一、單選題
1．點到x軸的距離是（ ）
A．2B．C．D．4
2．化簡結果正確的是（ ）
A．1B．C．D．
3．﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
4．若，則括號內應填的單項式是( )
A．aB．C．D．
5．解不等式，下列在數軸上表示的解集正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．中國的探月、登月計劃受到世人的關注，中國人何時在月球上留下第一行腳印，在這里插上鮮艷的五星紅旗？月球與地球之間的平均距離約為萬公里，萬用科學記數法表示為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，則與最接近的整數為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，正五邊形內接于，連接，則（ ）

A．B．C．D．
9．如圖，在中，以點為圓心，5為半徑作弧，分別交射線，于點，，再分別以，為圓心，的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點，作射線，若，則，兩點之間的距離為
A．5B．6C．D．8
10．在一次體育課上，小明隨機調查了名同學投籃次投中的次數，數據如下表所示：
則投籃次投中的次數的中位數和眾數分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
11．如圖，在四邊形中，，，，則點到的距離為（ ）
A．B．C．1D．2
12．幾個大小相同，且棱長為1的小正方體所搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中的數字表示在該位置小正方體的個數，則這個幾何體的左視圖的面積為（ ）
A．3B．4C．6D．9
13．為測量一池塘兩端A，B間的距離．甲、乙兩位同學分別設計了兩種不同的方案．
甲：如圖1，先過點B作的垂線，再在射線上取C，D兩點，使，接著過點D作的垂線，交的延長線于點E．則測出的長即為A，B間的距離；
乙：如圖2，先確定直線，過點B作射線，在射線上找可直接到達點A的點D，連接，作，交直線于點C，則測出的長即為間的距離，則下列判斷正確的是（ ）
A．只有甲同學的方案可行B．只有乙同學的方案可行
C．甲、乙同學的方案均可行D．甲、乙同學的方案均不可行
14．今年假期，小星一家駕車前往西柏坡旅游，在行駛過程中，汽車離西柏坡景點的路程與所用時間之間的函數關系的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．小星家離西柏坡景點的路程為
B．小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為
C．小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為
D．小星從家到西柏坡景點的時間共用了
15．如圖，在平行四邊形中，，，，是對角線上的動點，且，，分別是邊，邊上的動點．下列四種說法：①存在無數個平行四邊形；②存在無數個矩形；③存在無數個菱形；④存在無數個正方形．其中正確的個數是（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（ ）
A．10B．12C．13D．15
二、填空題
17．已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則m的值為 ；
18．記反比例函數的圖像為，其上有兩點，，為正數．
（1）當時，有，則的取值范圍是 ；
（2）在（1）成立的情況下，若為整數，過點作平行與軸的直線交于點，則點的橫坐標可為 ；（寫出一個即可）
19．如圖，已知四個正六邊形擺放在圖中，頂點A，B，C，D，E，F在圓上，其中上下兩個大一點的正六邊形邊長均為a，左右兩個正六邊形邊長均為b．
（1） ；（2）若，則 ．
三、解答題
20．大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．
(1)這臺M型平板電腦價值多少元？
(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？
21．每個人都擁有一個快樂數字，我們把自己出生的年份減去組成這個年份的數字之和，所得的差就是我們自己的快樂數字．比如我國著名的數學家華羅庚出生于年，他的快樂數字是．
(1)某人出生于年，他的快樂數字是______；
(2)你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數字都能被______整除，請你用所學知識說明你的猜想．
(3)請你重新對快樂數字定義，并寫出一個你找到的規(guī)律（直接寫出結果，不用證明）．
22．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習慣，崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡閱讀的書篇”為主題的調查活動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術類，E：其他類）．張老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，根據收集到的數據，繪制了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．

根據圖中信息，請回答下列問題；
(1)條形圖中的________，________，文學類書籍對應扇形圓心角等于________度；
(2)若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數；
(3)甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．
23．如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．
(1)求m的值和直線的函數表達式．
(2)若點在線段上，點在直線上，求的最小值．
24．已知I是的內心，的延長線交的外接圓于點D，連接．
(1)在圖1中：①證明：；②判斷外心的位置，并證明；
(2)如圖2，若為的外接圓直徑，取中點O，且于點I，切圓O于點D，求的值．
25．已知二次函數的圖像L過點，頂點坐標為．
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)L與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側），求A，B兩點坐標；
(3)將L向上平移個單位長度，與x軸相交于，兩點，若點在線段上，求k的取值范圍．
26．如圖，在等邊中，，過點C作射線，點M，N分別在邊上，將沿折疊，使點B落在射線上的點處，連接．
(1)證明：為定值；
(2)當時，證明四邊形是菱形；
(3)當點N與C重合時，求的度數；
(4)當最短時，請直接寫出的長．
投籃次投中的次數
人數
參考答案：
1．D
【分析】求得的縱坐標絕對值即可求得點到軸的距離．
【詳解】解：，
點到軸的距離是4，
故選D．
【點睛】此題主要考查點的坐標；用到的知識點為：點到軸的距離為點的縱坐標的絕對值．
2．A
【分析】根據同分母分式加減運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了分式加減，解題的關鍵是熟練掌握同分母分式加減運算法則，準確計算．
3．C
【分析】根據立方根的定義進行解答．
【詳解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故選C．
【點睛】本題主要考查了立方根，解決本題的關鍵是數積立方根的定義．
4．A
【分析】將已知條件中的乘法運算可以轉化為單項式除以單項式進行計算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴（ ）．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式除法的應用，弄清被除式、除式和商之間的關系是解題的關鍵．
5．D
【分析】按去分母、去括號、移項、合并同類項，未知數系數化為的步驟求出解集，再把解集在數軸上表示出來，注意包含端點值用實心圓點，不包含端點值用空心圓點，即可求解．
【詳解】解：
，
解集在數軸上表示為
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法及解集在數軸上的表示方法，掌握解法及表示方法是解題的關鍵．
6．B
【分析】本題考查科學記數法的定義，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．據此作答即可．
【詳解】38.4萬，
故選：B．
7．A
【分析】本題考查估算無理數的大小，平方差公式，解題的關鍵是先根據平方差公式進行計算，然后估算即可．
【詳解】解：∵，
又∵，
∴，
∴與最接近的整數是，
故選：A．
8．D
【分析】先計算正五邊形的內角，再計算正五邊形的中心角，作差即可．
【詳解】∵，
∴，
故選D．
【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關鍵．
9．B
【分析】本題考查作圖—基本作圖、菱形的判定與性質、勾股定理等知識，連接，，，設與交于點，由作圖可知，，即四邊形為菱形，則可得，，由即可得到答案，熟練掌握菱形的判定與性質是解答本題的關鍵．
【詳解】解：連接，，，與交于點，如圖所示：
由作圖可知，，
四邊形為菱形，
，，，
在中，由勾股定理得，
，即，兩點之間的距離為6，
故選：B．
10．D
【分析】本題考查中位數、眾數．解題的關鍵是掌握：中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．；眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據．一組數據中，眾數可能不止一個．．據此解答即可．
【詳解】解：將這人投籃次投中的次數從小到大排列后，處在之間位置的兩個數的平均數為（次），
∴中位數是次，
這人投籃次投中的次數是次的出現的次數最多，共有人，
∴眾數是次，
綜上所述，中位數是，眾數是．
故選：D．
11．B
【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、三角形面積公式等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．過點作于點，首先根據“直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得，再在中，由勾股定理解得，然后根據三角形面積公式，由求解即可．
【詳解】解：如下圖，過點作于點，
∵，，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴點到的距離為．
故選：B．
12．B
【分析】根據該幾何體的俯視圖以及該位置小正方體的個數，可以畫出左視圖，從而求出左視圖的面積；
【詳解】由俯視圖以及該位置小正方體的個數，左視圖共有兩列，第一列兩個小正方體，第二列兩個小正方體，可以畫出左視圖如圖，
所以這個幾何體的左視圖的面積為4
故選：B
【點睛】本題考查了物體的三視圖，解題的關鍵是根據俯視圖，以及該位置小正方體的個數，正確作出左視圖．
13．A
【分析】本題考查了全等三角形的應用．根據全等三角形的判定和性質分別證明，即可判斷可行性．
【詳解】解：甲：由題意得，，，
，
在和中，
，
，
；
測出的長即為A，B間的距離；
乙：已知，，
不能判定和能全等，
；
測出的長不一定為，間的距離，
∴只有甲同學的方案可行，
故選：A．
14．D
【分析】本題考查了從函數圖象獲取信息，根據圖象和題意逐項分析即可．
【詳解】由題意得，
小星家離西柏坡景點的路程為，A選項錯誤；
小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為，B選項錯誤；
小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為，C選項錯誤；
，小星從家到西柏坡景點的時間共用了，D選項正確；
故選：D．
15．C
【分析】根據題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．
【詳解】
如圖，連接AC、與BD交于點O，連接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵點E、F時BD上的點，
∴只要M，N過點O，
那么四邊形MENF就是平行四邊形
∴存在無數個平行四邊形MENF，故①正確；
只要MN=EF，MN過點O，則四邊形MENF是矩形，
∵點E、F是BD上的動點，
∴存在無數個矩形MENF，故②正確；
只要MN⊥EF，MN過點O，則四邊形MENF是菱形；
∵點E、F是BD上的動點，
∴存在無數個菱形MENF，故③正確；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN過點O，
則四邊形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤；
故選：C
【點睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關鍵時明確題意，作出合適的輔助線．
16．B
【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得的橫坐標，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線
∵拋物線經過兩點
∴，
即，
∴，
∵拋物線與軸有交點，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
17．1
【分析】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．將方程組的兩個方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案為：1．
18． 或或
【分析】本題考查反比例函數的性質及圖像上的點的坐標特征，
（1）根據當時，有，可知反比例函數的圖像在第一、三象限，則，求解后得出的值，再根據為正數即可得出的取值范圍；
（2）依題意得點的縱坐標為，設點的橫坐標為，則，再根據在（1）成立的情況下可得的值，可得答案；
理解反比例函數圖像上的點滿足反比例函數的表達式是解題的關鍵．
【詳解】解：（1）∵點，在比例函數的圖像上，
又∵當時，有，
∴反比例函數的圖像在第一、三象限，
∴，
解得：，
又∵為正數，
∴的取值范圍是，
故答案為：；
（2）∵過點作平行與軸的直線與反比例函數的圖像交于點，
∴點的縱坐標為，
設點的橫坐標為，則點，
∴，即，
∵在（1）成立的情況下，
∴，
又∵為整數，
∴或或，
當時，，
當時，，
當時，，
∴點的橫坐標可為或或．
故答案為：或或．
19． /
【分析】本題考查正多邊形和圓，解直角三角形，根據正六邊形的性質和勾股定理，結合直徑列方程求出線段長度關系結合三角函數求解即可得到答案；
【詳解】解：連接，，過作，
由圖形可得，兩個大六邊形關于對稱，
∴是圓的直徑，
∵兩個大六邊形是全等的正六邊形，
∴，
∴也是直徑，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵小六邊形是正六邊形，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：，．
20．(1)這臺M型平板電腦的價值為元
(2)她應獲得元的報酬
【分析】（1）設這臺M型平板電腦的價值為元，根據題意，列出方程進行求解即可；
（2）根據題意，列出代數式即可．
【詳解】（1）解：設這臺M型平板電腦的價值為元，由題意，得：
，
解得：；
∴這臺M型平板電腦的價值為元；
（2）解：由題意，得：；
答：她應獲得元的報酬．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．
21．(1)
(2)，理由見解析
(3)答案不唯一，見解析
【分析】本題考查數字變化的規(guī)律，
（1）根據快樂數字的定義即可解決問題；
（2）按要求舉幾個例子，并發(fā)現規(guī)律即可解決問題；
（3）根據（2）中發(fā)現的規(guī)律，進行重新定義即可；
理解題中“快樂數字”的定義是解題的關鍵．也考查了因式分解的應用．
【詳解】（1）解：由題知，
，
即他的快樂數字是，
故答案為：；
（2）例如：，其快樂數字為：，
又如：，其快樂數字為：，
∵，，
發(fā)現：這些快樂數字都能被整除．
理由：令這個四位數為：，
∴
，
∴此代數式是的倍數，
∴猜想正確；
（3）令這個四位數為：，
∴
，
∴此代數式是的倍數，
定義如下：
若一個四位數的千位數字與十位數字相等，個位數字與百位數字相等，則稱這個數為“快樂數字”．
發(fā)現的規(guī)律是：“快樂數字”能被整除．（答案不唯一）．
22．(1)18，6，
(2)480人
(3)
【分析】（1）根據選擇“E：其他類”的人數及比例求出總人數，總人數乘以A占的比例即為m，總人數減去A，B，C ，E的人數即為n，360度乘以B占的比例即為文學類書籍對應扇形圓心角；
（2）利用樣本估計總體思想求解；
（3）通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數，再利用概率公式計算．
【詳解】（1）解：參與調查的總人數為：（人），
，
，
文學類書籍對應扇形圓心角，
故答案為：18，6，；
（2）解：（人），
因此估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數為480人；
（3）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的情況有2種，
因此甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為：．
【點睛】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、利用樣本估計總體、利用畫樹狀圖或者列表法求概率等，解題的關鍵是將條形統計圖與扇形統計圖的信息進行關聯，掌握畫樹狀圖或者列表法求概率的原理．
23．(1)，
(2)4
【分析】本題主要考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）把點的坐標代入直線解析式可求解，然后設直線的函數解析式為，進而根據待定系數法可進行求解函數解析式；
（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據一次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）把點代入，得．
設直線的函數表達式為，把點，代入得
解得，
∴直線的函數表達式為．
（2）∵點在線段AB上，點在直線上，
∴，
∴．
∵，
∴的值隨x的增大而減小，
∴當時，的最小值為4．
24．(1)①見解析；②D為外心，證明見解析
(2)2
【分析】（1）①根據等弧所對的圓周角相等即可證明結論成立；
②由，可證，得出，從而，可求出D為外心；
（2）連接．由為的外接圓直徑可知切圓O于點D，根據余角的性質可證，由（1）的結論得，然后根據銳角三角函數的定義求解即可．
【詳解】（1）①連接．
∵I是的內心
∴平分，
∴，
∴，
∴
②D為外心，證明如下：
∵I是的內心
∴平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴D為外心；
（2）連接．
∵為的外接圓直徑，O為中點，
∴O為的外接圓圓心．
∵切圓O于點D，
∴，即，
∵，
∴，
∵為的外接圓直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵由（1）得，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內心與外心，三角形外角的性質，切線的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，綜合運用各知識點是解答本題的關鍵．
25．(1)
(2)，
(3)
【分析】本題考查了二次函數與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征是解答本題的關鍵．
(1)待定系數法求出拋物線解析式即可；
(2)令得到一個關于x的二次方程，解方程即可得到點A、B坐標；
(3) 根據題意得到新的拋物線解析式，設點M為新函數圖象上一點，其橫坐標為k，則可得到M的縱坐標，根據縱坐標大于等于零即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可設這個二次函數的表達式為，
圖像L過點得，，
解得：，
這個二次函數的表達式為．
（2）令，得，
解得：，，
兩點坐標分別為，
（3）將L向上平移個單位長度，得新函數的表達式為，
設點M為新函數圖像上一點，其橫坐標為k，則縱坐標為
若點在線段上，則點M的縱坐標大于或等于零，即，
令，由圖像可知，當時，圖像在橫軸的下方，函數值小于零
因為，所以得．
26．(1)見解析
(2)見解析
(3)15°
(4)
【分析】（1）根據折疊的性質得到，求得 根據等邊三角形到現在得到 于是得到結論;
（2）由 得到，根據三角函數的定義得到，求得，根據折疊的性質得到，推出是等邊三角形，得到，根據菱形的判定定理即可得到結論；
(3)當點與重合時，根據三角形的內角和定理得到，根據折疊的性質得到，進而計算即可得到結果；
(4)當最短時，則，過點E作于點E，連接，交于點O，解直角三角形得到，設，則，根據勾股定理可以求出，設，則，，得以得到，然后根據列方程求出y值，進而求出結果.
【詳解】（1）∵是等邊三角形，且，
∴，，
由折疊的性質得：，
∴，是定值；
（2）當時，則，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由折疊的性質得：，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形；
（3）如圖，當點N與C重合時，
∴，
∴，
由折疊的性質得：，，
∴，，
∴，
∴；
（4）當最短時，則，
如圖，過點E作于點E，連接，交于點O，
∵，，
∴，
∴，
由折疊的性質得：，，
設，則，
在中，，即，
解得，
∴，
設，則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合題意，舍去），
∴．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查等邊三角形中的翻折問題，涉及含 角的直角三角形三邊的關系，菱形的判定，解直角三角形及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形解決問題．

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2023-2024學年河北省石家莊市新樂市數學九上期末達標檢測模擬試題含答案

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河北省石家莊市新樂市七年級下學期末考試數學試題

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