注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①從40臺(tái)剛出廠的大型挖掘機(jī)中抽取4臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢測；②在某校800名學(xué)生中，型?型?B型和型血的學(xué)生依次有人.為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為40的樣本.完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（ ）
A ①②都采用簡單隨機(jī)抽樣
B. ①②都采用分層隨機(jī)抽樣
C ①采用簡單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣
D. ①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡單隨機(jī)抽樣
3. 某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（ ）
A. 0.78B. 0.79C. 0.80D. 0.82
4. 如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile．此船的航速是（ ）n mile/h．
A. 16B. 32C. 64D. 128
5. 已知α、β是平面，m、n是直線，下列命題中不正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C 若，，則D. 若，，則
6. 如圖，在鈍角中，角所對(duì)的邊分別是，，過點(diǎn)作與垂直的單位向量，將與向量表達(dá)式兩邊進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，即，化簡后得到的結(jié)論是（ ）
A. B.
C. D.
7. 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3或5”，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則事件、與的關(guān)系為（ ）
A. 事件與互斥B. 事件與對(duì)立
C. 事件與獨(dú)立D. 事件與獨(dú)立
8. 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個(gè)三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分．
9. 關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
10. 設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. B. 若，則
C. 若，則D. 是實(shí)數(shù)
11. 如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，P是上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若平面，則B. B到平面的距離為
C. 當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，過P、A、B的截面為直角梯形D. 當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，有最小值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 三條不同的直線a、b、c，若，c與a、b都相交，則a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是______個(gè)．
13. 乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，甲發(fā)球得1分的概率為，乙發(fā)球得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率為________.
14. 等邊的邊長為6，設(shè)其內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若與垂直，求當(dāng)k為何值時(shí)，？
16. 已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．
（1）求角大??；
（2）若，，求的面積．
17. 如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)．

（1）求直線與所成角的大??；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
18. 某市為了了解人們對(duì)“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人．按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者．
（?。┤粲屑祝挲g38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的宣傳使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ⅱ）若第四組宣傳使者的年?的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年坽的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中歲所有人的年?的方差．
19. 如圖，某公司出產(chǎn)了一款美觀實(shí)用的筷子籠，是由與圓柱底面成一定角度的截面截圓柱所得．如果從截面的最底端到最高端部分還原圓柱，如下圖所示，，分別為圓柱底面直徑，，為圓柱的母線，，過的平面截圓柱且與底面所在平面交于直線，且．

（1）證明：；
（2）若底面有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在圓上運(yùn)動(dòng)一周，過動(dòng)點(diǎn)的母線與截面交于點(diǎn)，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系．
射擊次數(shù)
50
100
200
400
1000
射中8環(huán)以上的次數(shù)
44
78
158
320
800
2024年春季期高一期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)
（試卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】求出復(fù)數(shù)可得答案.
【詳解】,
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．
故選：B．
2. 現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①從40臺(tái)剛出廠的大型挖掘機(jī)中抽取4臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢測；②在某校800名學(xué)生中，型?型?B型和型血的學(xué)生依次有人.為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為40的樣本.完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（ ）
A. ①②都采用簡單隨機(jī)抽樣
B. ①②都采用分層隨機(jī)抽樣
C. ①采用簡單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣
D. ①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡單隨機(jī)抽樣
【答案】C
【解析】
【分析】由簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣的概念即可判斷.
【詳解】由題意對(duì)于①，40臺(tái)剛出廠的大型挖掘機(jī)被抽取的可能性一樣，故為簡單隨機(jī)抽樣，
對(duì)于②，為了研究血型與色弱的關(guān)系，說明某校800名學(xué)生被抽取的可能性要按照血型比例分層抽取，故為分層隨機(jī)抽樣.
故選：C.
3. 某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（ ）
A. 0.78B. 0.79C. 0.80D. 0.82
【答案】C
【解析】
【分析】利用頻率估計(jì)概率即可求解.
【詳解】大量重復(fù)試驗(yàn)，由表格知射擊運(yùn)動(dòng)員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在，
所以這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為，
故選：C.
4. 如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile．此船的航速是（ ）n mile/h．
A. 16B. 32C. 64D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】解析：設(shè)航速為v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝ n mile，∠BSA＝45°，
由正弦定理，得＝，∴ v＝32 n mile/h．
故選：B
5. 已知α、β是平面，m、n是直線，下列命題中不正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，若，，則，故A正確，
對(duì)于B，若，，則或者異面，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，，則，C正確，
對(duì)于D,若，，則,D正確，
故選：B
6. 如圖，在鈍角中，角所對(duì)的邊分別是，，過點(diǎn)作與垂直的單位向量，將與向量表達(dá)式兩邊進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，即，化簡后得到的結(jié)論是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可化簡等式得到，由此可得結(jié)論.
【詳解】，，
，又，，即.
故選：A.
7. 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3或5”，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則事件、與的關(guān)系為（ ）
A. 事件與互斥B. 事件與對(duì)立
C. 事件與獨(dú)立D. 事件與獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，知，，，根據(jù)互斥與對(duì)立的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意可知：，，，
對(duì)于A中，因?yàn)椋允录c不可能是互斥，所以A不正確；
對(duì)于B中，因?yàn)?，可能B、C都不發(fā)生，別的事件發(fā)生，所以與不對(duì)立，所以B不正確；
對(duì)于C中，因?yàn)椋?，，所以有?br>因此事件與獨(dú)立，所以C正確；
對(duì)于D中，因?yàn)?，，所以，所以，不?dú)立，所以D不正確．
故選：C．
8. 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個(gè)三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得為直角三角形，則斜邊的中點(diǎn)為的外接圓的圓心，連接，結(jié)合已知可證得平面，從而可求出三棱錐的體積
【詳解】解：如圖所示，由條件為直角三角形，則斜邊的中點(diǎn)為的外接圓的圓心，
連接得平面，，
，，
平面，
三棱錐的體積為．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分．
9. 關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由相等向量定義即可判斷；對(duì)于B,由共線向量的內(nèi)涵即可判斷；對(duì)于C，因?yàn)榉橇阆蛄浚士梢岳闷叫袀鬟f性判斷；對(duì)于D，因向量有方向，不能比較大小即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，但與方向不確定，則得不到，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，說明與方向相反，故，即B正確；
對(duì)于C，因，由，，易得，故C正確；
對(duì)于D，若，但、不能比較大小，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A B. 若，則
C. 若，則D. 是實(shí)數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的定義加以計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，令，則，
于是，所以A正確；
對(duì)于B，令，則，因?yàn)椋?br>，所以B正確；
對(duì)于C，令，滿足，
而，，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，
而是實(shí)數(shù)，所以D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，P是上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若平面，則B. B到平面的距離為
C. 當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，過P、A、B的截面為直角梯形D. 當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明判斷；對(duì)于B：利用等體積法求D到平面的距離；對(duì)于C：根據(jù)三角形中位線先證∥，則過P、A、B的截面為，再利用長度結(jié)合勾股定理證；對(duì)于D：借助于側(cè)面展開圖分析判斷．
詳解】∵平面，平面，平面平面
∴，A正確；
設(shè)B到平面的距離為，則有
∵，即，則，B正確；
當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，如圖1，取的中點(diǎn)，連接
則∥，
∵∥，則∥
∴過P、A、B的截面為，則
∴，則，即為直角梯形，C正確；
借助于側(cè)面展開圖，如圖2，連接交于點(diǎn)，此時(shí)為最小值
若P為中點(diǎn)時(shí)，∵，則
∴，這與題意相矛盾，D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 三條不同的直線a、b、c，若，c與a、b都相交，則a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是______個(gè)．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，即可得到a、b、c三條直線能確定唯一的平面，即可得到答案.
【詳解】由直線，可得直線可以唯一確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為，
設(shè)，可得，
因?yàn)椋?，所以a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是個(gè).
故答案為：.
13. 乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，甲發(fā)球得1分的概率為，乙發(fā)球得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率為________.
【答案】
【解析】
【分析】先確定比分為1比2時(shí)甲乙在三次發(fā)球比賽中得分情況，再分別求對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)互斥事件概率公式求結(jié)果
【詳解】比分為1比2時(shí)有三種情況：（1）甲第一次發(fā)球得分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球得分（2）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球得分，乙第一次發(fā)球得分（3）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球失分
所以概率為
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
14. 等邊的邊長為6，設(shè)其內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】依題先算出三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑，由可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，作圖并化簡，利用三角形中線性質(zhì)將其化成取最小值問題，結(jié)合圖形使兩向量反向共線即得.
【詳解】
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由可得，，
因等邊的內(nèi)心為，則也為的中心，
由正弦定理， ，可得.
又，故在以為圓心，1為半徑的圓上，且的軌跡在三角形內(nèi)部，如上圖所示，.
由
，
若是中點(diǎn)，則，綜上，.
要使值最小，須使最小，即需，反向共線，
由，可得，
此時(shí)，．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查向量的數(shù)量積的范圍問題，屬于難題.
解題關(guān)鍵在于結(jié)合點(diǎn)的軌跡特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將所求數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用兩向量反向共線時(shí)數(shù)量積最小即得.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若與垂直，求當(dāng)k為何值時(shí)，？
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）由平行向量的定義可知，若，則它們的夾角為或，即可計(jì)算；（2）根據(jù)平面向量的應(yīng)用可知將平方即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)與垂直可得，再由可計(jì)算出.
【小問1詳解】
由可知，兩向量的夾角為或，
當(dāng)夾角為時(shí)，；
當(dāng)夾角為時(shí)，；
所以，.
【小問2詳解】
由題意可知，
若，則
，
所以.
【小問3詳解】
由與垂直可得，即；
若，則，
即，得，
所以.
當(dāng)時(shí)，.
16. 已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．
（1）求角的大?。?br>（2）若，，求的面積．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得答案；
（2）由正弦定理得，結(jié)合求出，再由三角形的面積公式可得答案.
【小問1詳解】
由，
，
由，；
【小問2詳解】
，由正弦定理得①，
又②，
聯(lián)立①②解得，，
．
17. 如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)．

（1）求直線與所成角的大?。?br>（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）法1：證明出平面，故，得到直線與所成角為；法2：作出輔助線，找到為直線與的所成角（或其補(bǔ)角），設(shè)，，求出各邊長，得到，由勾股定理逆定理得到垂直關(guān)系，得到答案；
（2）法1：由（1）知平面，從而得到即為直線與平面所成的角，設(shè)等邊的邊長為2，求出其他各邊長，得到；法2：先證明平面，從而得到即為直線與平面所成的角，設(shè)等邊的邊長為2，求出其他各邊長，得到；
【小問1詳解】
法1：在正三棱柱中，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面；
又因?yàn)槠矫?，所以?br>所以直線與所成角的大小為．
法2：取中點(diǎn)，連結(jié)，，又為的中點(diǎn)，
所以為的中位線，，
故為直線與的所成角（或其補(bǔ)角）
設(shè)，，因?yàn)闉檎切危裕?br>在中，，在中，，
所以，，
所以直線與所成角的大小為．
【小問2詳解】
法1：由（1）知，平面，所以即為直線與平面所成的角，
設(shè)等邊的邊長為2，則，
所以在中，，，
所以．
即直線與平面所成的角的正弦值為．

法2：在正三棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以．
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，所以即為直線與平面所成的角，
設(shè)等邊的邊長為2，則，
所以在中，，，
所以．
即直線與平面所成的角的正弦值為．
18. 某市為了了解人們對(duì)“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人．按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者．
（ⅰ）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的宣傳使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ⅱ）若第四組宣傳使者的年?的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年坽的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中歲所有人的年?的方差．
【答案】（1）32.25歲；37.5
（2）（ⅰ），（ⅱ）10
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)再求百分位數(shù)即可；
（2）先應(yīng)用古典概型計(jì)算概率，再應(yīng)用分層抽樣求平均數(shù)和方差公式計(jì)算方差.
【小問1詳解】
設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）
設(shè)第80百分位數(shù)為，分?jǐn)?shù)低于35分占，
分?jǐn)?shù)低于40分占，故，
所以，解得．
【小問2詳解】
（ⅰ）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，
對(duì)應(yīng)的樣本空間為：
，
共15個(gè)樣本點(diǎn)．
設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，
共有9個(gè)樣本點(diǎn)，
所以，．
（ⅱ）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．
則，
，
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，
據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35至45歲的所有人的年齡方差約為10．
19. 如圖，某公司出產(chǎn)了一款美觀實(shí)用的筷子籠，是由與圓柱底面成一定角度的截面截圓柱所得．如果從截面的最底端到最高端部分還原圓柱，如下圖所示，，分別為圓柱底面直徑，，為圓柱的母線，，過的平面截圓柱且與底面所在平面交于直線，且．

（1）證明：；
（2）若底面有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在圓上運(yùn)動(dòng)一周，過動(dòng)點(diǎn)的母線與截面交于點(diǎn)，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系．
【答案】（1）證明見解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面，從而可證.
（2）過點(diǎn)M作MF垂直于直線l垂足為F，連接NF，作ME垂直于直徑AB垂足為E.四邊形AFME為矩形，結(jié)合線段長度關(guān)系可得.
【小問1詳解】
由題意，，
∵為圓柱的母線，則垂直圓柱下底面圓O，
∴直線l是平面與底面交線
∴，又因?yàn)?，平?br>∴平面，而平面，則.
【小問2詳解】
因?yàn)榍遥?br>所以為平面與底面二面角的平面角
又因?yàn)椋?
過點(diǎn)M做MF垂直于直線l垂足為F，連接NF，
則，
作ME垂直于直徑AB垂足為E.四邊形AFME為矩形，
∵，則底面圓O半徑
又因?yàn)?，所?br>，，，
又∵，∴，
∴，
射擊次數(shù)
50
100
200
400
1000
射中8環(huán)以上的次數(shù)
44
78
158
320
800

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