一、選擇題
1．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，則等于( )
A.B.C.2D.4
2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.B.
C.和D.
3．若，則的值為( )
A.B.0C.1D.2
4．甲、乙兩類產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量小于乙類產(chǎn)品的平均質(zhì)量
B.乙類產(chǎn)品的質(zhì)量比甲類產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右
C.甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為
D.乙類產(chǎn)品平均質(zhì)量的方差為2
5．為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉.某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)，若他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為，若他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為( )
A.B.C.D.
6．2021年12月4日是第七個“國家憲法日”某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識，弘揚(yáng)憲法精神”的知識競賽活動，甲同學(xué)答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為用事件A表示“甲同學(xué)答對第一道題”，事件B表示“甲同學(xué)答對第二道題”，則( )
A.B.C.D.
7．已知隨機(jī)變量X服從二項分布，若，，則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，若對任意的，且，都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.若隨機(jī)變量的概率分布列為，則a=
B.若隨機(jī)變量，,則
C.若隨機(jī)變量，則
D.在含有4件次品的10件產(chǎn)品中，任取3件，X表示取到的次品數(shù)，則.
10．已知隨機(jī)變量X的分布列為
則( )
A.B.C.D.
11．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是( )
A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480
B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240
C.6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀每個工廠都有人，則有90種不同的安排方法
D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種
12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是( )
A.是的極大值點(diǎn)
B.函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)
C.對不等式在上恒成立
D.對任意兩個正實(shí)數(shù)，，且，若，則.
三、填空題
13．已知曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________
14．若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中項的系數(shù)為________用數(shù)字作答
15．如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點(diǎn)位于的位置”的概率為_________
16．已知函數(shù),若，則的最大值為_________
四、解答題
17．已知展開式中第3項和第5項的二項式系數(shù)相等.
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項.
18．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，有極小值，且極小值為，求函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在上的最大值和最小值.
19．為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級部組織全體同學(xué)進(jìn)行了主題為“二十大精神進(jìn)校園，培根鑄魂育新人”的二十大知識競賽，并選出了4名女生和3名男生共7名優(yōu)勝者賽后，7名同學(xué)站成一排，照相留念.
（1）女生必須站在一起的站隊方式有多少種
（2）男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種
（3）現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學(xué)做二十大學(xué)習(xí)成果匯報，要求每個小組必須既有男生又有女生，問有多少種安排方案
20．有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄?。孩?020年2月通過考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊集訓(xùn)隊從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎中選拔：②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點(diǎn)分?jǐn)?shù)線，③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線，該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表.
若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，則該學(xué)生估計進(jìn)入國家集訓(xùn)隊的概率是0.2，若進(jìn)入國家集訓(xùn)隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄?。呵懊嬉呀?jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.(注：自主招生考試通過且高考達(dá)重點(diǎn)線才能錄取)
（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）求該學(xué)生被該校錄取的概率.
21．某廠新開設(shè)了一條生產(chǎn)線，生產(chǎn)一種零件，為了監(jiān)控生產(chǎn)線的生產(chǎn)情況，每天需抽檢1件產(chǎn)品，監(jiān)測各件的核心指標(biāo)，下表是某天抽檢的核心指標(biāo)數(shù)據(jù)：
（1）求上表數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；
（2）若認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布.如果出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備.
①下面是另一天抽檢的核心指標(biāo)數(shù)據(jù)：
用（1）中的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s作為和的估計值和，利用和判斷這天是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；
假設(shè)生產(chǎn)線狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的10個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望.
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，.
22．已知函數(shù)，其中，e是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）當(dāng)時，證明：對,；
（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：由題可知：，
，
故選：D.
2．答案：D
解析：由題意，得：.
，由，得，即，解得：；
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：D
3．答案：C
解析：令，則，
令，則.
所以，
故選C
4．答案：A
解析：由圖象可知甲的正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，乙的正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，
所以甲類水果的平均質(zhì)量，乙類水果的平均質(zhì)量，故C錯誤
，故A正確
由圖可知甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右，故B錯誤.
結(jié)合乙類的圖像可知，，故，故D錯誤
故選A.
5．答案：B
解析：設(shè)“第1次投球進(jìn)”為事件A，“第2次投球進(jìn)”為事件B，
則
，
故選B.
6．答案：D
解析：依題意，，
.
故選D.
7．答案：A
解析：由隨機(jī)變量X服從二項分布.
又，，解得.
故選：A.
8．答案：B
解析：，
，，
，即在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，即在上恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，令，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減；，即.
故選B.
9．答案：BD
解析：對于A隨機(jī)變量的概率分布為,
,
,
,故A不正確;
對于B，，，故B正確；
對于C，由，得，故C錯誤；
對于D，由題意，得，故D正確.
故選BD.
10．答案：AC
解析：由，得，
則.
11．答案：ACD
解析：A.甲、乙不相鄰，先排剩下4人，有種方法，產(chǎn)生個空，甲、乙插空有種方法，共有(種)方法，故A正確；
B.6個人站成一排的所有站法有種，其中包括了，甲、乙、丙三人的所有站隊順序，甲、乙、丙三人站隊的方法數(shù)恰好是，
因此，甲、乙、丙三人按照從左向右的順序站隊的站法一共有(種)，故B錯誤；
C.6名同學(xué)平均分成三組有種分法，再到個不同工廠，有一共種分法，故C正確；
D.6名同學(xué)甲、乙、丙在一起存在兩種情況，
當(dāng)甲乙丙3人一組，分成三組有種分法，
當(dāng)甲乙丙3人和另外一人1一組，分成三組有種分法，
再參加不同的活動則有種分組方法.
故選ACD.
12．答案：BC
解析：A、，
令，解得，令，解得，
在上函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故A錯誤.
B、，
，
該函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，，時，，
函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，即B正確.
C、由，，可得，
令，則，
令，則，
時，，
在上單調(diào)遞減，
，，
在上函數(shù)單調(diào)遞減，
，；
因此，對不等式在上恒成立，故C正確.
D、由前面結(jié)論可知在上函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若對任意兩個正實(shí)數(shù)，，且，，
則，，
，
設(shè)，，
，
在上單調(diào)遞減，
，
，在時恒成立，
即，即，
，，在上單調(diào)遞增，
，即，故D錯誤.
故選BC.
13．答案：
解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因為，
則.
，
由題意得，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故答案為.
14．答案：
解析：由題意可得：，解得
的展開式通項為：，
令，解得
展開式中的項的系數(shù)為
15．答案：
解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右移動一次的事件為A，則.
因為質(zhì)點(diǎn)每次等可能地向左或向右移動一個單位，移動6次后位于-2的位置，
所以質(zhì)點(diǎn)向右移動2次，向左移動4次，
因此事件“質(zhì)點(diǎn)位于-2的位置”的概率為.
16．答案：
解析：不妨設(shè)，
，
，即有，，
故，
令，，
易知在上是增函數(shù)，且，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，
此時，
即的最小值為，所以的最大值為，
故答案為：.
17．答案：（1）；
（2）240
解析：（1）由題意得，所以.
（2）的展開式通項為
，
令，解得，
所以展開式中的常數(shù)項為.
18．答案：（1）；
（2）最大值為，最小值為
解析：（1），.
由得
解得，所以；
（2），，解得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
，，，
所以最大值為，最小值為.
19．答案：（1）576；
（2）2400；
（3）216
解析：（1）先排女生：，
再將女生看做一個整體與男生一起排列：
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，總的站隊方式有：種.
（2）法一：3個男生都不相鄰的方法有：種，
只有其余兩個男生相鄰的有：種，
所以男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有種.
法二：先排男生甲與4個女生有種，
再排第二個男生，有4種方法，
再排第三個男生，有5種方法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，總的站隊方式有：種.
（3）先將4個女生分成三組，有種方法，
再將三組女生分到三個年級有種，
再將三組男生分到三個年級有種，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有情況共種.
20．答案：（1）0.9；
（2）分布列見解析；3.3；
（3）0.838
解析：（1）設(shè)學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，參加國家集訓(xùn)隊的事件分別為A、B，則，，
則該學(xué)生參加自主招生考試的概率為，
即該學(xué)生參加自主招生考試的概率為0.9；
（2）該學(xué)生參加考試的次數(shù)X的可能取值為2，3，4，
，
，
，
；
（3）設(shè)該生自主招生考試通過且高考達(dá)重點(diǎn)分?jǐn)?shù)錄取，自主招生未通過但高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線錄取的事件為C、D，
，，，
所以該學(xué)生被該校錄取的概率為.
21．答案：（1）；；
（2）①這天需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；
②；
解析：（1）由數(shù)據(jù)表，得，
.
（2）①由（1）可知，，
所以，，
表中第9個數(shù)據(jù)，故這天需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備.
②抽取一個零件尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，
所以抽取一個零件其尺寸在之外的概率為，
故，所以.
X的數(shù)學(xué)期望為.
22．答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：（1）證明：當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，且，
所以當(dāng)時，，且時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以，對,.
（2）法一：若函數(shù)在上存在極值，
則在上存在零點(diǎn).
①當(dāng)時，為上的增函數(shù)，
，，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，
當(dāng)時，，為上的減函數(shù)；
當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；
②當(dāng)時，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無極值；
③當(dāng)時，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上無極值.
綜上知，使在上存在極值的a的取值范圍是.
法二：若函數(shù)在上存在極值，
則在上存在零點(diǎn)，
令，則
令，
方程在上有實(shí)根，
即函數(shù)與函數(shù)在上有交點(diǎn).
由，得，
顯然，，在上單調(diào)遞減，
則，
所以，當(dāng)時，與有交點(diǎn)，a的取值范圍是.
即當(dāng)時，存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，
當(dāng)時，，為上的減函數(shù)；
當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn).
綜上知，函數(shù)在上存在極值，a的取值范圍是.
X
1
2
3
P
m
省數(shù)學(xué)競賽一等獎
自主招生通過
高考達(dá)重點(diǎn)線
高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線
0.5
0.6
0.9
0.7
X
2
3
4
P
0.1
0.5
0.4

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