一、選擇題
1．已知集合，集合，則( )
A.B.C.D.
2．設(shè)，則復(fù)數(shù)( )
A.B.C.D.
3．已知命題p：，；命題q：，，則下列命題中為真命題的是( )
A.B.C.D.
4．函數(shù)的一條對稱軸是( )
A.B.C.D.
5．若x，y滿足約束條件，則最大值為( )
A.6B.4C.3D.2
6．若，則( )
A.B.C.D.
7．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，當(dāng)你到達路口時，看見黃燈的概率為( )
A.B.C.D.
8．下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( )
A.B.C.D.
9．在正方體中，直線與平面所成角為( )
A.B.C.D.
10．已知為數(shù)列的前n項積，若，則數(shù)列的前n項和( )
A.B.C.D.
11．拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線交C于P，Q兩點，C的準線交x軸于點R，若，則C的方程為( )
A.B.C.D.
12．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．已知向量，，若，則______.
14．雙曲線的焦點到其漸近線的距離是__________.
15．記為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，若，，則______.
16．在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點的平面將該正方體截去一個三棱錐.所得多面體的三視圖中，以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成這個多面體的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為___________（寫出符合要求的一組答案即可）.
三、解答題
17．A，B兩臺機器生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機器產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機器各生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
（1）A，B兩臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率分別是多少？
（2）能否有90%的把握認為A機器的產(chǎn)品質(zhì)量與B機器的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：，
18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，且.
（1）求b；
（2）求.
19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，.
（1）證明：平面平面；
（2）求及三棱錐的體積.
20．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有2個零點，求a的值.
（注：）
21．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記點P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
（2）過坐標原點的直線交曲線C于A，B兩點，點A在第一象限，軸，垂足為D，連結(jié)并延長交曲線C于點H.證明：直線與的斜率之積為定值；
22．在直角坐標系中，的圓心為，半徑為4.
（1）寫出的一個參數(shù)方程；
（2）直線l與相切，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，若，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線l的極坐標方程.
23．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：由，集合，
得.
故選：D.
2．答案：A
解析：由題意可得：.
故選：A.
3．答案：C
解析：對于命題p，當(dāng)時，，故命題p為真命題；
對于命題q，當(dāng)時，，所以命題q為假命題.
所以，為真命題，，，為假命題.
故選：C.
4．答案：C
解析：.
A：因為，
所以本選項不符合題意；
B：因為，
所以本選項不符合題意；
C：因為，
所以本選項符合題意；
D：因為，
所以本選項不符合題意，
故選：C.
5．答案：B
解析：畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，
目標函數(shù)，可化為直線，
當(dāng)經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，
聯(lián)立方程組，解得，代入可得.
故選：B.
6．答案：D
解析：.
故選：D.
7．答案：D
解析：由題意可得：看見黃燈的概率為.
故選：D.
8．答案：B
解析：A選項，對于函數(shù)，由解得，
所以的定義域是，所以是非奇非偶函數(shù).
B選項，對于函數(shù)，由解得，
所以的定義域是，
，所以是奇函數(shù)，B選項正確.
C選項，對于函數(shù)，的定義域是R，
，所以是偶函數(shù).
D選項，對于函數(shù)，所以的定義域是R，
，所以是偶函數(shù).
故選：B.
9．答案：A
解析：如圖，連接交于O，連接，
因為平面，在平面內(nèi)，
所以，又，，，平面，
所以平面，
所以為直線和平面所成的角，
設(shè)正方體的棱長為1，則，，，又平面，故，
所以，
因為，所以，
所以直線和平面所成的角為，
故選：A.
10．答案：A
解析：因為為數(shù)列的前n項積，所以可得，
因為，所以，
即，所以，
又，得，所以，
故是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；
，
故選：A.
11．答案：C
解析：由題可設(shè)拋物線的方程為，則準線方程為，
當(dāng)時，可得，
可得，，又，，
所以，即，
解得，
所以C的方程為.
故選：C.
12．答案：B
解析：當(dāng)時，，，，，則不成立；
當(dāng)時，，，，，
由，得，得，與矛盾，舍去，
當(dāng)時，，，，，
由，得，則，得.
綜上，滿足的x的取值范圍是.
故選：B.
13．答案：4
解析：，
由于，
所以.
故答案為：4.
14．答案：3
解析：由題意得：，故雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為，
則焦點到其漸近線的距離是.
故答案為：3.
15．答案：30
解析：因為，，，
所以，，由，可得，
所以，
所以.
故答案為：30.
16．答案：④⑤
解析：根據(jù)題意，在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點的平面將該正方體截去一個三棱錐，如果圖①是正視圖，則幾何體若如圖下圖（1）所示，則此時側(cè)視圖和俯視圖的編號依次④⑤；
幾何體若如圖下圖（2）所示，則此時側(cè)視圖和俯視圖的編號依次⑤④；
圖（1）圖（2）
故答案為：④⑤（或⑤④）.
17．答案：（1）0.3；0.2；
（2）沒有90%的把握認為A機器的產(chǎn)品質(zhì)量與B機器的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
解析：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，
A機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率是，
B機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率是；
（2）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可得，
因為，
所以沒有90%的把握認為A機器的產(chǎn)品質(zhì)量與B機器的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為的面積為，且，
可得，所以，
又因為，所以，
由余弦定理可得，所以.
（2）由（1）可得，則，
又由，
因為，則，聯(lián)立方程組，解得，，
根據(jù)正弦定理，即，
所以，
同理得，
所以.
19．答案：（1）證明見解析
（2），
解析：（1）因為平面，又平面，
所以，又，且，，平面SAC，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）連接，由（1）可知，平面，
又平面，故，
又四邊形是矩形，所以四邊形是正方形，所以.
所以
.
20．答案：（1）答案見解析
（2）
解析：（1），，
當(dāng)，即時，，所以在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即或時，
令，解得，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時，，此時函數(shù)無零點，
當(dāng)時，等價于，
設(shè)，，則，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，
又，當(dāng)且時，，當(dāng)時，，
如圖作出函數(shù)的大致圖象，
由圖可知，要使，兩個函數(shù)有兩個交點，則，
即當(dāng)時，有且只有2個零點.
21．答案：（1），C為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點
（2）證明見解析
解析：（1）因為，，，
所以，，
所以，化解得，
所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點；
（2）設(shè)直線的斜率為k，則其方程為，
由，得，記，則，，，
于是直線的斜率為，方程為，
由，得①，
設(shè)，則和是方程①的解，
故，由此得，
從而直線的斜率，
所以，即直線與的斜率之積為定值.
22．答案：（1）（為參數(shù)）；
（2），或.
解析：（1）由題意可知，的標準方程為，
所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
（2）由題意可知，直線l的斜率為，設(shè)其方程為，即，
因為圓心到直線l的距離為4，所以，
化解得，解得，或，
所以直線l的直角坐標方程為，或，
所以直線l的極坐標方程為，或.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）當(dāng)時，，
由，得，
當(dāng)時，得，解得，又，所以；
當(dāng)時，得，不成立；
當(dāng)時，得，解得，又，所以.
綜上，原不等式的解集為或.
（2）根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)，
，
當(dāng)x的值在a與之間（包括兩個端點）時取等號，
若，則只需，當(dāng)時，，恒成立；
當(dāng)時，等價于，或，解得，
綜上，a的取值范圍為.
一級品
二級品
合計
A機器
70
30
100
B機器
80
20
100
合計
150
50
200
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
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