2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由元素與集合的關系判斷和集合與集合關系的判斷及表示方法，對選項逐一分析.
【詳解】集合，
，A選項錯誤；
，元素與集合不能用符號，B選項錯誤；
根據(jù)子集的定義，有，C選項正確；
集合不是集合中的元素，不能用符號，D選項錯誤.
故選：C.
2. 已知等比數(shù)列前n項和為，若，，則=（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得公比，從而求得正確答案.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
依題意，，，
即，
所以，
解得或，
所以或，
所以.
故選：B
3. “數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先假設數(shù)列是等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的性質設出其首項及公差，計算可得數(shù)列亦為等差數(shù)列，舉出恰當?shù)臄?shù)列的通項公式，使是等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列即可得.
【詳解】若數(shù)列是等差數(shù)列，可設其首項為，公差為，
則，則，
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；
若數(shù)列是等差數(shù)列，取，則，符合要求，
但數(shù)列不為等差數(shù)列，
故“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A,
4. 香農一維納指數(shù)（H）是在生物學中衡量群落中的生物多樣性的一個指標，其計算公式為，其中n為群落中物種總數(shù)，為第i個物種的個體數(shù)量占群落中所有物種個體數(shù)量的比例．已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個體數(shù)量為N，在引入數(shù)量為M的一個新物種后，指數(shù)（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)的含義，表示，再結合，，利用對數(shù)的運算法則化簡運算可得.
【詳解】不妨設引入數(shù)量為M的新物種之前，該群落中原有物種總數(shù)為，
由題意得，且，
在引入數(shù)量為M的一個新物種后，，
故選：B.
5. 若是偶函數(shù)，則a的值為（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程來求得的值.
【詳解】的定義域為，
由于是偶函數(shù)，所以，
所以，
，
，
所以.
故選：A
6. 已知冪函數(shù)，直線是曲線的切線，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的函數(shù)類型，求得，再利用導數(shù)的幾何意義，求得即可.
【詳解】因為為冪函數(shù)，故，解得，則，；
不妨設也即與y=f(x)的切點為，
則，且，解得.
故選：D.
7. 已知奇函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若，則（ ）
A B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】借助奇函數(shù)的性質，結合復合函數(shù)的導數(shù)公式可得，結合已知條件可得的周期，再利用賦值法結合其周期計算即可得解.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，
由，則，即，
即有，則，
即具有周期性，且其周期為，則，
對，令，則有，即，即.
故選：D.
8. 設實數(shù)，若不等式對任意恒成立，則a的最小值為（ ）
A. B. C. eD. 2e
【答案】B
【解析】
【分析】通過同構得對任意恒成立，令，利用導數(shù)得在上單調遞增，從而得，即有在上恒成立，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得答案.
【詳解】解：因為不等式對任意恒成立，
即不等式對任意恒成立，
不等式對任意恒成立，
所以不等式對任意恒成立，
令，則，
令，則，
當時，即單調遞減；
當時，即單調遞增；
所以，
所以在上單調遞增，
又因為式對任意恒成立，
即，
所以在上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，則，
所以當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
所以，所以，
所以a的最小值為.
故選：B.
【點睛】方法點睛：在利用導數(shù)解答恒成立問題時，如果題設中有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，經常通過同構法，轉化為函數(shù)的單調性進行求解.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質、結合冪函數(shù)單調性逐項判斷即得.
【詳解】對于A，由，得，A正確；
對于B，，得，而，則，B錯誤；
對于C，函數(shù)在上單調遞增，，則，C正確；
對于D，，D正確.
故選：ACD
10. 已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（ ）
A. B.
C. 當時，取最小值D. 當時，n的最大值為10
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件得到，結合等差數(shù)列的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，
依題意，
所以異號，而，所以，，A選項正確.
則，
所以，B選項正確.
由于，則，所以等差數(shù)列的前項為負數(shù)，
從第項起為正數(shù)，所以當時，最小，所以C選項錯誤.
，
所以當時，n最大值為10，所以D選項正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 曲線關于點成中心對稱
B. ，無極值
C. 若在上單調遞增，則
D. 若曲線與x軸分別交于點，，，且在這三個點處的切線斜率分別為，，，則為定值
【答案】BD
【解析】
【分析】A項判斷是否恒成立即可；B項取特值利用導數(shù)研究極值可得；C項轉化為在恒成立問題求解；D項求導數(shù)可得斜率，再代入化簡即可得.
【詳解】A項，，
.
當且僅當時，曲線關于點成中心對稱.
即當時，曲線不關于點成中心對稱，故A錯誤；
B項，當時，，
，則在上單調遞增，不存在極值，
即，無極值，故B正確；
C項，若在上單調遞增，
則在恒成立，即，恒成立，
又由，得，所以要使恒成立，則，故C錯誤；
D項，由題意可知，
，
則；
；.
故，
即為定值，故D正確.
故選：BD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 設，，，則的最小值為______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結合基本不等式，求解即可.
【詳解】因為，，，
故，
當且僅當，也即時取得等號.
故答案為：.
13. 寫出一個同時滿足下列三個條件的數(shù)列的通項公式：______
①；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的前n項和恒成立．
【答案】(不唯一)
【解析】
【分析】根據(jù)①②，可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)，且底數(shù)滿足，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式驗證③即可.
【詳解】解：因為①，可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)；
又因為②數(shù)列是遞減數(shù)列，可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)中底數(shù)滿足；
當時，，
所以，滿足①；
且數(shù)列是遞減數(shù)列，滿足②；
，滿足③.
故答案為：(不唯一)
14. 俄國數(shù)學家切比雪夫是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅．對定義在非空集合I上的函數(shù)，以及函數(shù)，切比雪夫將函數(shù)，的最大值稱為函數(shù)與的“偏差”．若，，則函數(shù)與的“偏差”取得最小值時，m的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】結合所給條件，可得函數(shù)與的“偏差”為，結合絕對值不等式，求出即可得.
【詳解】令，
令，
因為，所以，，
由，則，
令，即，解得，
則ymax=maxm,m+4=-m,m≤-2m+4,m>-2，
故當且僅當時，有.
故函數(shù)與的“偏差”取得最小值時，m的值為.
故答案為：-2
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于結合題意得到y(tǒng)max=maxm,m+4=-m,m≤-2m+4,m>-2，從而可得出取最小值時，的值.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知函數(shù)．
（1）若曲線過點，求的解集；
（2）若存在使得，，成等差數(shù)列，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，根據(jù)函數(shù)的單調性以及定義域列不等式組來求得正確答案.
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質列方程，利用分離常數(shù)法，以及基本不等式求得的取值范圍.
【小問1詳解】
若曲線y=fx過點，則，
所以，所以fx=lg2x，在0,+∞上單調遞增，
所以不等式等價于2x>0x+1>02x0，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
即存使得，
而當且僅當時等號成立，
所以的取值范圍是.
16. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值大于，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
（2）根據(jù)有極小值，且極小值大于列不等式，根據(jù)函數(shù)的單調性求得的取值范圍.
【小問1詳解】
當時，，
所以曲線在點處的切線方程為，
即.
【小問2詳解】
的定義域是，
，在上單調遞增，
令，解得，所以在區(qū)間上單調遞減，
在區(qū)間上單調遞增，
所以在處取得極小值，
依題意，，
即，函數(shù)在上單調遞增，且當時，，
所以.
17. 已知正項數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前2n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 來求得an的通項公式.
（2）利用分組求和法、裂項求和法等求和方法來求得數(shù)列bn的前2n項和．
【小問1詳解】
依題意，，，
當時，，解得，（舍去）.
當時，由得，
兩式相減得，
即，由于，
所以，所以數(shù)列an是首項為，
公差為的等差數(shù)列，所以（也符合）.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以
.
18. 設函數(shù)，
（1）證明：有兩個零點；
（2）記是的導數(shù)，為的兩個零點，證明：．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用零點的意義，構造函數(shù)，利用導函判斷函數(shù)單調性，借助零點存在性定理即可推理得證.
（2）求出的導數(shù)，化不等式為，利用（1）中函數(shù)構造函數(shù)，結合零點的意義及單調性推理得證.
【小問1詳解】
由，得，即，令，
函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)有兩個零點，求導得，
當時，；當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
又，因此使得，使得，
所以函數(shù)有兩個零點.
【小問2詳解】
由（1）知函數(shù)的零點滿足：，
求導得，要證，即證，即證明，
令，求導得
，
函數(shù)在上單調遞減，則，由，得，
即，由，得，且在上單調遞增，
因此，即，命題得證．
【點睛】關鍵點點睛：本題第（3）問證明的關鍵在于將不等式轉化成求證，然后再利用構造函數(shù)利用函數(shù)單調性證明.
19. 設，x是不超過x的最大整數(shù)，當時，x的位數(shù)記為，例如：，．
（1）求；（注）
（2）當時，記由曲線y=fx，直線，以及x軸圍成的平面圖形的面積為，求數(shù)列an的前n項和；
（3）當，時，證明：．
【答案】（1）8 （2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用對數(shù)式的運算得，可求；
（2）根據(jù)定義可得當時，，然后求出通項，錯位相減法求；
（3）取，可得，，確定的范圍和的值，即可證明．
【小問1詳解】
，則，所以.
【小問2詳解】
當時，，
表示，，以及軸圍成的平面圖形的面積，
所以，記，
則①，
所以②，
由①②得
，
所以．
【小問3詳解】
，
當時，
，，
此時，，
所以，；
，
則有，
所以，
即．
【點睛】方法點睛：
根據(jù)定義可得當時，，于對的范圍分段討論，判斷和的范圍，進而可得和的值，即可得到證明．

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