TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32694" 【題型1 乘法公式的基本運(yùn)算】 PAGEREF _Tc32694 \h 1
\l "_Tc6652" 【題型2 利用完全平方式確定系數(shù)】 PAGEREF _Tc6652 \h 2
\l "_Tc28100" 【題型3 乘法公式的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc28100 \h 2
\l "_Tc5264" 【題型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc5264 \h 3
\l "_Tc23540" 【題型5 利用面積法驗(yàn)證乘法公式】 PAGEREF _Tc23540 \h 3
\l "_Tc11232" 【題型6 乘法公式的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc11232 \h 4
\l "_Tc32129" 【題型7 平方差公式、完全平方公式的幾何背景】 PAGEREF _Tc32129 \h 5
\l "_Tc26976" 【題型8 整式乘法中的新定義問題】 PAGEREF _Tc26976 \h 8
\l "_Tc21677" 【題型9 整式乘法中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc21677 \h 9
【知識(shí)點(diǎn)1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。
【題型1 乘法公式的基本運(yùn)算】
【例1】（2023春?青川縣期末）下列各式中計(jì)算正確的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
【變式1-1】（2023春?六盤水期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y）B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1）D．（a+b）（b+a）
【變式1-2】（2023春?巴中期末）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2
【變式1-3】（2023秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．(?12p+q)(q+12p)D．（2x﹣3y）（2x+3y）
【題型2 利用完全平方式確定系數(shù)】
【例2】（2023秋?望城區(qū)期末）若二項(xiàng)式x2+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后成為一個(gè)完全平方式，則這樣的單項(xiàng)式共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．5個(gè)
【變式2-1】（2023?南通模擬）如果多項(xiàng)式x2+2x+k是完全平方式，則常數(shù)k的值為（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【變式2-2】（2023秋?青縣期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K的值為（ ）
A．0B．﹣5或7C．7D．9
【變式2-3】（2023秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫成（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
C．c＜a＜bD．a(chǎn)＝b≠c
【題型3 乘法公式的運(yùn)算】
【例3】（2023春?龍勝縣期中）計(jì)算：（1?152）×（1?162）×（1?172）×…×（1?1992）×（1?11002）的結(jié)果是（ ）
A．101200B．101125C．101100D．1100
【變式3-1】（2023秋?碾子山區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2．
【變式3-2】（2023春?乳山市期末）用乘法公式進(jìn)行計(jì)算：
（1）20192﹣2018×2020；
（2）112+13×66+392．
【變式3-3】（2023春?順德區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
【題型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，則ab的值為（ ）
A．?32B．32C．﹣6D．6
【變式4-1】（2023春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
【變式4-2】（2023春?雙峰縣期中）若x、y滿足x2+y2=54，xy=?12，求下列各式的值．
（1）（x+y）2
（2）x4+y4．
【變式4-3】（2023春?包河區(qū)期中）已知（2023﹣m）（2023﹣m）＝2021，那么（2023﹣m）2+（2023﹣m）2的值為（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
【題型5 利用面積法驗(yàn)證乘法公式】
【例5】（2023春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【變式5-1】（2023春?樂平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖的面積，可驗(yàn)證整式乘法公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【變式5-2】（2023春?錦州期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【變式5-3】（2023?郫都區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
【題型6 乘法公式的應(yīng)用】
【例6】（2023春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長(zhǎng)為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形（無縫隙不重合）則該長(zhǎng)方形的面積為（ ）
A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2
【變式6-1】（2023秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，分別延長(zhǎng)AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．
【變式6-2】（2023春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長(zhǎng)方形木板被分割成2個(gè)大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形③后，如圖擺放，且每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積為16，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積是（ ）
A．16B．14C．12D．10
【變式6-3】（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，我校一塊邊長(zhǎng)為2x米的正方形空地是八年級(jí)1﹣4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個(gè)班級(jí)所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；
（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？
【題型7 平方差公式、完全平方公式的幾何背景】
【例7】（2008秋?上海校級(jí)期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（1）請(qǐng)你在圖二中，標(biāo)上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）圖三是邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關(guān)系，能驗(yàn)證公式 ；
（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗(yàn)證公式成立，請(qǐng)?jiān)嚠嫵鲆粋€(gè)這樣的圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母．
【變式7-1】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀學(xué)習(xí)：
數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到．
如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2；如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，它的長(zhǎng)是a+b，寬是a﹣b，比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（1）觀察圖3，請(qǐng)你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式 ．
（2）觀察圖4，請(qǐng)寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式： ．
（3）現(xiàn)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖5所示，請(qǐng)你用拼圖的方法推出一個(gè)恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照?qǐng)D4畫出你的拼圖并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)．
【變式7-2】（2023春?武侯區(qū)校級(jí)期中）[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．
例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問題：
（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是 ；
（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問題：若x+y＝6，xy=112，求（x﹣y）2的值；[知識(shí)遷移]類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．
（3）根據(jù)圖③，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式： ；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3+b32的值．
【變式7-3】（2023春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，利用圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受到這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景．這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．
請(qǐng)你利用上述方法解決下列問題：
（1）請(qǐng)寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式
（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展應(yīng)用】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
請(qǐng)你參照上述幾何建模步驟，計(jì)算57×53．要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標(biāo)注有關(guān)線段）
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）：_______________
________________________________________________________,證明上述速算方法的正確性．
【題型8 整式乘法中的新定義問題】
【例8】（2023春?嘉興期中）定義：對(duì)于三個(gè)不是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式A，B，C，若A+B+C可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項(xiàng)為“完全搭配項(xiàng)”，若單項(xiàng)式x2，4和m是完全搭配項(xiàng)，則m可能是 ．（寫出所有情況）
【變式8-1】（2023春?成華區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘?cái)?shù)”．
（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說明理由；
（2）試說明神秘?cái)?shù)能被4整除；
（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說明理由．
【變式8-2】（2023春?博山區(qū)期末）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為：“奇異數(shù)”．如8，16，24都是“奇異數(shù)”．
（1）寫出兩個(gè)奇異數(shù)（8，16，24除外）；
（2）試問偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？
【變式8-3】（2023?永川區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．
因此3，5，8，…，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，…，都是“非智慧數(shù)”．
對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：
①設(shè)k為正整數(shù)（k≥2），則k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；
②設(shè)k為正整數(shù)（k≥3），則k2﹣（k﹣2）2＝ ．∴都是“智慧數(shù)”．
（1）補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；
（2）求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．
【題型9 整式乘法中的規(guī)律探究】
【例9】（2023春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（ ）
A．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019?13D．22019+13
【變式9-1】（2023?豐順縣校級(jí)開學(xué)）解答下列問題．
（1）觀察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× ；②92﹣ 2＝8×4；③ ﹣92＝8×5；④132﹣ 2＝8× 6 ；…
（2）通過觀察、歸納，請(qǐng)你用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；
（3）你能運(yùn)用平方差公式來說明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？
【變式9-2】（2023秋?肥城市期中）我們知道，1+2+3+…+n=n(n+1)2，關(guān)于這個(gè)公式的推導(dǎo)方法，有很多，比如說小高斯的故事．下面我們利用以前學(xué)過的公式，給出另外一種推導(dǎo)方法：
首先，我們知道：（n+1）2＝n2+2n+1，
變形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，
依次給n一些特殊的值：1，2，3，…，我們就能得到下面一列式子：
22﹣12＝2×1+1；
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；
…
（n+1）2﹣n2＝2×n+1；
觀察這列式子，如果把它們所有的等式兩端左右相加，抵消掉對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，我們可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，
觀察這個(gè)式子，等式右邊小括號(hào)內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，
把S表示出來，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n+1)2．
用這個(gè)思路，可以求很多你以前不知道的和，請(qǐng)你仿照這個(gè)推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下S＝12+22+32+…+n2的值．
【變式9-3】（2023春?漳浦縣期中）你能化簡(jiǎn)（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）嗎？
我們不妨先從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用這個(gè)結(jié)論，你能解決下面兩個(gè)問題嗎？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，則a6等于多少？
專題8.3 乘法公式【九大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4411" 【題型1 乘法公式的基本運(yùn)算】 PAGEREF _Tc4411 \h 1
\l "_Tc10067" 【題型2 利用完全平方式確定系數(shù)】 PAGEREF _Tc10067 \h 3
\l "_Tc16807" 【題型3 乘法公式的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc16807 \h 4
\l "_Tc8323" 【題型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc8323 \h 6
\l "_Tc28502" 【題型5 利用面積法驗(yàn)證乘法公式】 PAGEREF _Tc28502 \h 7
\l "_Tc8664" 【題型6 乘法公式的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc8664 \h 9
\l "_Tc18893" 【題型7 平方差公式、完全平方公式的幾何背景】 PAGEREF _Tc18893 \h 12
\l "_Tc32301" 【題型8 整式乘法中的新定義問題】 PAGEREF _Tc32301 \h 17
\l "_Tc23616" 【題型9 整式乘法中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc23616 \h 20
【知識(shí)點(diǎn)1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。
【題型1 乘法公式的基本運(yùn)算】
【例1】（2023春?青川縣期末）下列各式中計(jì)算正確的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
分析：根據(jù)平方差公式對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、應(yīng)為（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、應(yīng)為（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正確；
D、應(yīng)為（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【變式1-1】（2023春?六盤水期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y）B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1）D．（a+b）（b+a）
分析：根據(jù)平方差公式的特征：（1）兩個(gè)兩項(xiàng)式相乘，（2）有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；
B、﹣5y是相同的項(xiàng)，互為相反項(xiàng)是3x與﹣3x，符合平方差公式的要求；
C、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；
D、不存在互為相反數(shù)的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；
故選：B．
【變式1-2】（2023春?巴中期末）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2
分析：根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A、結(jié)果是y2﹣x2，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、結(jié)果是x2﹣2xy+y2，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、結(jié)果是x2+2xy+y2，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、結(jié)果是x2﹣y2，故本選項(xiàng)符合題意.
【變式1-3】（2023秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．(?12p+q)(q+12p)D．（2x﹣3y）（2x+3y）
分析：A、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；
B、原式第一個(gè)因式提取﹣1變形后利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，符合題意；
C、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；
D、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意．
【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本選項(xiàng)不合題意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本選項(xiàng)符合題意；
C、原式＝q2?14p2，本選項(xiàng)不合題意；
D、原式＝4x2﹣9y2，本選項(xiàng)不合題意，
故選：B．
【題型2 利用完全平方式確定系數(shù)】
【例2】（2023秋?望城區(qū)期末）若二項(xiàng)式x2+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后成為一個(gè)完全平方式，則這樣的單項(xiàng)式共有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．5個(gè)
分析：本題考查運(yùn)用完全平方式進(jìn)行因式分解的能力，式子x2和4分別是x和2的平方，可當(dāng)作首尾兩項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式可得中間一項(xiàng)為加上或減去x和2的乘積的2倍，即±4x，同時(shí)還應(yīng)看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x416后也可分別構(gòu)成完全平方式，所以可加的單項(xiàng)式共有5個(gè)．
【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x416等5個(gè)．
故選：D．
【變式2-1】（2023?南通模擬）如果多項(xiàng)式x2+2x+k是完全平方式，則常數(shù)k的值為（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
分析：根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)和已知平方項(xiàng)先確定出另一個(gè)數(shù)是1，平方即可．
【解答】解：∵2x＝2×1?x，
∴k＝12＝1，
故選A．
【變式2-2】（2023秋?青縣期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K的值為（ ）
A．0B．﹣5或7C．7D．9
分析：根據(jù)完全平方式的定義解決此題．
【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．
∵9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，
∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2?3x?1+12＝（3x）2±6x+12．
∴﹣（K﹣1）＝±6．
當(dāng)﹣（K﹣1）＝6時(shí)，K＝﹣5．
當(dāng)﹣（K﹣1）＝﹣6時(shí)，K＝7．
綜上：K＝﹣5或7．
故選：B．
【變式2-3】（2023秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫成（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
C．c＜a＜bD．a(chǎn)＝b≠c
分析：先把原式展開，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[3x+33（a+b+c）]2，化簡(jiǎn)有ab+bc+ac＝a2+b2+c2，那么就有（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，三個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)等于0，故可求a＝b＝c．故選答案B．
【解答】解：原式＝3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[3x+33（a+b+c）]2，
∴ab+bc+ac=13（a+b+c）2=13（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc），
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2，
∴2（ab+bc+ac）＝2（a2+b2+c2），
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c．
故選：B．
【題型3 乘法公式的運(yùn)算】
【例3】（2023春?龍勝縣期中）計(jì)算：（1?152）×（1?162）×（1?172）×…×（1?1992）×（1?11002）的結(jié)果是（ ）
A．101200B．101125C．101100D．1100
分析：根據(jù)a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）展開，中間的數(shù)全部約分，只剩下第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)相乘，從而得出答案．
【解答】解：原式＝（1?15）×（1+15）×（1?16）×（1+16）×（1?17）×（1+17）×…×（1?199）×（1+199）×（1?1100）×（1+1100）
=45×65×56×76×67×87×?×9899×10099×99100×101100
=45×101100
=101125．
故選：B．
【變式3-1】（2023秋?碾子山區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2．
分析：利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），
＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），
＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，
＝5x2﹣5y2，
當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．
【變式3-2】（2023春?乳山市期末）用乘法公式進(jìn)行計(jì)算：
（1）20192﹣2018×2020；
（2）112+13×66+392．
分析：平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【解答】解：（1）20192﹣2018×2020
＝20192﹣（2023﹣1）×（2023+1）
＝20192﹣（20232﹣1）
＝1；
（2）112+13×66+392
＝112+13×2×3×11+392
＝112+2×11×39+392
＝（11+39）2
＝502
＝2500．
【變式3-3】（2023春?順德區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
分析：原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）
＝…
＝（264﹣1）（264+1）
＝2128﹣1．
【題型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，則ab的值為（ ）
A．?32B．32C．﹣6D．6
分析：根據(jù)a2﹣b2＝16得到（a+b）2（a﹣b）2＝256，再由（a+b）2＝8，求出（a﹣b）2＝32，
最后根據(jù)ab=(a+b)2?(a?b)24求出答案．
【解答】解：∵a2﹣b2＝16，
∴（a+b）（a﹣b）＝16，
∴（a+b）2（a﹣b）2＝256，
∵（a+b）2＝8，
∴（a﹣b）2＝32，
∴ab=(a+b)2?(a?b)24=8?324=?6，
故選：C．
【變式4-1】（2023春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
分析：原式利用平方差公式分解，變形后將已知等式代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，
∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
＝[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]
＝（4m+n）（3n﹣2m）
＝﹣900．
【變式4-2】（2023春?雙峰縣期中）若x、y滿足x2+y2=54，xy=?12，求下列各式的值．
（1）（x+y）2
（2）x4+y4．
分析：（1）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x2+y2=54，xy=?12，
∴原式＝x2+y2+2xy=54?1=14；
（2）∵x2+y2=54，xy=?12，
∴原式＝（x2+y2）2﹣2x2y2=2516?12=1716．
【變式4-3】（2023春?包河區(qū)期中）已知（2023﹣m）（2023﹣m）＝2021，那么（2023﹣m）2+（2023﹣m）2的值為（ ）
A．4046B．2023C．4042D．4043
分析：利用完全平方公式變形即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2023﹣m）2+（2023﹣m）2
＝[（2023﹣m）﹣（2023﹣m）]2+2×（2023﹣m）（2023﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故選：A．
【題型5 利用面積法驗(yàn)證乘法公式】
【例5】（2023春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
分析：利用兩個(gè)圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可．
【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（a+b）（a﹣b），
圖乙中①、②的總面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故選：A．
【變式5-1】（2023春?樂平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖的面積，可驗(yàn)證整式乘法公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
分析：用代數(shù)式表示各個(gè)部分以及總面積即可得出答案．
【解答】解：大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，因此面積為（a+b）2，四個(gè)部分的面積分別為a2、ab、ab、b2，
由面積之間的關(guān)系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故選：C．
【變式5-2】（2023春?錦州期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
分析：用代數(shù)式分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可．
【解答】解：圖1中，陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣32＝a2﹣9，
圖2是長(zhǎng)為a+3，寬為a﹣3的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故選：D．
【變式5-3】（2023?郫都區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
分析：根據(jù)陰影部分面積相等得到恒等式即可．
【解答】解：第一幅圖陰影部分面積＝（x+a）2﹣a2，
第二幅圖陰影部分面積＝（x+a+a）x＝x（x+2a），
∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），
故選：A．
【題型6 乘法公式的應(yīng)用】
【例6】（2023春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長(zhǎng)為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形（無縫隙不重合）則該長(zhǎng)方形的面積為（ ）
A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2
分析：由圖形可知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為兩正方形的和，寬為兩長(zhǎng)方形的差，據(jù)此可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形的面積為[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，
故選：D．
【變式6-1】（2023秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，分別延長(zhǎng)AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．
分析：設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面積為（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．
【解答】解：）設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，
又由ab＝200，
∴正方形MFNP的面積為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．
【變式6-2】（2023春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長(zhǎng)方形木板被分割成2個(gè)大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形③后，如圖擺放，且每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積為16，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積是（ ）
A．16B．14C．12D．10
分析：設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為x，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形及已知條件可將③長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬表示出來，再根據(jù)每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為16及大長(zhǎng)方形的面積為100，得出x2與y2的數(shù)量關(guān)系，然后解得y2即可．
【解答】解：設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為x，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為y，則標(biāo)號(hào)為③的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（x+y），寬為（x﹣y），
∵每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積均為16，
∴（x+y）（x﹣y）＝16，
∴x2﹣y2＝16，
∴x2＝16+y2
∵大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于標(biāo)號(hào)為③的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)的和，寬等于標(biāo)號(hào)為③的小長(zhǎng)方形的寬與標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)的和，
∴大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：[（x+y）+x]＝2x+y，寬為：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，
∵大長(zhǎng)方形的面積為100，
∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，
∴4x2﹣y2＝100，
∴4（16+y2）﹣y2＝100，
∴y2＝12，
即標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積為y2＝12．
故選：C．
【變式6-3】（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，我校一塊邊長(zhǎng)為2x米的正方形空地是八年級(jí)1﹣4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個(gè)班級(jí)所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；
（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？
分析：（1）結(jié)合圖形、根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)圖形分別表示出2班的衛(wèi)生區(qū)的面積和1班的衛(wèi)生區(qū)，根據(jù)平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)、求差即可．
【解答】解：（1）八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．
答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xy平方米．
【題型7 平方差公式、完全平方公式的幾何背景】
【例7】（2008秋?上海校級(jí)期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（1）請(qǐng)你在圖二中，標(biāo)上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）圖三是邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關(guān)系，能驗(yàn)證公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗(yàn)證公式成立，請(qǐng)?jiān)嚠嫵鲆粋€(gè)這樣的圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母．
分析：（1）此題只需將大正方形的邊長(zhǎng)表示為a，小正方形的邊長(zhǎng)表示為b即可，
（2）此題只需將兩個(gè)圖形的面積表示出來寫成等式即可；
（3）此題還可以拼成一個(gè)矩形來驗(yàn)證公式的成立．
【解答】解：（1）
．
（2）根據(jù)兩圖形求得兩圖形的面積分別為：S1＝a2﹣b2；S2=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
（3）拼成的圖形如下圖所示：
【變式7-1】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀學(xué)習(xí)：
數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到．
如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2；如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，它的長(zhǎng)是a+b，寬是a﹣b，比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（1）觀察圖3，請(qǐng)你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．
（2）觀察圖4，請(qǐng)寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式： （2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2 ．
（3）現(xiàn)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖5所示，請(qǐng)你用拼圖的方法推出一個(gè)恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照?qǐng)D4畫出你的拼圖并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)．
分析：（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系即可；
（2）根據(jù)面積的兩種表達(dá)方式得到圖4所表示的代數(shù)恒等式；
（3）由已知的恒等式，畫出相應(yīng)的圖形即可．
【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）圖4所表示的代數(shù)恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（3）如圖所示：
故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
【變式7-2】（2023春?武侯區(qū)校級(jí)期中）[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．
例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問題：
（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問題：若x+y＝6，xy=112，求（x﹣y）2的值；[知識(shí)遷移]類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．
（3）根據(jù)圖③，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式： （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3+b32的值．
分析：（1）觀察圖②大正方形面積減中間小正方形面積等于4個(gè)長(zhǎng)方形面積；
（2）靈活利用上題得出的結(jié)論，靈活計(jì)算求解．
（3）利用兩種方式求解長(zhǎng)方體的體積，得出關(guān)系式．
（4）利用上題得出得關(guān)系式，進(jìn)行變換，最終求出答案．
【解答】解：（1）用兩種方法表示出4個(gè)長(zhǎng)方形的面積：即大正方形面積減中間小正方形面積等于4個(gè)長(zhǎng)方形面積，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（2）由題（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×112=14．
（3）利用兩種方式求解長(zhǎng)方體得體積，即可得出關(guān)系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），
把a(bǔ)+b＝3，ab＝1代入得：
a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．
∴a3+b32=9．
【變式7-3】（2023春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，利用圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受到這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景．這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．
請(qǐng)你利用上述方法解決下列問題：
（1）請(qǐng)寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式
（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展應(yīng)用】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
請(qǐng)你參照上述幾何建模步驟，計(jì)算57×53．要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標(biāo)注有關(guān)線段）
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果 證明上述速算方法的正確性．
分析：（1）利用面積法即可解決問題；
（2）模仿例題，構(gòu)建幾何模型，利用面積法計(jì)算即可；
拓展應(yīng)用：模仿例題計(jì)算57×53即可；
探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可；
【解答】解：（1）圖（1）所表示的代數(shù)恒等式：（x+y）?2x＝2x2+2xy，
圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）幾何圖形如圖所示：
拓展應(yīng)用：
（1）①幾何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位數(shù)字5加1的和與5相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；
故答案為十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；
【題型8 整式乘法中的新定義問題】
【例8】（2023春?嘉興期中）定義：對(duì)于三個(gè)不是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式A，B，C，若A+B+C可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項(xiàng)為“完全搭配項(xiàng)”，若單項(xiàng)式x2，4和m是完全搭配項(xiàng)，則m可能是 4x或﹣4x或116x4 ．（寫出所有情況）
分析：分為三種情況：①m為第二項(xiàng)時(shí)，②當(dāng)m為第一項(xiàng)時(shí)，根據(jù)完全平方式求出m即可．
【解答】解：①x2±4x+4，此時(shí)m＝±4x，
②（14x2）2+x2+4，此時(shí)m＝（14x2）2=116x4，
故答案為：4x或﹣4x或116x4．
【變式8-1】（2023春?成華區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘?cái)?shù)”．
（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說明理由；
（2）試說明神秘?cái)?shù)能被4整除；
（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說明理由．
分析：（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看能否把28和2012這兩個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可判斷；
（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可；
（3）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可．
【解答】解：（1）是，理由如下：
∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，
∴28是“神秘?cái)?shù)”；2012是“神秘?cái)?shù)”；
（2）“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)；
（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為：2k+1，2k﹣1，則
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
而由（2）知“神秘?cái)?shù)”是4的奇數(shù)倍，不是偶數(shù)倍，但8不是4的偶數(shù)倍，
所以兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．
【變式8-2】（2023春?博山區(qū)期末）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為：“奇異數(shù)”．如8，16，24都是“奇異數(shù)”．
（1）寫出兩個(gè)奇異數(shù)（8，16，24除外）；
（2）試問偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？
分析：（1）根據(jù)奇異數(shù)的定義判斷即可；
（2）偶數(shù)6050不是奇異數(shù)，根據(jù)兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判斷即可．
【解答】解：（1）奇異數(shù)可以為32，40；
（2）不是奇異數(shù)，理由為：
假設(shè)偶數(shù)6050為奇異數(shù)，即為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，
可設(shè)（n+2）2﹣n2＝6050，
分解因式得：2（2n+2）＝6050，
解得：n＝1511.5，
可得n不是奇數(shù)，不符合題意，
則偶數(shù)6050不是奇異數(shù)．
【變式8-3】（2023?永川區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．
因此3，5，8，…，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，…，都是“非智慧數(shù)”．
對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：
①設(shè)k為正整數(shù)（k≥2），則k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；
②設(shè)k為正整數(shù)（k≥3），則k2﹣（k﹣2）2＝ 4（k﹣1） ．∴都是“智慧數(shù)”．
（1）補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；
（2）求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．
分析：（1）由平方差公式即可得出答案，根據(jù)①②的結(jié)論除去奇數(shù)及4的正整數(shù)倍數(shù)，即可得所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；
（2）根據(jù)①②可判斷出在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3；k為正整數(shù)時(shí)，則4k+1，4k+3是奇數(shù)，4k+2，4k+4是偶數(shù)，而4k+2是“非智慧數(shù)”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧數(shù)“．從而根據(jù)循環(huán)規(guī)律判斷出結(jié)果．
【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧數(shù)是除4以外，所有4的正整數(shù)倍數(shù)．
根據(jù)①，除去奇數(shù)：7，9，11，13，15，17，19；
根據(jù)②，除去4的正整數(shù)倍數(shù)：8，12，16．
則所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”有：6，10，14，18．
（2）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3．
當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則4k+1，4k+3是奇數(shù)，4k+2，4k+4是偶數(shù)，而4k+2是“非智慧數(shù)”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧數(shù)”．
∴在從1開始的正整數(shù)中前4個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后每連續(xù)4個(gè)數(shù)中有3個(gè)“智慧數(shù)”．
∵100＝1+3×33，
∴4×（33+1）＝136．
又∵136后面的3個(gè)“智慧數(shù)”為137，139，140，
∴從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”是140．
【題型9 整式乘法中的規(guī)律探究】
【例9】（2023春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（ ）
A．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019?13D．22019+13
分析：先計(jì)算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再計(jì)算所給式子．
【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，
＝（﹣2）2019﹣1，
＝﹣22019﹣1，
∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=22019+13．
故選：D．
【變式9-1】（2023?豐順縣校級(jí)開學(xué)）解答下列問題．
（1）觀察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣ 7 2＝8×4；③ 112 ﹣92＝8×5；④132﹣ 11 2＝8× 6 ；…
（2）通過觀察、歸納，請(qǐng)你用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；
（3）你能運(yùn)用平方差公式來說明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？
分析：（1）觀察算式，補(bǔ)全空白即可；
（2）觀察算式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（3）利用平方差公式證明即可．
【解答】解：（1）觀察下列算式：
32﹣12＝8×1；
52﹣32＝8×2；
①72﹣52＝8×3；
②92﹣72＝8×4；
③112﹣92＝8×5；
④132﹣112＝8×6；
…
故答案為：3，7，112，11，6；
（1）通過觀察歸納，猜想第n個(gè)式子為（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（2）證明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n?2
＝8n，
所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得證．
【變式9-2】（2023秋?肥城市期中）我們知道，1+2+3+…+n=n(n+1)2，關(guān)于這個(gè)公式的推導(dǎo)方法，有很多，比如說小高斯的故事．下面我們利用以前學(xué)過的公式，給出另外一種推導(dǎo)方法：
首先，我們知道：（n+1）2＝n2+2n+1，
變形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，
依次給n一些特殊的值：1，2，3，…，我們就能得到下面一列式子：
22﹣12＝2×1+1；
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；
…
（n+1）2﹣n2＝2×n+1；
觀察這列式子，如果把它們所有的等式兩端左右相加，抵消掉對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，我們可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，
觀察這個(gè)式子，等式右邊小括號(hào)內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，
把S表示出來，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n+1)2．
用這個(gè)思路，可以求很多你以前不知道的和，請(qǐng)你仿照這個(gè)推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下S＝12+22+32+…+n2的值．
分析：根據(jù)已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推導(dǎo)出12+22+32+42+…+n2的公式．
【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，
∴當(dāng)式中的n從1、2、3、依次取到n時(shí)，就可得下列n個(gè)等式：
13﹣03＝3﹣3+1，
23﹣13＝3×22﹣3×2+1，
33﹣23＝3×32﹣3×3+1，
…，
n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，
將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，
即12+22+32+42+…+n2=n3+3(1+2+3+?+n)?n3=16n（n+1）（2n+1）．
【變式9-3】（2023春?漳浦縣期中）你能化簡(jiǎn)（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）嗎？
我們不妨先從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1
（2）利用這個(gè)結(jié)論，你能解決下面兩個(gè)問題嗎？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，則a6等于多少？
分析：（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可確定出結(jié)果；
（2）利用得出的結(jié)果將原式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
故答案為：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，
則2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，
∴a6＝1．

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