人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題12圓與幾何綜合的兩種考法(原卷版+解析)

這是一份人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題12圓與幾何綜合的兩種考法(原卷版+解析)，共31頁。試卷主要包含了切線問題，求長度等內(nèi)容，歡迎下載使用。
例1．（連圓心，證半徑）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；
(2)若，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求的長．
例2（連半徑，證垂直）．如圖，中，，過B、C兩點(diǎn)，且是的切線，連接交劣弧于點(diǎn)P．
(1)證明：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，內(nèi)接于是的直徑，的切線交的延長線于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若的半徑為，求陰影部分的面積．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，為的直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為，平行于弦．

(1)求證：是的切線；
(2)直線與交于點(diǎn)，且，，求的半徑．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：；
【變式訓(xùn)練4】．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
類型二、求長度
例．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，D是延長線的一點(diǎn)，交的延長線于E，于F，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上．以點(diǎn)D為圓心，為半徑作與相切于點(diǎn)F，已知．

(1)求證：；
(2)連接，若，求線段的長．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，O是邊上的點(diǎn)，以為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，求劣弧的長．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，求的面積．
【變式訓(xùn)練4】．如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖2，過點(diǎn)A作的切線交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，求的長．
課后訓(xùn)練
1．如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)C，，分別平分和，的延長線交于點(diǎn)D，連接，.

(1)求證：：
(2)若，，求的長．
2．如圖，在中，為直徑，為弦，為延長線上的一點(diǎn)，連接．
(1)若的長為，求的度數(shù)．
(2)若，，求證：是的切線．
3．如圖，在中，A、B，C三點(diǎn)在上，點(diǎn)O在邊上，點(diǎn)E在外，，垂足為F．

(1)若，求證：是的切線；
(2)若，求的長．
4．如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．
(1)求證：；
(2)如圖2，若，連接，求證：．
5．如圖，中兩條互相垂直的弦交于點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)F．
(1)若，，求的長；
(2)求證：．
專題12 圓與幾何綜合的兩種考法
類型一、切線問題
例1．（連圓心，證半徑）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；
(2)若，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）連接，由是的直徑可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可證，，即可證明與相切；
（2）連接，，先證是等邊三角形，推出，再根據(jù)圓周角定理證明，進(jìn)而可得，再根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

是的直徑，，
平分交于點(diǎn)E，
，，，
，，
是的半徑，與相切；
（2）解：如圖，連接，，

，，，
，是等邊三角形，，
，
，，，
，，
，是的直徑，，
．即的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
例2（連半徑，證垂直）．如圖，中，，過B、C兩點(diǎn)，且是的切線，連接交劣弧于點(diǎn)P．
(1)證明：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析；(2)6
【分析】（1）利用全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)定理得到，再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)的半徑為r，則，．在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵是的切線，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
（2）設(shè)的半徑為r，則，．
在中，
∵，
∴，
解得：．
∴的半徑為6．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，內(nèi)接于是的直徑，的切線交的延長線于點(diǎn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若的半徑為，求陰影部分的面積．
【答案】(1)相切，理由見解析；(2)
【分析】（1）連接，證明，由全等三角形的判定與性質(zhì)得出，由切線的判定可得出結(jié)論；
（2）證明是等邊三角形，求出，，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．
【詳解】（1）解：直線與相切．
理由如下：連接，

為圓切線，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，，
，，
又為圓的半徑，
為圓的切線；
（2），，是等邊三角形，
，，
，，
，，
陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積求法，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，為的直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為，平行于弦．

(1)求證：是的切線；
(2)直線與交于點(diǎn)，且，，求的半徑．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；
（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出的半徑．
【詳解】（1）證明：連接，

∵是的切線，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，∴，
∴，∴，
∵是的半徑，∴DC是的切線；
（2）解：設(shè)的半徑為r，
在中，，即，
解得：，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，熟記經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：；
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)題意證得，再根據(jù)等邊對(duì)等角即可證明．
【詳解】（1）解：證明：連接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半徑，
直線是的切線；
（2）線段是的直徑，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析；(2)的半徑為5．
【分析】（1）連接，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及角平分線的定義，可得，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)切線的判定方法，即可判定；
（2）過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理可得，故，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，

，
是的平分線，
，
，
，
，
為的半徑，點(diǎn)D在上，
∴是的切線；
（2）解：過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，如圖，

，，
，，
，，
，，
四邊形是矩形，
，
的半徑為5．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓的垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．
類型二、求長度
例．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，D是延長線的一點(diǎn)，交的延長線于E，于F，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）要證是的切線，只要連接，再證即可；
（2）由切線的性質(zhì)及勾股定理可得的長，再根據(jù)三角形面積公式及勾股定理可得的長，最后由全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：連接；
∵，又，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
又是的半徑，
∴是的切線．

（2）解：∵，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．
【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上．以點(diǎn)D為圓心，為半徑作與相切于點(diǎn)F，已知．

(1)求證：；
(2)連接，若，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)與相切于點(diǎn)F得到，結(jié)合，即可得到，結(jié)合，，得到，即可得到證明；
（2）根據(jù)，得到，即可得到，即可得到，即可得到答案；
【詳解】（1）證明：連接，

∵與相切于點(diǎn)F，
∴，
∴，又，，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等的性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．
【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，O是邊上的點(diǎn)，以為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，求劣弧的長．
【答案】(1)詳見解析；(2)
【分析】（1）連接，等邊對(duì)等角推出，得到，進(jìn)而推出，即可得證；
（2）平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，利用弧長公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：證明：連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而于點(diǎn)F，
∴，
又是的半徑，
即直線是的切線；
（2）解：∵，
∴，
∵，即圓的半徑為1，
∴劣弧的長．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，求弧長．解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理以及弧長的計(jì)算公式．
【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)見解析；(2)的面積為
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，則，則，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；
（2）連接，根據(jù)平行四邊形的判定，得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，則平行四邊形是菱形，則是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，；根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一邊，得，再根據(jù)圓的面積公式，即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：連接，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓，三角形，菱形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，圓的切線，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練4】．如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖2，過點(diǎn)A作的切線交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，求的長．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證得兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由勾股定理得到邊的關(guān)系，求出線段的長，再利用等面積法求解即可．
【詳解】（1）解： 為的直徑，
，
為的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：連接，
設(shè)，
則，，，

為的直徑，
，
在中，，
由（1）得，，
，
，，
，
，
解得或（不合題意舍去），，
，
是的切線，，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
課后訓(xùn)練
1．如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)C，，分別平分和，的延長線交于點(diǎn)D，連接，.

(1)求證：：
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】（1）由角平分線的定義和圓周角定理可知，，，可得即可證明結(jié)論；
（2）連接、、，交于點(diǎn)，由題意易知，進(jìn)而可知，結(jié)合，可知垂直平分．易證是等腰直角三角形，，可得，可得．設(shè)，則，在和中，根據(jù)，可列方程解出的值，進(jìn)而完成解答．
【詳解】（1）證明：由圓周角定理可得：，
∵ 平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
（2）解：連接、，交于點(diǎn)，

由圓周角定理可得：，由（1）知，
∴．
∴．
∵．
∴垂直平分．
∵為直徑，
∴，則是等腰直角三角形．
∵，
∴．
∵，，解得：
∴．
設(shè)，則，
在和中，，
即：，解得，即，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，證明是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在中，為直徑，為弦，為延長線上的一點(diǎn)，連接．
(1)若的長為，求的度數(shù)．
(2)若，，求證：是的切線．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）連接，如圖，設(shè)的度數(shù)為，利用弧長公式得到 ，求出n得到，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)；
（2）連接，如圖，先利用圓周角定理得到，則利用勾股定理先計(jì)算出，再計(jì)算出，所以，然后利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，所以，從而根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：連接，如圖，設(shè)的度數(shù)為，

∵的長為， 為直徑，，
∴，
解得，即，
∴；
（2）連接，如圖，

∵為直徑， ∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴為直角三角形，，
∴， 而為直徑，
∴是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、弧長公式和勾股定理的逆定理．
3．如圖，在中，A、B，C三點(diǎn)在上，點(diǎn)O在邊上，點(diǎn)E在外，，垂足為F．

(1)若，求證：是的切線；
(2)若，求的長．
【答案】(1)詳見解析(2)
【分析】（1）連接和，四邊形是平行四邊形得，則，則，即可得到，即可得到，又由是的半徑即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，四邊形是平行四邊形，則，，則，得四邊形為平行四邊形，則，設(shè)的半徑為x，則，由垂徑定理可得，在中，由勾股定理可得則，解得即可得到，則，再證，在中，即可得到的長．
【詳解】（1）證明：連接和，

∵四邊形是平行四邊形，
∴，
，
∴，
，
∴，
是的半徑，
是的切線
（2）解：過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
，
設(shè)的半徑為x，則
∴，
在中，
∴，
解得
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定定理、垂徑定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定定理和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．
(1)求證：；
(2)如圖2，若，連接，求證：．
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后根據(jù)已知可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)對(duì)頂角相等可得，從而可得進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答；
（2）連接，利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，然后根據(jù)證明，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，從而可得，進(jìn)而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）證明：連接，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D為弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，中兩條互相垂直的弦交于點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)F．
(1)若，，求的長；
(2)求證：．
【答案】(1)的長為；(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，從而可得，然后在中，利用勾股定理求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而可得，再利用對(duì)頂角相等，以及同弧所對(duì)的圓周角相等可得，最后利用等量代換可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算可得，即可解答．
【詳解】（1）解：∵E是的中點(diǎn)，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的長為；
（2）證明：∵，
∴，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．