1.能夠正確判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角；
2.利用直線(xiàn)平行的條件判斷兩條直線(xiàn)平行；
3.建立平面圖形基本推理和思考能力。
知識(shí)點(diǎn)1：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角
1、同位角：如圖所示，具有∠1和∠6這樣位置關(guān)系的角稱(chēng)為同位角，同位角還有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截兩直線(xiàn)的同一方；②在截線(xiàn)的同側(cè)。
2、內(nèi)錯(cuò)角：如圖所示，具有∠1和∠3這樣位置關(guān)系的角稱(chēng)為內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角還有∠2和∠4。內(nèi)錯(cuò)角的特征：①在被截兩直線(xiàn)之間；②在截線(xiàn)的兩側(cè)。
3、同旁?xún)?nèi)角：具有∠1和∠4這樣位置關(guān)系的角稱(chēng)為同旁?xún)?nèi)角，同旁?xún)?nèi)角還有∠2和∠3。同旁?xún)?nèi)角的特征：①在被截兩直線(xiàn)之間；②在截線(xiàn)的同側(cè)。
知識(shí)點(diǎn)2：兩條直線(xiàn)平行的條件
兩條直線(xiàn)平行的條件1：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。
簡(jiǎn)稱(chēng)為：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。
兩條直線(xiàn)平行的條件2：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。
簡(jiǎn)稱(chēng)為：內(nèi)錯(cuò)角角相等，兩直線(xiàn)平行。
兩條直線(xiàn)平行的條件3：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行。
簡(jiǎn)稱(chēng)為：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。
知識(shí)點(diǎn)3：平行線(xiàn)基本公理
過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行 ②平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行
題型一： 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角
【例1】．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，與，與各是哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截而形成的什么角？
圖① 圖②
【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與構(gòu)成同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】．（2023下·廣東河源·七年級(jí)期中）如圖，a，b，c三條直線(xiàn)兩兩相交，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A．與是同位角B．與是內(nèi)錯(cuò)角
C．與是對(duì)頂角D．與是同旁?xún)?nèi)角
題型二：平行公理的應(yīng)用
【例2】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）小明與小剛在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有如下對(duì)話(huà)：
小明：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)A有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)m平行．
小剛：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)A有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)m垂直．
對(duì)于兩個(gè)人的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．小明對(duì)B．小剛對(duì)C．兩人均對(duì)D．兩人均不對(duì)
【變式1】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)的5條不同的直線(xiàn)中，與直線(xiàn)相交的直線(xiàn)至少有（ ）
A．2條B．3條C．4條D．5條
【變式2】．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：a、b、c為平面內(nèi)三條不同的直線(xiàn)，若，，則a、b的位置關(guān)系為 ．
題型三：平行公理推論的應(yīng)用
【例3】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為( )
（1）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行
（2）如果，那么
（3）如果兩線(xiàn)段不相交，那么它們就平行
（4）如果兩直線(xiàn)不相交，那么它們就平行
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式1】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，若由此得出，則直線(xiàn)a和c應(yīng)滿(mǎn)足的位置關(guān)系是（ ）
A．在同一個(gè)平面內(nèi) B．不相交C．平行或重合D．不在同一平面內(nèi)
【變式2】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）是直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
題型四：同位角相等兩直線(xiàn)平行
【例4】已知：如圖，直線(xiàn)與被所截，．求證：．

【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)期中）如圖所示，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使得平分．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)連接，若，求證：．
【變式2】已知：如圖，，和互余，于點(diǎn)，求證：．

【變式3】．（2023下·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，，分別是，的平分線(xiàn)．
(1)與有什么關(guān)系，為什么？
(2)，有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
【變式4】．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┱?qǐng)完成下面的推理過(guò)程并在括號(hào)里填寫(xiě)推理依據(jù)：
，，，與平行嗎？為什么？
解：．理由如下：
∵（已知），∴ °
即 （ ）
又∵（ ），
且，
∴ ＝ （ ）
∴（ ）
題型五：內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行
【例5】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)若，，，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【變式1】．（2022下·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：．
證明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴（ ）．
【變式2】．（2022下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，已知，平分，平分．請(qǐng)說(shuō)明的理由．
解：因?yàn)?已知)，
(______)，
所以(______)．
因?yàn)槠椒郑?br>所以(______)．
因?yàn)槠椒郑?br>所以______，
得(等量代換)，
所以______(______)．
【變式3】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，射線(xiàn)OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求證：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式4】．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在上，已知平分平分，請(qǐng)說(shuō)明的理由．
解：因?yàn)椋╛_________），
（________________），
所以（________________）．
因?yàn)槠椒郑?br>所以________（___________）．
因?yàn)槠椒郑?br>所以_________，
得________（____________），
所以________（____________）．
題型六：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行
【例6】．（2022下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)O，，直線(xiàn)與平行嗎？為什么？
【變式1】．（2023下·江蘇徐州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)題意將下列空格補(bǔ)充完整：
如圖，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1=∠2，∠C＝∠A．
求證：∠AEH＝∠F．
證明：∵∠DEH+∠EHG＝180°
∴ED_________（________________）
∴∠1＝∠C（______________________________）
∠2＝___________（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠1=∠2，∠C＝
∴∠A＝__________
∴ABDF（___________________________）
∴∠AEH＝∠F（________________）
【變式2】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知、分別是、的平分線(xiàn)，且．求證：．
【變式3】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與、相交于點(diǎn)A、C，平分交于點(diǎn)E，，．試判斷直線(xiàn)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
題型七：垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行
【例7】．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是對(duì)頂角B．垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行
C．同角的余角互補(bǔ)D．經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行
【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用一副三角板任作兩條平行線(xiàn)．小明的作法如下：
如圖，
（1）任取兩點(diǎn)A，B，畫(huà)直線(xiàn)．
（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線(xiàn)的兩條垂線(xiàn)；則直線(xiàn)即為所求．
老師說(shuō)：“小明的作法正確．”請(qǐng)回答：小明的作圖依據(jù)是 ．
【變式2】．（2021上·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖，所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．
（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)畫(huà)的平行線(xiàn)．
（2）過(guò)點(diǎn)，畫(huà)的垂線(xiàn)．
（3）過(guò)點(diǎn)，畫(huà)的垂線(xiàn)．
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出、的位置關(guān)系．
一、單選題
1．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列圖中，不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，與是（ ）形成的內(nèi)錯(cuò)角．
A．直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截B．直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截
C．直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截D．直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截
3．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，與∠1是同旁?xún)?nèi)角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
4．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出了過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)的方法，其依據(jù)是（ ）

A．同位角相等，兩直線(xiàn)平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行
C．同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行D．兩直線(xiàn)平行，同位角相等
5．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截，，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
6．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，則下列條件中，能判定的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023上·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（ ）
A．∵，∴B．∵，∴
C．∵，∴D．∵，∴
8．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，下列條件中能判斷的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列條件：①，②，③，其中能判斷的有（ ）個(gè)．
A．0B．1C．2D．3
10．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，以下條件能判定的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫(huà)平行線(xiàn)，并要說(shuō)出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學(xué)的做法如圖：小奇說(shuō)：“我做法的依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．”小妙做法的依據(jù)是： ．
12．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使，（只需填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件），你添加的條件是

13．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，若，則與的位置關(guān)系是 ．
14．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截，與相交于點(diǎn)，若，當(dāng) 時(shí)，．
15．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)與相交，，，要使直線(xiàn)與平行，則直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度至少是 °．

16．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列四組條件中：①，②，③，④，能判定的是 （填序號(hào)）．

17．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)繞著自身與c相交的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為12度/秒和2度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò) 秒時(shí)木棒a，b平行．
18．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線(xiàn)上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線(xiàn)、，，，射線(xiàn)、分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和4度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得與平行所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間＝ ．

三、解答題
19．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．
20．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）在學(xué)習(xí)“平行線(xiàn)的判定”時(shí)，課本首先通過(guò)以下的“思考”欄目，得到了平行線(xiàn)的判定方法1，即________．
（2）平行線(xiàn)的另外兩個(gè)判定方法都可以根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法1進(jìn)行證明．請(qǐng)根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法1證明判定方法3．
已知：如圖1，直線(xiàn)和直線(xiàn)被直線(xiàn)所截，且．求證：．
（3）平行線(xiàn)的判定在實(shí)際生活中有許多應(yīng)用：在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的．如圖2，是直角，那么，都可以通過(guò)度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，來(lái)判斷兩條直軌是否平行？為什么？
21．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，平分，試說(shuō)明．

證明：因?yàn)槠椒郑ㄒ阎?br>所以 （角平分線(xiàn)的定義）．
又因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以 ＝ （等量代換）．
所以（ ）．
22．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．
求證：．（要寫(xiě)出每一步的依據(jù)）

23．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)M、N、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線(xiàn)段MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)線(xiàn)段AB，使得線(xiàn)段AB滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①AB⊥MN；②；
(2)過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)MN的平行線(xiàn)CD，CD與AB相交于點(diǎn)E；
(3)若格點(diǎn)F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點(diǎn)F共有 個(gè)．
24．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）按邏輯填寫(xiě)步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整
如圖，直線(xiàn)MN分別與直線(xiàn)AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線(xiàn)BE交直線(xiàn)DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線(xiàn)FC交直線(xiàn)AC于點(diǎn)C．
求證：．
證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）
∠BFG＝∠2（____________）
∴∠ABF＝______（等量代換）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴______（____________）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴______（____________）
∴∠EBF＝______
∴（____________）
25．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，直線(xiàn)、交于點(diǎn)O，，分別平分和，已知，且．
(1)求的度數(shù)；
(2)試說(shuō)明的理由．
26．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線(xiàn)MN的兩側(cè)中，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且，其中，，，點(diǎn)E、F均落在直線(xiàn)MN上．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，求證：；聰明的小麗過(guò)點(diǎn)C作，并利用這條輔助線(xiàn)解決了問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小麗的思考，寫(xiě)出解決這一問(wèn)題的過(guò)程．
（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；
（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)，畫(huà)出平移后的三角形DEF，并回答問(wèn)題，若，則________．（用含的代數(shù)式表示）

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初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

7.1 探索直線(xiàn)平行的條件

版本： 蘇科版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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