1.已知某天從北京到上海的高鐵有43班，動車有2班，其他列車有3班，小張想這一天坐火車從北京到上海去旅游，不考慮其他因素，小張有多少種不同的選擇？( )
A. 48B. 49C. 258D. 89
2.A93等于( )
A. 9×3B. 93
C. 9×8×7D. 9×8×7×6×5×4×3
3.某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是( )
A. 110B. 210C. 810D. 910
4.已知某地區(qū)內(nèi)狗的壽命超過15歲的概率為0.8，超過20歲的概率為0.2，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過15歲的狗，壽命超過20歲的概率為( )
A. 0.16B. 0.25C. 0.6D. 0.4
5.若?1，x，3成等差數(shù)列，則x的值為( )
A. 1.5B. 1C. 2D. ± 2
6.數(shù)列an滿足an+1=4an+3，且a1=0，則a3=( )
A. 15B. 3C. 12D. 4
7.在等差數(shù)列an中，已知a1，a2014為方程x2?7x+6=0的兩根，則a2+a2013等于( )
A. 6B. 13C. 7D. 42
8.從集合1,2,3,4,5中選取兩個不同的元素，組成平面直角坐標系中點的坐標，則可確定的點的個數(shù)為( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
9.某一批種子的發(fā)芽率為23.從中隨機選擇3顆種子進行播種，那么恰有2顆種子發(fā)芽的概率為( )
A. 29B. 827C. 49D. 23
10.若Sn是等差數(shù)列an的前n項和，S9>Snn∈N?，則( )
A. a9≥0，a100，a10an
②Sn+1>Sn
③數(shù)列Sn有最小項
④數(shù)列Snn為遞增數(shù)列
⑤存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0
則以下結(jié)論正確的是 ．
三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題12分)
已知等差數(shù)列an中，a3=4，a7=?8．
(1)求這個數(shù)列的第10項；
(2)?56和?40是不是這個數(shù)列中的項？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由．
17.(本小題12分)
已知某種藥物對某種疾病地治愈率為34，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個患有該病的患者服用了這種藥物，觀察其中有多少患者會被這種藥物治愈．
(1)求出甲、乙、丙都被治愈而丁沒被治愈的概率；
(2)設(shè)有X人被治愈，求X的分布列和數(shù)學期望．
18.(本小題12分)
現(xiàn)有10件產(chǎn)品(除了2件一等品外，其余都是二等品)，任意從中抽取3件：
(1)一共有多少種不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少種？
(3)抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少種？
19.(本小題12分)
已知數(shù)列an的前n項和為Sn=2n2?18n
(1)求數(shù)列an的通項公式an
(2)判斷數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是，加以證明；若不是請說明理由；
(3)求Sn的最小值，并求Sn取最小值時n的值．
20.(本小題12分)
在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：
甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.52,9.50,9.40,9.35,9.30,9.25；
乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；
丙：9.85,9.65,9.20,9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，求X的分布列和數(shù)學期望EX；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證明)
21.(本小題12分)
在數(shù)列an中，已知a1=5，且an=2an?1+2n?1n≥2,n∈N+
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列an+λ2n為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.A
7.C
8.C
9.C
10.B
11.10
12.160
13.18
14.5；?1．
15.①③④⑤
16.(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，
則a3=a1+2d=4a7=a1+6d=?8，解得a1=10，d=?3，所以an=10+(n?1)×(?3)=13?3n，
故a10=13?30=?17．
(2)由(1)知an=13?3n，由?56=13?3n，得到n=23∈N?，由?40=13?3n，得到n=533?N?，
所以?56是這個數(shù)列中的項，是第23項，?40不是這個數(shù)列中的項．
17.(1)設(shè)甲、乙、丙都被治愈而丁沒被治愈的概率為P1，
因為每名患者被治愈的概率不會互相影響，所以構(gòu)成獨立重復(fù)實驗．
則P1=34×34×34×(1?34)=27256
(2)根據(jù)題意可知X=0,1,2,3,4.則X～B(4,34).
P(X=0)=C40(34)0(14)4=1256，
P(X=1)=C41(34)1(14)3=364，
P(X=2)=C42(34)2(14)2=27128，
P(X=3)=C43(34)3(14)1=2764，
P(X=4)=C44(34)4(14)0=81256．
則X分布列為：
數(shù)學期望為：E(X)=np=4×34=3．
18.(1)從10件產(chǎn)品中任意抽取3件，共有C103=10×9×83×2×1=120種不同抽法；
(2)從10件產(chǎn)品中任意抽取3件恰有1件一等品，這件事可分兩步完成：
第一步，從2件一等品中抽取1件一等品，共有C21種抽法；
第二步，從8件二等品中抽取2件二等品，共有C82種抽法，
根據(jù)乘法原理，不同的抽法種數(shù)為C21C82=56種.
(3)從10件產(chǎn)品中任意抽取3件至少有1件一等品，這件事可分兩類：
第一類，抽取的3件產(chǎn)品中有1件一等品的抽法有C21C82種；
第二類，抽取的3件產(chǎn)品中有2件一等品的抽法有C22C81種；
由加法原理得，不同的抽法共有C21C82+C22C81=64種.
19.(1)當n=1時，a1=S1=?16，
當n≥2時，an=Sn?Sn?1=2n2?18n?2n?12?18n?1=4n?20，
又4×1?20=?16，
所以n=1時，an=4n?20也成立，
所以數(shù)列an的通項公式為an=4n?20，n∈N?．
(2)數(shù)列an為等差數(shù)列，證明如下：
因為an+1?an=4n+1?20?4n?20=4，
所以數(shù)列an是等差數(shù)列．
(3)因為Sn=2n2?18n=2n?922?812，又n∈N?，
所以當n=4或5時，Sn最小，最小值為S4=S5=?40．
20.(1)由題知，甲以往10次比賽，其中成績在9.50m以上(含9.50m)共有6次，
所以甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為610=35．
(2)記事件A：甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎，事件B：乙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎，
事件C：丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎，
則P(A)=35，P(B)=12，P(C)=12，
X的可能取值為0,1,2,3，
P(X=0)=(1?35)(1?12)(1?12)=110，
P(X=1)=35(1?12)(1?12)+25×12×12×2=720，
P(X=2)=35×12×12×2+25×12×12=25，
P(X=3)=35×12×12=320，
所以X的分布列為
E(X)=0×110+1×720+2×25+3×320=85．
(3)丙奪冠概率估計值最大．
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85m的概率為14，
甲獲得9.80m的概率為110，乙獲得9.78m的概率為16，
并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利．
21.(1)因為a1=5，且an=2an?1+2n?1n≥2,n∈N+，
所以a2=2a1+2=2×5+2=12，a3=2a2+22=2×12+22=28．
(2)假設(shè)數(shù)列an+λ2n為等差數(shù)列，
因為an=2an?1+2n?1，所以an+λ2n?an?1+λ2n?1=an+λ?2an?1?2λ2n=2an?1+2n?1+λ?2an?1?2λ2n=2n?1?λ2n=12?λ2n，
當λ=0，得到an+λ2n?an?1+λ2n?1=12為常數(shù)，
故存在實數(shù)λ，使得數(shù)列an+λ2n為等差數(shù)列，λ=0．
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256
X
0
1
2
3
P
110
720
25
320

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