專題27.32 相似三角形幾何模型-一線三等角（知識講解）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題27.32 相似三角形幾何模型-一線三等角（知識講解）模型一：一線三直角圖一圖二模型二：一線三等角圖三圖四圖五圖六【典型例題】類型一、一線三直角模型1．如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，，，E為BC上一點，且，若，，求AB的長．【答案】【分析】由題意易知AB和CD所在的兩個三角形相似，再利用相似比即可求出所求線段的長度．解：∵AB平行CD，，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∵，，∴，∵，∴．【點撥】此題主要考查學(xué)生對梯形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)的理解及運用．舉一反三【變式1】如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處，AB=8，BC=10．（1）求證：△AEF∽△DFC；（2）求線段EF的長度．【答案】（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=BC=10，根據(jù)勾股定理得到，求得AF=4，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=BC=10，BE=EF，∴，∴AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，解得：．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)來分析、判斷、解答．【變式2】如圖1，在矩形中，為邊上一點，把沿翻折，使點恰好落在邊上的點處．（1）求證：；（2）若，，求的長；（3）如圖2，在第（2）問的條件下，若，分別是，上的動點，求的最小值．【答案】（1）見分析；（2）；（3）的最小值為．【分析】（1）選證得，即可證明結(jié)論；（2）利用折疊的性質(zhì)，在Rt△ABF中，求得BF的長，設(shè)CE=x，在Rt△CEF中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于x的方程，即可求解；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)，點F、D關(guān)于直線AE對稱，過F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此時PD+PQ的最小值為FQ，證明四邊形QFCD是矩形，即可求解．（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵由翻折得到，∴，∴，∴，，∴；（2）∵四邊形是矩形，∴，.設(shè)，則，在中，，∴，在中，，即，解得，即.（3）如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)，點F、D關(guān)于直線AE對稱，過F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此時PD+PQ的最小值為FQ， ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠ADC=90，又FQ⊥AD，∴四邊形QFCD是矩形，∴FQ=CD=AB=3， ∴的最小值為．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)折疊變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．類型二、一線三等角模型2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．【答案】（）見分析；（2）或．【分析】（1）根據(jù)題目已知條件可知，，所以得到，即可得證．（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當是等腰三角形時，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及，求出問題即可．解：（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3①當AD=AE時，則，點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上此情況不符合題意．②當AD=DE時，如圖，由（1）可知又 AB=DC=．③當AE=DE時，如圖，平分,．綜上所述：或．【點撥】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進而求解問題．舉一反三【變式1】如圖，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：；（2）請你再寫出兩對相似三角形．【答案】（1）見分析；（2），．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和證即可；（2）根據(jù)公共角相等，利用兩個角對應(yīng)相等，寫出相似三角形即可．（1）證明：∵，，，∴，∵，∴；（2）∵，∠E=∠E，∴，同理，．【點撥】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形判定定理并能靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式2】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動點，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）（3）在（2）的條件下，連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？說明理由．【答案】（1）證明見分析；（2）△BPE∽△CFP；（3）動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，理由見分析．【分析】（1）找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠BEP=135°，∠BPE+∠CPF=135°，得出∠BEP=∠CPF，從而解決問題；（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；（3）動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，進而求出，△BPE與△PFE相似．（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（2）△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（3）動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，證明：同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE．又因為∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE【點撥】此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動手實踐、自主探究的能力．類型三、一線三等角綜合3．數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用．【學(xué)習(xí)】如圖1，，，于點C，于點E．由，得∠1=∠D；又，可以通過推理得到≌．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型；(1)【應(yīng)用】如圖2，點B，P，D都在直線l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的長；(2)【拓展】在中，點D，E分別是邊BC，AC上的點，連接AD，DE，，，．若為直角三角形，求CD的長；(3)如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，點B為平面內(nèi)任一點．是以OA為斜邊的等腰直角三角形，試直接寫出點B的坐標．【答案】(1)(2)3(3)或(1)解：∵，∴，∴，又∵，∴∽，∴，即，∴．(2)解：如圖4，當時，∵，，∴∽，∴，∵，∴點D為BC的中點，∴．如圖5，當時，∵，∴，過點A作，交BC于點F，∴，，，不合題意，舍去，∴．(3)解：分兩種情況：①如圖6所示，過A作AC⊥y軸于D，過B作BE⊥x軸于E，DA與EB相交于C，則∠C＝90°，∴四邊形OECD是矩形∵點A的坐標為（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC與△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，設(shè)OE＝x，則BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，∴x＝3，x－2＝1，∴點B的坐標是（3，1）；②如圖7，同理可得，點B的坐標（－1，3），綜上所述，點B的坐標為（3，1）或（－1，3）．【點撥】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；正確的作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．舉一反三【變式1】感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，，由，，可得；又因為，可得，進而得到______．我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在中，，，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且．①求證：；②當點P為BC中點時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．【答案】感知：（1）；應(yīng)用：（2）①見分析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAP=∠CPD，即可求證；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解．解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案為：；應(yīng)用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，點P為BC中點，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）當PA=PD時，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；當AP=AD時，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合題意，∴AP≠AD；當DA=DP時，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴，即，解得：，∴，綜上所述，當為等腰三角形時， BP的長為2或．【點撥】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△AED≌△BDF；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△BDE≌△CFD；③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)即可求得EF的長；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△COE≌△OAD，從而可求得OE、CE的長，進而得到點C的坐標；（3）由三個垂直及等腰直角三角形可證明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)即可求得BE的長．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)故答案為：△BDF；②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案為：3；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，如圖所示∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵點C在第二象限∴點C的坐標為故答案為：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)【點撥】本題是三角形全等的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．

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