2022-2023學年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷1.  已知直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為(    )A.  B.  C.  D. 2.  若直線與直線垂直，則(    )A.  B.  C. 2 D. 3.  已知拋物線C：，則焦點坐標為(    )A.  B.  C.  D. 4.  若點，點，且，則點C的坐標為(    )A.  B.  C.  D. 5.  若圓：與圓：相內(nèi)切，則r為(    )A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或56.  將單位圓上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>3倍，再將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，得到的曲線方程為(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知雙曲線C：的離心率是2，則其漸近線的方程為(    )A.  B.  C.  D. 8.  在長方體中，，，，則直線與平面內(nèi)直線所成的角中最小角為(    )A.  B.  C.  D. 9.  在平面內(nèi)，A、B是兩個不同的定點，C是動點，若，則點C的軌跡為(    )A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線10.  從7個人中選4人負責元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人員不重復，則不同安排方式的種數(shù)可表示為(    )A.  B.  C.  D. 11.  圓的圓心為______，半徑為______.12.  過點且與直線l：平行的直線方程為______.13.  在的展開式中，x的系數(shù)為______.14.  設(shè)雙曲線的兩個焦點是，，點P在雙曲線上，則______；若為直角，則點P的縱坐標的是______.15.  數(shù)學中有許多美麗的曲線，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．如曲線C：，如圖所示，給出下列三個結(jié)論
①曲線C關(guān)于直線對稱；
②曲線C上任意一點到原點的距離都小于；
③曲線C圍成的圖形的面積是
其中，正確結(jié)論的序號是______.
 16.  在平面直角坐標系中，已知圓M的圓心在直線上，且與直線相切于點
求圓M的方程；
若定點，點B在圓上，求的最小值．
17.  已知拋物線C：的焦點為
求p的值；
過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩個不同點，若AB的中點為，求的面積．18.  如圖，在長方體中，，，點E在AB上，且
求直線與所成角的大??；
求與平面所成角的正弦．
19.  如圖，四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，
求證：平面PAB；
求平面PAB與平面PCD所成角的大?。?/span>
20.  已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，且，且
求橢圓C的方程；
過點的直線l與橢圓C交于A，B兩個不同的點，求證：x軸上存在定點P，使得直線PA與直線PB的斜率之和為零．21.  如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點．
求證：；
若平面PAC，求二面角的大小；
在的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得平面若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：直線l的傾斜角為，則直線l的斜率的值為
故選：
由題意利用直線l的傾斜角和斜率的關(guān)系，求得結(jié)果．
本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】C 【解析】解：直線與直線垂直，
，解得
故選：
由直線的垂直關(guān)系可得，解方程可得．
本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
 3.【答案】D 【解析】解：已知拋物線C：，
則焦點坐標為，
故選：
由拋物線的性質(zhì)求解即可．
本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
 4.【答案】A 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，
則，，
又由，則，解可得，即點C的坐標為，
故選：
根據(jù)題意，設(shè)，由空間向量的坐標計算公式可得關(guān)于x、y、z的方程組，解可得x、y、z的值，即可得答案．
本題考查空間向量的坐標計算，注意空間向量的坐標計算公式，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】D 【解析】解：根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑為r，
圓：，其圓心為，半徑為3，
則兩圓的圓心距；
若圓：與圓：相內(nèi)切，
則有，解可得或5，
故選：
根據(jù)題意，分析兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得，解可得答案．
本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】C 【解析】解：設(shè)點為所求曲線上任意一點，為圓上的點，
因為圓上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>3倍，
所以，，
又因為，
所以
故選：
設(shè)點為所曲求線上任意一點，為圓上的點，根據(jù)題意得到，，再結(jié)合題意中，即可得到答案．
本題主要考查了曲線方程的求解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的有關(guān)方法，以及幾何正確的運算．
 7.【答案】B 【解析】解：已知雙曲線C：的離心率是2，
則，
即，
即，
又，
即，
即雙曲線的漸近線的方程為，
即，
故選：
由雙曲線的性質(zhì)求解即可．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
 8.【答案】B 【解析】解：如圖，連接，

設(shè)l是平面內(nèi)任一直線，是l的一個方向向量，
①當或l與BC重合時，即等于直線和l所成的角，
又，，，
則在中，；
②當l與BC不平行且不重合時，
設(shè)，，，則可以作為空間向量的一個基底，
且，兩兩垂直，
則，且，
根據(jù)平面向量基本定理，可知，，，顯然，
則與向量共線，
所以也是l的一個方向向量，
設(shè)，則，
設(shè)直線和l所成的角為，則，
，，，所以，
則，
令，整理可得，
該方程有解，即，
解得，即，
所以，
因為，在上單調(diào)遞減，
所以當時，取最小值為，
又，即，
綜上所述，直線與平面內(nèi)直線所成的角中最小角為，
故選：
設(shè)l是平面內(nèi)任一直線，是l的一個方向向量，
當或l與BC重合時，即等于線線角，在中，求出即可；
當l與BC不平行且不重合時，設(shè)，，，則可以作為空間向量的一個基底，
則，根據(jù)平面向量基本定理以及共線向量可得到l的一個方向向量，
設(shè)線線角為，則，
令，用判別式法求出，即可得到，從而求出結(jié)果．
本題主要考查直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 9.【答案】A 【解析】解：根據(jù)題意可設(shè)，，其中，設(shè)C為，
 又，
，
化簡整理可得，，
的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．
故選：
根據(jù)“五步求曲“可直接求解．
本題考查軌跡方程的求解，“五步求曲“法的應用，屬基礎(chǔ)題．
 10.【答案】D 【解析】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①先在7人中選出2人，安排在第一天值班，有種安排方法，
②再從剩下的5人中選出2人，安排在第二天和第三天值班，有種安排方法，
則有種安排方法，
故選：
根據(jù)題意，分2步進行分析：①先在7人中選出2人，安排在第一天值班，②在從剩下的5人中選出2人，安排在第二天和第三天值班，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：圓，即圓，
故它的圓心為，半徑為1，
故答案為：；
把圓的方程化為標準形式，可得圓心和半徑．
本題主要考查圓的標準方程形式，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)與直線平行的直線的方程，
把點代入，得：，解得，
所求直線方程為：
故答案為：
設(shè)與直線平行的直線的方程，把點代入，能求出結(jié)果．
本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意直線與直線平行的性質(zhì)的合理運用．
 13.【答案】10 【解析】解：的展開式中，通項公式為，
令，可得，故x的系數(shù)為，
故答案為：
先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，即可求得展開式中的x的系數(shù)．
本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】  【解析】解：已知雙曲線的兩個焦點是，，點P在雙曲線上，
則；
又為直角，
由雙曲線方程可得，，
設(shè)，
由為直角，
則，
則，
即，
又，
則，
即，
則點P的縱坐標的是，
故答案為：；
由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的運算求解即可．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了平面向量的數(shù)量積的運算，屬基礎(chǔ)題．
 15.【答案】①③ 【解析】解：設(shè)為曲線上的任意一點，則關(guān)于對稱的點滿足，①正確；
由題意可得，曲線上任意兩點之間的距離的最大值為，②錯誤；
當，時，方程可化為：，
即，其軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，曲線圍成的面積為，③正確．
故選：①③．
由已知結(jié)合曲線的對稱性檢驗①，結(jié)合圓的性質(zhì)檢驗②③即可判斷．
本題主要考查了曲線的對稱性，圓的性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題．
 16.【答案】解：設(shè)圓M為，則，半徑為r，
因為圓心在直線上，所以，
因為直線與圓M相切于點，所以直線與直線PM垂直，
所以，即，則，解得，則，
所以，
故圓M為
因為，所以點在圓M外，
因為，
所以，即的最小值為 【解析】利用待定系數(shù)法設(shè)得圓，再根據(jù)題意得到關(guān)于a，b的方程，進而求得r，由此得到圓M的方程；
利用定點到圓上動點的最小距離的求法求解即可．
本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由焦點為，知，所以
由知，拋物線C：，
因為，，所以直線l的方程為，即，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去x，得，
所以，，
所以，
所以的面積 【解析】由，得解；
由，，寫出直線l的方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求得的值，再利用，得解．
本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，三角形面積的求法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，

則，，，，，
所以，，
所以，
所以，
故直線與所成角為
因為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，于是，
設(shè)與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為 【解析】以D為原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，求出，，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與所成角的余弦值即可；
求出平面的法向量，利用平面法向量與直線方向向量的夾角即可求解線面角．
本題主要考查直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 19.【答案】解：證明：底面ABCD為直角梯形，，，
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB；
平面平面ABCD，且平面平面，
又，平面ABCD，
又，即，則建立以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，如圖所示：

，，，則，，，，，
設(shè)平面PCD的一個法向量為，，，
則，取，則，，
平面PCD的一個法向量為，
又平面PAB，則平面PAB的一個法向量為，
，，
由圖形得平面PAB與平面PCD所成角為銳二面角，
平面PAB與平面PCD所成角為 【解析】由題意得，利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
由題意可得AB，AD，AP兩兩垂直，則建立以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，利用向量法，即可得出答案．
本題考查直線與平面平行和二面角，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：因為橢圓C：中，，所以，
又因為，所以，解得，，
所以橢圓C的方程為；
證明：因為點，設(shè)x軸上的點為，直線l與橢圓C交于點，，
直線l的方程為，由，消去x，整理得，
所以，；
又因為直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，
所以時，
；
把，代入上式化簡得，
所以，
化簡得，解得，
所以x軸上存在定點，使得直線PA與直線PB的斜率之和為零． 【解析】根據(jù)題意求出c、a和b的值，即可寫出橢圓C的方程；
設(shè)x軸上的點，直線l的方程為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去x，得y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線PA、PB的斜率，利用求出的值即可．
本題考查了直線與橢圓方程的應用問題，也考查了運算求解能力與推理論證能力，是難題．
 21.【答案】解：證明：連接AC、BD，設(shè)AC交BD于點O，連接SO，如圖所示：

由題意得O是AC、BD的中點，且，
，
又，平面SBD，平面SBD，
平面SBD，
又平面SBD，
；
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則，
又，則，
連接OP，由得平面SBD，且平面SBD，則，
又，則二面角的平面角為，
平面PAC，平面PAC，
，，
二面角的大小為；
假設(shè)側(cè)棱SC上存在一點E，使得平面PAC，
由得二面角的大小為，在中，，
又，則SP：：1，
取SP上一點F，使得，連接BF，過點F作交SC于點E，如圖所示：

在中，O是BD中點，則，
又，且，平面BEF，平面BEF，
平面平面POC，
平面PAC，
又SF：：1，則SE：： 【解析】連接AC、BD，設(shè)AC交BD于點O，連接SO，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則，又，則，根據(jù)二面角的定義可得二面角的平面角為，即可得出答案；
由得二面角的大小為，在中，，根據(jù)面面平行的判定定理，取SP上一點F，使得，連接BF，過點F作交SC于點E，可得平面PAC，即可得出答案．
本題考查直線與平面垂直、平行，二面角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力、直觀想象，屬于中檔題．
 

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