2023-2024學年重慶市永川北山中學高二上學期第一次月考數(shù)學試題含答案-試卷下載-教習網(wǎng)

一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知點，則直線的斜率是（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率計算公式直接求解即可.
【詳解】由題意點，
所以直線的斜率是.
故選：A．
2. 已知，且，則（）
A. B. 2C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先利用向量平行充要條件求得，進而求得的值.
【詳解】，且，
則，解之得，則
故選：B
3. 直線在軸上的截距為（）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】令可求直線在軸上的截距.
【詳解】令，則，故直線在軸上的截距為，
故選：B.
4. 已知直線l經(jīng)過點，平面的一個法向量為，則（）
A. B.
C. D. l與相交，但不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關系即可求解.
【詳解】因為直線l經(jīng)過點，
所以，又因為平面的一個法向量為，
且，所以平面的一個法向量與直線l的方向向量平行，
則，
故選：.
5. 已知圓的方程為，則圓的半徑為（）
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】把圓的一般方程化為標準方程，即可得出圓的半徑.
【詳解】將一般方程化為標準方程得，
∴ 圓的半徑為：.
故選：B.
【點睛】本題考查了圓的方程，通過配方把一般式化為標準式即可得出圓的圓心和半徑.
6. 已知點，，過點的直線與線段相交，則的斜率的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得直線和直線的斜率，再利用數(shù)形結合法求解.
【詳解】解：如圖所示：

，
由圖象知：當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線與線段相交，
故的斜率的取值范圍為.
故選：D.
7. 菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可證得平面，平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，
因為 E為AB的中點，所以，所以，
因為，平面，所以平面，
因為菱形的邊長為4，所以，
所以直角梯形面積為，
設四棱錐的高為，則，得，
所以，所以平面，
所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則
，
所以，
所以
所以，
所以F到直線BC的距離為，
故選：A

8. 閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為；過點且一個方向向量為的直線的方程為．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)新定義，求出平面的法向量，再由平面法向量求兩平面交線方向向量，利用空間向量線面角公式求解.
【詳解】∵平面的方程為，
∴平面的一個法向量為，
同理，可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為．
設平面與平面的交線的方向向量為，
則，取，則，
設直線與平面所成的角為，則．
故選：A．
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.
9. 關于直線，下列說法正確的有（）
A. 過點B. 斜率為
C. 傾斜角為60°D. 在軸上的截距為1
【答案】BC
【解析】
【分析】A. 當時，，所以該選項錯誤；
B. 直線的斜率為，所以該選項正確；
C.直線的傾斜角為60°，所以該選項正確；
D. 當時，，所以該選項錯誤.
【詳解】A. 當時，，所以直線不經(jīng)過點，所以該選項錯誤；
B. 由題得，所以直線的斜率為，所以該選項正確；
C. 由于直線的斜率為，所以直線的傾斜角為60°，所以該選項正確；
D. 當時，，所以直線在軸上的截距不為1，所以該選項錯誤.
故選：BC
10. 若構成空間的一個基底，則下列向量可以作為空間的另一個基底的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.
【詳解】因為構成空間的一個基底，則不共面.
對于A，因為，
所以向量共面，不能構成基底，故A錯誤；
對于B，因為，
所以向量共面，不能構成基底，故B錯誤；
對于C，假設向量共面，
則，即，
可得，則，此時，
這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，故C正確；
對于D，假設向量共面，
則，即，
可得，則無解，
這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，故D正確；
故選：CD.
11. 已知直線和直線，下列說法正確的是（）
A. 當時，
B. 當時，
C. 直線過定點，直線過定點
D. 當平行時，兩直線的距離為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行和垂直滿足的斜率關系即可判斷AB，根據(jù)定點的求解可判斷C，根據(jù)平行線間距離公式可判斷D.
【詳解】對于，當時，那么直線，
直線為，此時兩直線的斜率分別為和，
所以有，所以，故A選項正確；
對于，當時，那么直線為，直線為，此時兩直線重合，故B選項錯誤；
對于，由直線，整理可得：，故直線過定點，
直線：，整理可得：
，故直線過定點，故C選項正確；
對于，當平行時，兩直線的斜率相等，即
，解得：或，當時，兩直
線重合，舍去；當時，直線為為
，此時兩直線的距離，故D選項正確.
故選：ACD.
12. 在長方體中，，E，F(xiàn)，P，Q分別為棱的中點，則下列結論正確的是（）
A. B. 平面EFPQ
C. 平面EFPQD. 直線和所成角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設結論成立，然后通過條件驗證假設；C.通過面面平行來證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內，然后根據(jù)長度計算異面直線所成角的余弦值.
【詳解】A．如圖所示，

因為，所以四邊形是正方形，所以，
又因為幾何體為長方體，所以平面，所以，
又因為，所以平面，
又因為平面，所以，故結論正確；
B．如圖所示，

假設平面，因為平面，所以，
顯然不成立，故假設錯誤，所以結論錯誤；
C．如圖所示，

連接，由條件可知，所以，
又因為，所以平面平面，
又因為平面，所以平面，故結論正確；
D．如圖所示，

連接，因為，所以和所成角即為或其補角，
由條件可知：，所以，故結論正確.
故選：ACD.
【點睛】本題考查空間中的平行垂直關系的證明以及異面直線所成角的余弦值的計算，屬于立體幾何的綜合小題，難度一般.其解異面直線所成角的三角函數(shù)值時，可先通過將直線平移至同一平面內，此時兩條直線所形成的夾角即為異面直線所成角或其補角.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線l1：和l2：的交點的坐標為________．
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立兩直線方程解方程組即可.
【詳解】解方程組得
所以兩條直線交點的坐標為.
故答案為：
14. 如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，E為SC的中點，點D在SO上，若，則______．

【答案】2
【解析】
【分析】以O為坐標原點，OC，OA，OS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直的坐標表示可得.
【詳解】連接OC，因為，O為中點，所以，
由圓錐性質可知平面，所以OC，OA，OS兩兩垂直.
以O為坐標原點，OC，OA，OS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖），
則，，，，．
設，則，．
因為，所以，解得，故．
故答案為：2

15. 已知直線經(jīng)過點，且點到直線的距離相等，則直線的方程為__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，即可根據(jù)直線有無斜率求解.
【詳解】當直線有斜率時，設直線方程為，
到直線的距離相等，則，解得，
所以直線方程為，即，
當直線無斜率時，則直線方程為，此時到直線的距離均為3，符合題意，
綜上可得：或，
故答案為：或
16. 如圖，在平行六面體中，為的中點，若該六面體的棱長都為2，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，取空間向量一個基底，再利用空間向量數(shù)量積及運算律求出向量的模作答.
【詳解】在平行六面體中，令，顯然不共面，兩兩夾角為，
因為為的中點，則，
而，，
所以.
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知的三個頂點分別為.
（1）求邊所在直線的方程；
（2）求邊上的高所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩點式可得BC邊所在直線的方程；
（2）因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，由直線BC的斜率，可得BC邊上的高所在直線的斜率，再由點斜式可得BC邊上的高的直線方程.
【小問1詳解】
因為，
則所求直線方程為，即，
所以BC邊所在直線的方程為.
【小問2詳解】
因為，所以直線BC的斜率為，
因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，所以BC邊上的高所在直線的斜率為.
因為在BC邊上的高上，所以所求直線方程為，
即BC邊上的高所在直線的方程為.
18. 如圖，在直三棱柱中，，．

（1）求證：；
（2）求點到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標后利用它們的數(shù)量積為零可證異面直線的垂直.
（2）求出平面法向量和的坐標后可求點面距.
【小問1詳解】
建立直角坐標系，其中為坐標原點.

依題意得，
因為，所以.
【小問2詳解】
設是平面的法向量，
由得
所以，令，則，
因為，所以到平面的距離為.
19. 已知圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）若平面上有兩個點，，點是圓上的點且滿足，求點的坐標.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設出圓心，利用點到直線的距離公式即可求得圓的方程.
（2）根據(jù)已知條件求得滿足的方程聯(lián)立即可求得的坐標.
【小問1詳解】
∵圓心在直線上，
設圓心，
已知圓經(jīng)過點，，則由，
得
解得，所以圓心為，
半徑，
所以圓的方程為；
【小問2詳解】
設，
∵在圓上，∴，
又，，
由可得：，
化簡得，
聯(lián)立
解得或.
20. 如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，將沿BD折起到的位置，使．

（1）求證：平面平面ABD；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，根據(jù)二面角的定義或通過證明平面來證得平面平面．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值．
【小問1詳解】
如圖，取中點，連接OA，OP．
因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，所以、是邊長為2的正三角形，
因為O是BD中點，所以，
因為，所以，同理可得，因為，
所以，則，由二面角定義可得平面平面ABD．
或：又因為，平面ABD，平面，
所以平面，因為，所以平面平面．
【小問2詳解】
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
設平面PAD的一個法向量為，
由得，
令得，則，
設直線AB與平面PAD所成的角為，
則．
所以直線AB與平面PAD所成角的正弦值為．

21. 已知直線過點.
（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）若與軸正半軸的交點為，與軸正半軸的交點為，求當（為坐標原點）面積的最小值，直線的方程..
【答案】（1）或
（2）的方程為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分解直線經(jīng)過原點和直線不過原點，結合直線方程的形式，即可求解；
（2）設直線的方程為，得到，結合基本不等式，即可求解.
【小問1詳解】
解：當直線經(jīng)過原點時，直線的斜率為，所以直線的方程為，即；
當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點，可得，
所以所求直線方程為，即，
綜上可得，所求直線方程為：或.
【小問2詳解】
解：依題意，設點，直線的方程為，
又點在直線上，于是有，
利用基本不等式，即，當且僅當時等號成立，
所以，即的面積的最小值為12，此時的方程為.
22. 如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動點，且．

（1）證明:平面．
（2）是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在實數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.
【解析】
【分析】（1）由題設，根據(jù)線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質有，并由勾股定理證，最后應用線面垂直的判定證結論；
（2）取棱的中點，連接，構建空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，應用向量法求面面角的余弦值，結合已知列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.
【小問1詳解】

因為四邊形是菱形，所以.
因為平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，即.
因為平面，且，所以平面.
【小問2詳解】

取棱的中點，連接，易證兩兩垂直，
故以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系．
設，則，
故，
所以，
設平面的法向量為，則，
令，得．
平面的一個法向量為,設面與面所成的銳二面角為，
則，整理得，解得(舍去)．

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