一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 的值為（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設(shè)向量，則（ ）
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，已知，，，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
5. 函數(shù)(其中，，)的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A B. C. D.
7. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（ ）

A. 2B. C. 1D.
8. 在中，已知，則（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
10. 如圖，正方形的邊長為2，為正方形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 已知圓的半徑為2，則的圓心角的弧度數(shù)為__________；所對的弧長為__________.
12. 已知向量，.若，則__________，__________.
13. 若函數(shù)的一個零點為，則__________；將函數(shù)的圖象向左至少平移__________個單位，得到函數(shù)的圖象.
14. 設(shè)平面向量為非零向量，且.能夠說明“若，則”是假命題的一組向量的坐標(biāo)依次為__________.
15. 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)奇函數(shù)；
②函數(shù)有無數(shù)個零點；
③函數(shù)最大值為1；
④函數(shù)沒有最小值.
其中，所有正確結(jié)論的序號為__________.
三?解答題（本大題共6小題，共85分）
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點.
（1）求，的值；
（2）求的值.
17. 已知平面向量與的夾角為，
（1）求；
（2）求值：
（3）當(dāng)何值時，與垂直.
18. 已知函數(shù).
（1）求；
（2）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
19. 在△中，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．
（1）求；
（2）求的面積．
條件①：；條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
20. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的在上單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，求的取值范圍.
21. 某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，，垂足為，設(shè)；
（1）求，（用表示）；
（2）當(dāng)在上運動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時的值.2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期北京市育才學(xué)校高一數(shù)學(xué)
期中考試試卷
一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值計算可得.
【詳解】.
故選：A
2. 下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式和函數(shù)奇偶性對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，的最小正周期為：，故A不正確；
對于B，的最小正周期為：，
的定義域為，關(guān)于原點對稱，令，
則，所以為奇函數(shù)，故B不正確；
對于C，的最小正周期為：，
令的定義域為關(guān)于原點對稱，
則，所以為偶函數(shù)，故C正確；
對于D，的最小正周期為：，
的定義域為，關(guān)于原點對稱，令，
則，所以為奇函數(shù)，故D不正確.
故選：C.
3. 設(shè)向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】向量，則.
故選：D
4. 在△ABC中，已知，，，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理求解即可
【詳解】因為在△ABC中，，，，
所以由余弦定理得，
，得，
解得，或（舍去），
故選：D
5. 函數(shù)(其中，，)的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可以求出最大值，結(jié)合函數(shù)的零點，根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合特殊值法進(jìn)行求解即可.
【詳解】由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最大值為，所以，
由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小正周期為，
因為，所以，所以，
由圖象可知：
，即，
因為，
所以令，所以，因此，
故選：C
6. 函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【詳解】由，得，則當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
所以所求最大值、最小值分別為.
故選：A
7. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（ ）

A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定信息，利用向量數(shù)量的運算律，結(jié)合數(shù)量積的定義計算得解.
【詳解】依題意，，
因此，，
所以.
故選：B
8. 在中，已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦求出即得.
【詳解】在中，由及正弦定理，得，
則，即，而，
因此，而，
所以.
故選：C
9. 已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】以為整體結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為且，則，
若在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，
則，解得，
又因為?，
所以“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
10. 如圖，正方形的邊長為2，為正方形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分點P在CD上，點P在BC上，點P在AB上，點P在AD上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.
【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
則，
當(dāng)點P在CD上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在BC上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在AB上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在AD上時，設(shè)，
則，
所以；
綜上：的取值范圍是.
故選：D
二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 已知圓的半徑為2，則的圓心角的弧度數(shù)為__________；所對的弧長為__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用度與弧度的互化關(guān)系，弧長計算公式求解即可.
【詳解】的圓心角的弧度數(shù)為；所對的弧長為.
故答案為：；
12. 已知向量，.若，則__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用坐標(biāo)法求出向量的模，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出.
【詳解】因為向量，所以，
又且，
所以，解得.
故答案為：；.
13. 若函數(shù)的一個零點為，則__________；將函數(shù)的圖象向左至少平移__________個單位，得到函數(shù)的圖象.
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】利用零點的意義求出；利用輔助角公式化簡函數(shù)，再借助平移變換求解即得.
【詳解】函數(shù)的一個零點為，得，解得；
則，顯然，
所以的圖象向左至少平移個單位，得到函數(shù)的圖象.
故答案為：1；
14. 設(shè)平面向量為非零向量，且.能夠說明“若，則”是假命題的一組向量的坐標(biāo)依次為__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】令向量與向量都垂直，且即可得解.
【詳解】令，顯然，而，
因此能說明“若，則”是假命題，
所以向量的坐標(biāo)依次為.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)是奇函數(shù)；
②函數(shù)有無數(shù)個零點；
③函數(shù)的最大值為1；
④函數(shù)沒有最小值.
其中，所有正確結(jié)論序號為__________.
【答案】②③
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①，令求出函數(shù)的零點，即可判斷②，求出函數(shù)的最大值即可判斷③，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷④.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
又，所以為偶函數(shù)，故①錯誤；
令，
所以函數(shù)有無數(shù)個零點，故②正確；
因為，當(dāng)，即時取等號，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此有，即，故③正確；
因為為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，只需研究函數(shù)在上的情況即可，
當(dāng)時，又，所以當(dāng)時，
又，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
又，，，且為連續(xù)函數(shù)，所以存在最小值，
事實上的圖象如下所示：由圖可知存在最小值，故④錯誤.

故答案為：②③
三?解答題（本大題共6小題，共85分）
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過點.
（1）求，值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2），，
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角正切公式求出；
（2）由三角函數(shù)的定義求出，，再由兩角和的余弦公式計算可得.
【小問1詳解】
因為角以為始邊，終邊經(jīng)過點，
所以，則.
【小問2詳解】
因為角以為始邊，終邊經(jīng)過點，
所以，，
所以
.
17. 已知平面向量與的夾角為，
（1）求；
（2）求的值：
（3）當(dāng)為何值時，與垂直.
【答案】（1）4，9，3；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義計算即得.
（2）利用數(shù)量積的運算律計算即得.
（3）利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的運算律求解即得.
【小問1詳解】
向量與的夾角為，
所以.
【小問2詳解】
依題意，.
【小問3詳解】
由，得，解得，
所以當(dāng)時，與垂直.
18. 已知函數(shù).
（1）求；
（2）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）1； （2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）代入計算求出函數(shù)值.
（2）（3）利用輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即得.
【小問1詳解】
函數(shù)，所以.
【小問2詳解】
函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期；
由，解得，
所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為.
【小問3詳解】
由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
19. 在△中，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．
（1）求；
（2）求的面積．
條件①：；條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）選①②答案相同，；
（2）選①②答案相同，的面積為.
【解析】
【分析】（1）選①，用余弦定理得到，從而得到答案；選②：先用余弦定理求出，再用余弦定理求出，得到答案；（2）選①，先求出，使用面積公式即可；選②：先用求出，再使用面積公式即可.
【小問1詳解】
選條件①：．
在△中，因為，，，
由余弦定理，得．
因為，
所以；
選條件②：
由余弦定理得：，解得：或（舍去）由余弦定理，得．
因為，
所以；
【小問2詳解】
選條件①：
由（1）可得．
所以的面積．
選條件②：．
由（1）可得．
因為
，
所以的面積． ．
20. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的在上單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再代入計算可得；
（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可；
（3）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
因為
，
所以.
【小問2詳解】
當(dāng)時，
令，解得，
所以函數(shù)的在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問3詳解】
當(dāng)時，，
又函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，
所以，解得，
即的取值范圍為.
21. 某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，，垂足為，設(shè)；
（1）求，（用表示）；
（2）當(dāng)在上運動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時的值.
【答案】（1），
（2）三角形綠地的最大面積是平方米，此時
【解析】
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)表示出、；
（2）依題意可得，則，利用三角恒等變換公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.
【小問1詳解】
中，，，
∴（米），
又，所以，
在中，可得（米）.
【小問2詳解】
由題可知，
∴的面積
，
又，，
∴當(dāng)，即時，的面積有最大值平方米，
即三角形綠地的最大面積是平方米，此時.

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