重慶市育才中學(xué)校高2025屆屆2022-2023學(xué)年（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分+附加題10分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，請考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效；3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1. 已知集合，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由補(bǔ)集和交集的定義即可得出答案.【詳解】因為集合，，，所以=，所以故選：C.2. 已知命題：，，則為（    ）.A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在性命題的否定直接求解.【詳解】由存在性命題的否定知，：，的否定為：，，故選：B3. 設(shè)，則“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】，則當(dāng)時，必有，反之當(dāng)時，不一定成立，如，滿足，而不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4. 已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將的指數(shù)化為與，指數(shù)相同，再結(jié)合對應(yīng)冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】解：，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即.故選：D.5. 已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用抽象函數(shù)的定義域以及具體函數(shù)的定義域的發(fā)法求解.【詳解】由條件可知，且，解得:且，所以函數(shù)的定義域.故選：D6. 若，則的最小值為（    ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】對變形后，利用基本不等式進(jìn)行求解最小值.【詳解】因為，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為4.故選：B7. 定義集合，若，，且集合有3個元素，則由實數(shù)所有取值組成的集合的非空真子集的個數(shù)為（    ）A. 2 B. 6 C. 14 D. 15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義運(yùn)算，再由集合有3個元素確定出n的取值集合，求解即可.【詳解】因為，，，所以，又集合有3個元素，當(dāng)時，即時，滿足題意，當(dāng)時，即，（舍去）時，，不符合題意，當(dāng)時，即時，滿足題意，當(dāng)時，即，（舍去）時，，不符合題意.綜上，，故所構(gòu)成集合的非空真子集的個數(shù)為.故選：B8. 已知函數(shù)，且對于，，都滿足，則實數(shù)取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意知分段函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及一次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可.【詳解】因為對于，，都滿足，所以分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，故每段函數(shù)為減函數(shù)，應(yīng)滿足，解得，同時在在上單調(diào)遞減，還需滿足，解得或，所以.故選：C二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9. 下列命題為真命題的是（    ）A. 若，則 B. 若，，則C. 若，則 D. 若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，判斷選項.【詳解】A.，則，，則，故A正確；B.若，，則，故B正確；C.當(dāng)，，，滿足，但，故C錯誤；D. 若，，不等式兩邊同時乘以，不等號改變，即，故D正確.故選：ABD10. 下列選項中正確的是（    ）A.  B.  C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空集概念以及元素和集合的關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對A，空集沒有任何元素，故A錯誤；對B，空集是任何集合的子集，故B正確；對C，方程無解，故C正確；對D，由元素構(gòu)成集合并不是空集，故D錯誤.故選：BC11. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（    ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩函數(shù)相等的三要素一一判斷即可.【詳解】對于A, 的定義域為,的定義域為,且兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同,所以是同一函數(shù),故A正確;對于B, 的定義域為,的定義域為,所以不是同一函數(shù),故B錯誤;對于C，與對應(yīng)關(guān)系不相同,故C錯誤;且定義域為,定義域為,所以兩個函數(shù)是同一函數(shù),故D正確.故選:AD.12. 已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)的單增區(qū)間是B. 函數(shù)在定義域上有最小值為0，無最大值C. 若方程有三個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是D. 設(shè)函數(shù)，若方程有四個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】先求出，然后研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，從而可判斷ABC的正誤，利用換元法可求參數(shù)的取值范圍，從而可判斷D的正誤.【詳解】因為時，，故，故，故.因為，，故函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯誤.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，故，故，故的值域為，故，故B正確.方程即為或，整理得到：或，因為方程有三個不同的實數(shù)根，故且，故，故C正確.設(shè)任意，則，因為，，，，故即，故在上為增函數(shù)，同理可證在上為減函數(shù)，又當(dāng)時，恒成立，故的圖象如圖所示：令，考慮的解即的解，因為方程有四個不等實根，故必有解，設(shè)解為，因為方程有四個不等實根，故，故即，故D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于分段函數(shù)的性質(zhì)的研究，應(yīng)該根據(jù)各段函數(shù)形式結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)來研究，對于復(fù)合方程的解的討論，應(yīng)該根據(jù)內(nèi)外方程對應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)來處理.第Ⅱ卷三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，列式求解.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.故答案為：14. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________.【答案】或}##【解析】【分析】首先根據(jù)不等式的解集求，再求解一元二次不等式的解集.【詳解】因為的不等式的解集為，所以，解得：，，所以，，解得：或,所以不等式的解集是或}.故答案為：或}15. 已知函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且，則實數(shù)t的值為__________.【答案】6【解析】【分析】首先將函數(shù)中的一部分設(shè)為，再利用函數(shù)是奇函數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值與最小值的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，所以的最大值和最小值互為相反數(shù)，所以，得.故答案為：16. 已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為__________.【答案】【解析】【分析】首先變形為，再根據(jù)，變形為，展開后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.【詳解】由題，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等.故答案為：四、解答題（本題共7小題，共70+10分.17題題10分，18題—22題題12分，附加題10分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17. 設(shè)，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）計算，，再計算交集得到答案.（2）計算，再計算并集得到答案.【小問1詳解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.【小問2詳解】，所以，所以.18. 已知命題“，都有不等式恒成立”是真命題.（1）求由實數(shù)的所有取值組成的集合；（2）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)根據(jù)一元二次不等式恒成立得到對應(yīng)判別式小于零，解之即可求解；(2)根據(jù)集合的運(yùn)算推導(dǎo)出，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為，都有不等式恒成立，所以，解得，所以由實數(shù)的所有取值組成的集合為，【小問2詳解】因為，所以，下面分類討論：①若，即時，顯然成立；②若，即時，由，有，故，綜上，實數(shù)的取值范圍為.19. 為了加強(qiáng)“疫情防控”，并能更高效地處理校園內(nèi)的疫情突發(fā)情況，重慶市育才中學(xué)校決定在學(xué)校門口右側(cè)搭建一間高為3米，底面面積為20平方米的長方體形狀的臨時隔離室，設(shè)臨時隔離室的左右兩側(cè)的地面長度均為米.現(xiàn)就該項目對外進(jìn)行公開招標(biāo)，其中甲公司給出的報價細(xì)目為：臨時隔離室的左右兩側(cè)墻面報價為每平方米200元，前后兩側(cè)墻面報價為每平方米250元，屋頂總報價為3400元；而乙公司則直接給出了工程的整體報價關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.（1）設(shè)公司甲整體報價為元，試求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若采用最低價中標(biāo)規(guī)則，哪家公司能競標(biāo)成功？請說明理由.【答案】（1）    （2）公司乙能競標(biāo)成功，理由見解析【解析】【分析】（1）由已知臨時隔離室的左右兩側(cè)的長度均為米，則隔離室前后面的地面長度為米，根據(jù)題意即可列出解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用基本不等式和二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出最值，在根據(jù)最值比較大小即可求出競標(biāo)成功的公司.【小問1詳解】解：因臨時隔離室的左右兩側(cè)的長度均為米，則隔離室前后面的地面長度為米，于是得，，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.【小問2詳解】解：由（1）知，對于公司甲，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，則當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為5米時，公司甲的最低報價為15400元，對于公司乙，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即乙公司最高報價為15380元，因，因此，無論取何值，公司甲的報價都比公司乙的高，所以公司乙能競標(biāo)成功.20. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）代入，再解分式不等式；（2）首先分式不等式變形為，再討論，求解一元二次不等式的解集.【小問1詳解】，當(dāng)時，不等式等價于，則不等式解集；【小問2詳解】當(dāng)時，不等式等價于①當(dāng)時，令一元二次方程的兩個根為，，因為，所以恒有，則不等式解集或；②當(dāng)時，令一元二次方程的兩個根為，，1）當(dāng)，即時，不等式解集；2）當(dāng)，即時，不等式解集；3）當(dāng)，即時，不等式解集.綜上所述：當(dāng)時，不等式解集；當(dāng)時，不等式解集；當(dāng)時，不等式解集當(dāng)時，不等式解集或；21. 已知（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，且時，，求函數(shù)的解析式；（3）求關(guān)于的不等式.【答案】（1）    （2），    （3）或【解析】【分析】（1）利用湊配法，求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，再利用函數(shù)的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（3）首先不等式變形為，再利用函數(shù)單調(diào)遞減，解不等式.【小問1詳解】，令，，∴，即函數(shù)的解析式為：.【小問2詳解】當(dāng)時，，且為上的奇函數(shù).∴當(dāng)時，，∴函數(shù)的解析式為：，【小問3詳解】由，且在上單調(diào)遞減∴，∴∴且∴不等式的解集為或.22. 已知定義域為，對任意，都有.當(dāng)時，，且.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并證明；（3）若，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）單調(diào)遞減函數(shù)，證明見解析    （3）【解析】【分析】（1）令，求得，再令，，即可求得；（2）對任意，利用單調(diào)性定義及題目條件，判斷的正負(fù)，即可得出答案；（3）可根據(jù)題意將題目轉(zhuǎn)化為，∴，，恒成立，令，轉(zhuǎn)化為，，恒成立，結(jié)合單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為使得成立，即，再結(jié)合二次函數(shù)對稱軸分析，利用最值即可求得的取值范圍.【小問1詳解】令，則，∴，令，，則，又由，∴.【小問2詳解】設(shè)，則，又∵，∴，∴，∴，∴是上的單調(diào)遞減函數(shù).【小問3詳解】若，都有恒成立，即，∴，，恒成立，令，，則，∴，，恒成立，由為上的單減函數(shù)，∴，，恒成立，即使得成立，即，令，則即可，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴，∴；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴，∴；③當(dāng)時，∴，∴，∴.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：（1）在已知區(qū)間上任取，；（2）作差；（3）判斷的符號（往往先分解因式，再判斷各因式的符號）；（4）得出單調(diào)性結(jié)論.附加題（選做）：23. 已知，，是正實數(shù)，證明：【答案】證明見解析【解析】【分析】由均值不等式即可證明.【詳解】證明：由均值不等式可知：,則,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等，又可利用均值不等式構(gòu)造：當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，即，，時取等.所以.

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