2022-2023學(xué)年重慶市永川區(qū)永川北山中學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A．m＜ B．m≤C．m＜2 D．m≤2【答案】A【分析】根據(jù)表示圓的條件D2＋E2－4F＞0，解不等式即可.【詳解】解：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜.故選：A.2．已知雙曲線的焦距為4，則的值為（    ）A．1 B． C．7 D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程確定，根據(jù)，即可得的值.【詳解】解：已知雙曲線的焦距為4，則，又，解得.故選：B.3．設(shè)點(diǎn)是關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)特點(diǎn)得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以所以.故選：A.4．設(shè)，則“”是“直線直線平行”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).所以“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí)，則有，解得或，若，則；若，則.所以“”推不出“”即“”是“”的不必要條件.故“”是“直線直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，考慮兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系是基本方法，本題屬于容易題.5．已知平面上一點(diǎn)M（5，0），若直線上存在點(diǎn)P使，則稱(chēng)該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】若直線為“切割型直線”，則點(diǎn)M到該直線的距離不大于4，點(diǎn)M（5，0）到直線的距離為，故A錯(cuò)誤；點(diǎn)M（5，0）到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)M（5，0）到直線的距離為，故C正確；點(diǎn)M（5，0）到直線的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：C．6．已知空間向量，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合題意，根據(jù)向量模的計(jì)算得，再求向量夾角余弦值即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，即，所以，所以.故選：C7．美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩(shī)、音樂(lè)、造型（繪畫(huà)、建筑等）和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫(huà)切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱(chēng)為切面圓柱體的母線）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長(zhǎng)母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個(gè)底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，依題意知，最長(zhǎng)母線與最短母線所在截面如圖所示．．從而．因此在橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，．，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎(chǔ)題.8．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，，所以，，所以，因?yàn)?/span>，，所以，，所以，故選：A 二、多選題9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（    ）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則【答案】AC【分析】根據(jù)條件結(jié)合空間向量的平行和垂直，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則，所以，即，故A正確；對(duì)于B，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則，所以，故C正確；對(duì)于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是，則，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC10．已知曲線C：，則（    ）A．當(dāng)m=n=2時(shí)，C為圓 B．當(dāng)m=n=1時(shí)，C為拋物線C．C不可能為橢圓 D．C可能為雙曲線【答案】ABD【分析】根據(jù)圓的方程和圓錐曲線的方程的結(jié)構(gòu)特征即可判斷答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，C為圓，A正確；當(dāng)時(shí)，C為拋物線，B正確；當(dāng)，且時(shí)，C為橢圓，C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，C為雙曲線，D正確.故選：ABD.11．已知圓，則下列四個(gè)命題表述正確的是（    ）A．圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于B．點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是C．若直線與圓相交，則點(diǎn)在圓外D．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓，直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A，圓心到直線的距離，又半徑，圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，則即圓上一點(diǎn)與的斜率取值范圍，如下圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，可得斜率的臨界值，則直線方程為，則圓心到直線的距離為，解得，結(jié)合圖形可知取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，若直線與圓相交，則圓心到直線得距離滿足，所以，即，則點(diǎn)在圓外，故C正確；對(duì)于D，如下圖，因?yàn)?/span>，不妨設(shè)切點(diǎn)在軸上，另一個(gè)切點(diǎn)為，連接，取中點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)，，，在以為圓心，為半徑的圓上，又，在圓上，兩圓方程對(duì)減，化簡(jiǎn)可得直線的方程為，故D正確.故選：BCD.12．泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱(chēng)該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5.D．點(diǎn)P的軌跡與圓：是沒(méi)有交匯的軌跡（也就是沒(méi)有交點(diǎn)）【答案】ABC【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對(duì)B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對(duì)C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對(duì)D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半，所以，化簡(jiǎn)得，故A正確；聯(lián)立方程可得，解得，故存在，所以直線：是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確；過(guò)P作PB垂直直線，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC. 三、填空題13．若, ,則與同方向的單位向量是_______.【答案】【分析】先由已知求出的坐標(biāo)，再除以可得答案【詳解】因?yàn)?/span>,，所以所以與同方向的單位向量為，故答案為：14．一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的倍，則這條直線的方程為__________【答案】【分析】由已知直線方程求其傾斜角的正切值，即可確定傾斜角的大小，再由二倍角求正切值得所求直線的斜率，代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【詳解】解：由直線，得其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，所以要求直線的斜率為．又直線過(guò)點(diǎn)，直線方程為，即．故答案為：．15．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為____________【答案】【分析】先設(shè)，然后把向量，，分別用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，對(duì)照已知的系數(shù)相等即可求解．【詳解】解：因?yàn)榭臻g，，，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，則可設(shè)，又點(diǎn)在平面外，則，即，則，又，所以，解得，.故答案為：．16．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】【分析】先把圓上存在點(diǎn)使得，轉(zhuǎn)化為圓與圓相交，利用，解不等式即可.【詳解】因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為90°，而，所以以AB為直徑的圓與圓存在公共點(diǎn)，故兩圓相交或相切，所以解得.故答案為：【點(diǎn)睛】圓C1和圓C2 的半徑分別為R和r，圓心距為d，圓與圓的位置關(guān)系由5種：（1）相離；（2）相外切；（3）相交；（4）相內(nèi)切；（5）相內(nèi)含； 四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，AC邊上的高BD所在直線方程為．AC邊上的中線BE所在直線方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及BC邊所在直線方程．【答案】(1)；(2)；. 【分析】（1）解直線BD與直線BE的方程組成的方程組，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）求出直線AC的方程，與直線BE的方程聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC方程作答.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)B是直線BD與直線BE的交點(diǎn)，由解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.（2）因，則設(shè)直線AC的方程為，而點(diǎn)，則，解得，直線AC：，由解得，于是得邊AC的中點(diǎn)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線BC的方程為，即，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，BC邊所在直線方程.18．已知雙曲線.（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，求得k，即可得答案；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法，代入A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即可求得斜率.【詳解】（1）因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線有共同的漸近線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，代入，得，所以所求雙曲線方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?/span>、在雙曲線上，所以，（1）-（2）得，因?yàn)?/span>A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即，所以.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)．(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）設(shè)，則圓為：，，從而得到，由此能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，由此能求出直線的方程．【詳解】（1）解： 在直線上，設(shè)，圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，圓，即圓，圓心，半徑；，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，則，，即，解得或，直線的方程為：或．20．如圖，矩形和梯形，，，平面平面，且，，過(guò)的平面交平面于．(1)求證：；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)榫匦?/span>，所以，平面，平面，所以平面．因?yàn)檫^(guò)的平面交平面于，由線面平行性質(zhì)定理，得；（2）解：由平面平面其交線為，平面，所以平面，又四邊形為矩形，所以以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系．由，，得，，，則，設(shè)平面法向量，則，取得．因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離.21．已知為等腰直角三角形，，將沿底邊上的高線折起到位置，使，如圖所示，分別取的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．【詳解】試題分析：（1）以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果；（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使平面，設(shè)，根據(jù)可求得.試題解析：由題知，且，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)．（1），設(shè)平面的法向量為，則，得，得，當(dāng)時(shí)，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為，那么，所以二面角的余弦值為； （2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使平面，設(shè)，則由，得，得，那么，當(dāng)平面時(shí)，，即存在實(shí)數(shù)，使，解得，那么，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角的大小以及存在性問(wèn)題，屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22．已知：的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線的方程為：，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線交直線于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證線段必過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析， 【分析】（1）根據(jù)題意可列方程，求解即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意知，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)在軸上，設(shè)直線方程：，設(shè)，，，代入橢圓方程可得，，求解直線直線方程，求解其與軸的交點(diǎn)，即可確定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）解：由題可知：，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由題意知，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)在軸上，又，設(shè)直線方程：，設(shè)，，，聯(lián)立方程得得所以，又所以直線方程為：令，則.所以直線過(guò)定點(diǎn). 

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