2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再寫出其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：B.2．已知集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用列舉法把集合表示出來，再求集合與的并集.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故選:D.3．函數(shù)的圖象大致為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD；根據(jù)特殊值的大小，排除A選項(xiàng).【詳解】定義域?yàn)?/span>，又，故為奇函數(shù)，排除CD；又，，顯然，故A錯(cuò)誤，B正確.故選：B4．已知向量滿足，它們的夾角為，則（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，向量滿足，它們的夾角為，則.故選：C.5．從2名女同學(xué)和3名男同學(xué)中任選2人參加志愿者服務(wù)，則選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為（       ）A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5【答案】C【分析】選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的數(shù)量為，則所求概率為【詳解】由題，選中的2人恰好是男女同學(xué)各1名的概率為.故選：C6．雙曲線的一條近線方程為，則其離心率為（       ）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】由漸近線方程得，再由計(jì)算即可【詳解】∵漸近線方程為，即，故.故選：A7．在中，，則（       ）A． B．5 C． D．6【答案】B【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.【詳解】，，而，，在中，由余弦定理得：，代入數(shù)據(jù)得：，解得：或（舍）故選：B.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（       ） A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】模擬執(zhí)行程序，依次計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)輸入的時(shí)，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，輸出S=.故選：D9．在正方體中，E、F分別為棱和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，得到異面直線與所成的角，即為與所成的角，直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，可得，所以異面直線與所成的角，即為與所成的角，設(shè)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，可得，由平面，且平面，可得，所以，在直角中，可得.故選：A.10．若在是增函數(shù)，則a的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，可得的單調(diào)區(qū)間，是單增區(qū)間的子集.【詳解】，根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，所以a的最大值為.故選：A.11．已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，由得到，由勾股定理得到，兩式結(jié)合求出，結(jié)合得到，求出離心率.【詳解】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.12．已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足．若，則（       ）A．13 B．0 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，，再由，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，再求出、、的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以，，又，所以，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，又，所以，，，所以，所以.故選：D 二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，所求切線方程為：，即.故答案為：.14．若滿足約束條件，則的最小值為_____________．【答案】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，結(jié)合圖形，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故答案為：.15．已知，且是第一象限角，則_____________．【答案】【分析】利用兩角差的正切公式求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，解得，又，解得或，因?yàn)?/span>是第一象限角，所以；故答案為：16．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線的夾角為，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_____________．【答案】【分析】由題得，為正三角形，由的面積求得PA，再由與圓錐底面所成角求得底面半徑，即可根據(jù)公式求得側(cè)面積【詳解】由題，，則為正三角形，，∴母線，又與圓錐底面所成角為，∴底面半徑，∴圓錐的側(cè)面積為.故答案為： 三、解答題17．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值．【答案】(1)(2)，21【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求出公差，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可直接求出答案.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由得，即，由，得．所以的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為21．18．根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好？并說明理由；(2)求24個(gè)得分的中位數(shù)m，并將所得分超過m和不超過m的得分?jǐn)?shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m不超過m甲  乙   (3)根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異？附：0.150.100.052.0722.7063.841  【答案】(1)乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好，理由見解析(2)；填表見解析(3)沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異【分析】（1）根據(jù)莖葉圖分析數(shù)據(jù)的分布情況判斷即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義求解，再完善表格即可；（3）計(jì)算卡方并對(duì)比表格中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】(1)乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好，理由如下：（ⅰ）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員的得分基本上是對(duì)稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖3，4上；甲運(yùn)動(dòng)員的得分基本上也是對(duì)稱的，只有的葉集中在莖3，4上．所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好．（ⅱ）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是36；甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是27．所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好．（ⅲ）從葉在莖上的分布看，乙運(yùn)動(dòng)員的得分更集中于單峰值附近，這說明乙運(yùn)動(dòng)員的發(fā)揮更穩(wěn)定．以上給出3種理由，學(xué)生答出其中一種或其他合理理由均可得分．(2)由莖葉圖可知，列聯(lián)表如下： 超過m不超過m甲57乙75 (3)由于，所以沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異．19．如圖，在三棱錐中，，D為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若E是棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的面積最小時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分別證明即可；（2）當(dāng)的面積最小時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式可得當(dāng)的面積最小時(shí)，取最小值，此時(shí)得，再根據(jù)為與平面所成的角求解即可；或以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面夾角的向量求法求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，又D為的中點(diǎn)，所以，且，連接，所以為等腰直角三角形，且，，由，可知，由，平面,可知平面．(2)解法1：因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)的面積最小時(shí)，取最小值，此時(shí)得，這時(shí)為的中位線，且．因?yàn)?/span>，且，平面，所以平面，故為與平面所成的角．因?yàn)?/span>E是的中點(diǎn)，所以．在中，，所以與平面所成角的正弦值為．解法2：同解法1，且.因?yàn)?/span>兩兩互相垂直，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．，設(shè)平面的法向量為，則，即，所以可取，又，設(shè)與平面所成角為，則．20．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，且C經(jīng)過點(diǎn)，過F且斜率為的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，．(1)求C和的方程；(2)求過點(diǎn)M，N且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）設(shè)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的值，得到的方程，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，求得的值，即可得到直線的方程；（2）由（1）得線段中點(diǎn)坐標(biāo)，得到線段的垂直平分線方程，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解圓的方程.【詳解】(1)解：設(shè)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，所以的方程為．所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)的方程為且，聯(lián)立方程組，整理得，所以，所以．由題設(shè)知，解得或（舍去），所以的方程為．(2)解：由（1）得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，即，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得，或，即圓心坐標(biāo)為或，又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離分別為或，即圓的半徑分別為或，所以圓的方程為或．21．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論的零點(diǎn)情況．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，則，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．(2)解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如圖所示，可得為的極大值，當(dāng)，即時(shí)，與只有1個(gè)交點(diǎn)，即只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn)．綜上，時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為方程的根的根數(shù)，進(jìn)而利用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出曲線C的普通方程和直線l的普通方程，聯(lián)立即可求出交點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)C上的點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得a.【詳解】(1)曲線C的普通方程為，當(dāng)時(shí)，l的普通方程為，由解得或所以C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)l的普通方程為，故C上的點(diǎn)到l的距離．當(dāng)時(shí)，d的最大值為，由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，d的最大值為，由題設(shè)得，所以．23．已知．證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用整式的乘法化簡(jiǎn)，再利用乘法公式及完全平方數(shù)的非負(fù)性證明即可；（2）利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】(1)證明：因?yàn)?/span>，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．(2)證明：因?yàn)?/span>所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 

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