（1）由題意直接將三邊長代入海倫—秦九韶公式即可求得答案；
（2）根據(jù)題意分別計算△ABC的面積和△ACD的面積進而相加即可得出四邊形的面積．
【詳解】（1）解：由海倫—秦九韶公式可得三邊長分別為3、6、7的三角形面積為：
，
；
（2）連接AC，如圖，
∵四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5，
∴△ABC的面積=×3×4＝6，
∵，
∴△ACD的面積=，
∴四邊形ABCD的面積為：.
【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式進行解答．
10．設(shè)一個三角形的三邊長為a，b，c，，則有下列面積公式：
（海倫公式），
（秦九韶公式）
請選擇合適的公式求下列三角形的面積：
(1)三角形的三邊長依次為a=5，b=6，c=7；
(2)三角形的邊長依次為a=，b=，c=．
答案：(1)
(2)
分析：（1）先求出，然后利用海倫公式求解即可；
（2）先求出，，，然后利用秦九韶公式求解即可；
（1）
解：∵a=5，b=6，c=7，
∴，
∴
；
（2）
解：∵a=，b=，c=，
∴，，，
∴
．
【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．
11．[閱讀材料]
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，為三角形和多邊形的面積計算提供了新的方法和思路，在知道三角形三邊的長而不知道高的情況下使用秦九韶公式可以更簡便地求出面積，比如說在測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地求出答案，即三角形的三邊長分別為a、b、c，則其面積S＝（秦九韶公式），此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記p＝，則其面積S＝（海倫公式），雖然這兩個公式形式上有所不同，但它們本質(zhì)是等價的，計算各有優(yōu)劣，它填補了中國數(shù)學(xué)史中的一個空白，從中可以看出中國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．
[解決問題]
（1）當(dāng)三角形的三邊a＝7，b＝8，c＝9時，請你從上面兩個公式里，選擇合適的公式計算出三角形的面積．
（2）當(dāng)三角形的三邊a＝，b＝2，c＝3時，請你從上面兩個公式里，選擇合適的公式計算出三角形的面積．
答案：（1）S=12；（2）S＝
分析：（1）利用三角形的三邊均為整數(shù)，可選擇海倫公式進行計算；
（2）利用三角形的三邊中有無理數(shù)，可選擇秦九韶公式進行計算．
【詳解】解：（1），
由海倫公式得：
，
，
；
（2）由秦九韶公式得：
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)常識，三角形的面積，二次根式的應(yīng)用，根據(jù)三角形三邊數(shù)字的特征選擇恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}的關(guān)鍵．
12．設(shè)一個三角形的三邊長分別為，，，，則有下列面積公式：
（海倫公式），
（秦九韶公式）．
（1）一個三角形的三邊長依次為，，，利用兩個公式分別求這個三角形的面積；
（2）一個三角形的三邊長依次為、，，利用兩個公式分別求這個三角形的面積．
答案：（1）；（2）
分析：（1）根據(jù)題目所給公式把，，代入求解即可得到答案；
（2）根據(jù)題目所給公式把，，代入求解即可得到答案．
【詳解】解：（1）由題意得：，
∴海倫公式求解：
；
秦九韶公式求解：
；
（2）∵，
∴，
同理得，，
∴海倫公式求解：∵，
∴
，
∴；
秦九韶公式求解：
；
【點睛】本題主要考查了二次根式的混合計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式和平方差公式．
13．閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積S＝．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問題：
如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．
答案：（1）△ABC的面積為；（2）
分析：（1）根據(jù)題中所給公式可進行求解；
（2）由（1）及利用等積法可進行求解．
【詳解】解：（1）∵a＝9，b＝7，c＝8，
∴，
∴；
（2）由（1）及題意得：，
∴．
【點睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
14．人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級下冊第16頁閱讀與思考給我們介紹了“海倫—秦九韶公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式：即如果一個三角形的三邊長分別為、、，記，那么這個三角形的面積為 ，如圖，在中，，，．
（1）求的面積；
（2）設(shè)邊上的高為，邊上的高為，邊上的高為，求的值．
答案：(1) ；(2) ．
分析：(1)直接將三角形的三邊代入計算，再根據(jù)根式的性質(zhì)進行化簡計算；
(2)通過三角形面積公式以及第一問求出來的結(jié)果進行計算，可分別得出三角形三邊的高，最后求和即可得出最終結(jié)果．
【詳解】解：(1) ，
，在中，，，，
代入可得，
；
(2) 設(shè)邊上的高為，邊上的高為，邊上的高為，
則=，
可得到，
，
，
．
【點睛】本題主要考查二次根式的運算，需要有較強的運算求解能力，熟練掌握二次根式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
15．綜合與實踐
問題情境
在學(xué)習(xí)了《勾股定理》和《實數(shù)》后，某班同學(xué)以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學(xué)活動.
操作發(fā)現(xiàn)
“畢達(dá)哥拉斯”小組的同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題.如圖1是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.在圖1中畫出△ABC，其頂點A，B，C都是格點，同時構(gòu)造正方形BDEF，使它的頂點都在格點上，且它的邊DE，EF分別經(jīng)過點C、A，他們借助此圖求出了△ABC的面積.

（1）在圖1中，所畫的△ABC的三邊長分別是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面積為 .
實踐探究
（2）在圖2所示的正方形網(wǎng)格中畫出△DEF（頂點都在格點上），使DE=，DF=， EF=，并寫出△DEF的面積.
繼續(xù)探究
“秦九韶”小組的同學(xué)想到借助曾經(jīng)閱讀的數(shù)學(xué)資料： 已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積，對此問題中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進行過深入研究.古希臘的幾何學(xué)家海倫(Hern，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式：
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202 ~1261），給出了著名的秦九韶公式：

（3）一個三角形的三邊長依次為，，，請你從上述材料中選用適當(dāng)?shù)墓?求這個三角形的面積.（寫出計算過程）
答案：（1），，，；（2）圖見解析；△DEF的面積為4；（3）.
分析：（1）利用勾股定理計算△ABC的三邊長；利用△ABC所在正方形的面積減去周圍直角三角形的面積可求其面積；
（2）仿照“畢達(dá)哥拉斯”小組的方法利用勾股定理在正方形網(wǎng)格中畫出△DEF，并利用割補法求其面積即可；
（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.
【詳解】解：（1），，，
△ABC的面積＝，
故答案為，，，；
（2）△DEF如圖所示，
△DEF的面積＝；
（3）將，，代入秦九韶公式，
得
.
【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用以及二次根式的運算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．
16．已知△ABC三條邊的長度分別是，，，記△ABC的周長為C△ABC ．
(1)當(dāng)x＝2時，△ABC的最長邊的長度是 （請直接寫出答案）；
(2)請求出C△ABC（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡）；
(3)我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：
．其中三角形邊長分別為a、b、c，三角形的面積為S．若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時，請用秦九韶公式求出△ABC的面積．
答案：(1)3
(2)＋5
(3)
分析：（1）依據(jù)△ABC三條邊的長度分別是，，，即可得到當(dāng)x＝2時，△ABC的最長邊的長度；
（2）依據(jù)根式有意義可得﹣1≤x≤4，進而化簡得到△ABC的周長；
（3）依據(jù)（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x為整數(shù)，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以從大到小依次驗證，即可得出△ABC的面積．
【詳解】（1）解：當(dāng)x＝2是，，，
∴△ABC的最長邊的長度是3；
（2）解：由題知：解得
∴，
∴C△ABC＝＋＋＝＋5?x＋x＝＋5
（3）解：∵C△ABC＝＋5，且
又∵x為整數(shù)，且C△ABC有最大值，
∴
∴當(dāng)x＝4時，三邊長度分別為1，4，，但，不滿足三角形三邊關(guān)系
∴x≠4
當(dāng)x＝3時，三邊長度分別為2，2，3，滿足三角形三邊關(guān)系．此時C△ABC的最大值為7
不妨設(shè)a＝2，b＝2，c＝3
．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)并根據(jù)三邊長度的特點選擇合適的公式代入計算．

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